材料力学第7章弯曲变形

单击此处编辑母版书名样式,*,材料力学,出版社 科技分社,第七章,弯曲变形,2,平面弯曲时，梁的轴线在纵向对称平面内弯曲成一条平面曲线，这条曲线称为梁的挠曲线。横截面形心在横向沿y轴方向的位移w称为挠度。,挠曲线方程,或,挠度方程：,梁的横截面与变形前横截面的夹角,称为梁的转角。,小变形梁可近似为,转角方程,7.1 梁的弯曲变形,3,7.2 梁的挠曲线近似微分方程,由纯弯曲梁的曲率与弯矩的关系：,曲线曲率计算公式,由曲率-弯矩的符号关系：,小变形梁的近似微分方程：,4,7.3,积分法求梁的位移,对于等截面直梁,一次积分得转角方程,二次积分得挠曲线方程,C、D积分常数，由梁上的挠度或转角确定，这些的挠度或转角称为边界条件。,5,以图示简支梁为例,以图示悬臂梁为例,6,例题,7.1,：图示一弯曲刚度为,EI,的悬臂梁，在自由端受一集中力,F,的作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。,解：建立图示坐标系，弯矩方程为,挠曲线近似微分方程,两次积分，得,7,由悬臂梁的边界条件,得积分常数,转角方程,挠曲线方程,最大转角,最大挠度,8,例题,7.2,：图示弯曲刚度为,EI,的简支梁，受集度为,q,的均布荷载作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。,解：由平衡方程得支座反力,建立坐标系，得梁的弯矩方程为,梁挠曲线近似微分方程,9,两次积分得：,由简支梁的边界条件：,得积分常数,10,梁的转角方程,梁的挠曲线方程,最大转角,最大挠度,11,例题,7.3,：图示弯曲刚度为,EI,的简支梁，在,C,点受集中力,F,作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。,解：梁的两支座支反力,AC段0 x a:,弯矩方程：,挠曲线近似微分方程：,积分一次：,积分二次：,12,CB段a x l:,12,弯矩方程：,挠曲线近似微分方程：,积分一次：,积分二次：,13,由,C,点处的光滑连续条件：,由梁的边界条件：,14,得梁,AC,段转角方程和挠曲线位移方程,得梁,CB,段转角方程和挠曲线位移方程,15,显然，最大转角可能发生在左、右两支座处的截面，其值分别为,当,a,b,时，,B,支座处截面的转角绝对值为最大,简支梁的最大挠度应在,d,w,/d,x,=0,处，由 得,当 ab 时，那么有x1 a，由此可知最大挠度位于AC之间。,16,最大挠度值,跨中挠度值,可以证明，当集中载荷从简支梁跨中向梁端移动时，最大挠度与跨中挠 度之比值不断增大。当b值趋于零时，那么比值wmax/wC1.0265，即最大挠度值与跨中挠度值最大相差不超过2.65%。,工程中，无论受到什么荷载作用，只要简支梁的挠曲线上无拐点，其最大挠度均都可用梁跨中点处的挠度代替，其精确度足可满足工程的计算要求。,17,7.4,叠加法求梁的变形,在上述条件下，如果梁受多个荷载同时作用，其任一横截面的挠度和转角等于各荷载单独作用下同一截面挠度和转角的叠加,和,，此为梁变形计算的,叠加原理。,梁在小变形条件下，其弯矩与荷载成线性关系，在线弹性范围内，挠曲线的曲率与弯矩成正比，当挠度很小时，曲率与挠度也成线性关系。,18,例题,7.4,：示简支梁，其上作用有集中力,F,和集度为,q,的均布荷载，求,A,截面处的点转角和梁中点,C,的点挠度。,解,：均布荷载,q,单独作用时：,，,集中力,F,单独作用时：,，,将相应的位移叠加，即得,19,例题,7.5,：图示悬臂梁，其上作用有集中力,F,，求自由端点,C,处的挠度和转角。