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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第三章 离散时间系统的变换域分析,本章目录,系统函数,序列线性时不变系统的频率响应,无限脉冲响应系统和有限脉冲响应系统,Matlab,实现,2,3.1 引言,系统的特性包括,:,线性、时不变性、因果性、稳定性,离散时间系统的分析：,时域、变换域,离散时间系统分析主要内容,系统的变换域分析,系统函数,频率响应,3,3.2 系统函数,系统函数,定义,系统的零极点对系统特性的影响,系统的因果性和稳定性,4,3.2.1 系统函数的定义,系统函数的定义,系统函数,H,(,z,),:,表示系统的零状态响应与输入序列,z,变换的比值,线性时不变系统,5,研究N阶差分方程的系统,因果输入序列，零初始状态，差分方程取,z,变换,可见，,H,(,