,，,解,：梁上,BC,段未受力的作用，这段梁只发生位移，没有变形，保持为直线。,B,点的转角和挠度分别为,由叠加原理,20,例题,7.6,：悬臂梁承受荷载如图示。求挠度的最大值。,解：将荷载分解为图示b和c两种均布荷载的叠加。在b荷载作用下,在c荷载作用下,叠加,21,梁的刚度条件,为了保证梁在荷载作用下有足够的刚度，按梁的用途，可选择梁的挠度或梁的转角为梁的刚度容许条件。对于选择挠度，通常用许可的挠度与跨长之比值 作为标准。,在土建工程中,在机械工程中,梁的许可转角,的值一般限制在,0.0050.001rad,范围内。,22,例题7.7：承受均布荷载的简支梁，梁截面采用22号工字钢，：l=6m，q=4kN/m，梁的许可挠度与跨长之比值为 f/l=1/400,弹性模量E=200GPa，试校核梁的刚度。,解,：由,附录,型钢表，查得,22,号工字钢的,轴,惯性矩为,满足刚度要求。,23,例题7.8：一圆木简支梁受均布荷载如图示。：q=2kN/m，l=4m，E=10GPa，=10MPa，f/l=1/200；试求梁截面所需直径d。,解：1根据正应力强度条件选择截面尺寸。,正应力强度条件,所需横截面的直径,简支梁的最大弯矩为,24,2根据由刚度条件选择截面尺寸,简支梁的最大挠度值,由刚度条件,所需横截面的直径为,综合考虑取梁的截面直径：,d,162mm,25,7.5.2,提高梁的刚度的措施,1增大梁的弯曲刚度EI,2调整跨长和改变结构,为了增大钢梁的弯曲刚度，梁的横截面应采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增大截面对于中性轴的惯性矩,I,z,，,26,所谓改变结构来提高梁的刚度在这里是指增加梁的支座约束使静定梁成为超静定梁。,27,7.6,简单超静定梁的解法,如果梁的未知约束反力的数目多于可列出的独立静力学平衡方程的数目，仅凭静力学平衡条件不能完全确定所有未知约束反力，这类梁称为,超静定梁,。,28,以图,示,的简支梁为例，说明其解法,.,解除超静定梁的多余约束,C,，用约束反力,F,C,代替；由此得到的静定梁称为原超静定梁的静定基,。,变形相容性条件,或,q,引起的,C,处挠度,F,C,引起的,C,处挠度,29,将关系式b(c)代入a,得,解得多余约束反力为,根据静定基的,平衡条件，求得梁端的支座约束力为,梁的剪力和弯矩图如下图,30,例题,7.9,：求图示超静定梁,B,支座的约束反力。,解,：,解除,B,处的约束，以约束反力,F,B,代替,变形相容条件,查附录,得,31,将得到的上述挠度代入变形相容条件,即得补充方程,解得,负号表示支座B处的约束力实际方向与假设相反,32,例题,7.10,：图示结构，梁,AB,的,EI,为一常数，,BC,杆的,EA,为一常数，求,B,处的约束反力。,解：1选择静定基，解除B处的约束，以约束反力FBC代替,2变形相容条件,3由梁与拉压杆的变形计算,33,4将变形计算式代入相容条件得补充方程,解得,34,本章小结,1梁的位移用挠度w和转角 两个根本量表示,且,2由挠曲线近似微分方程,通过积分运算计算梁的挠度和转角；,3当梁上同时受有几种几个荷载作用时，可采用叠加法计算梁的位移。,4工程设计中，梁不仅需满足强度条件，还应满足刚度条件，把位移控制在允许的范围内。,35,(5),求解超静定梁的主要步骤：,解除超静定结构的多余约束，用多余约束力替代相应约束，得静定基；,根据原超静定结构给出静定基的变形相容条件；,求出静定基的位移计算表达式，并代入变形相容条件得到补充方程。,由补充方程求解出多余约束力。,再按静定平衡条件计算出其它约束反力，绘出剪力和弯矩图。,36,第七章结束,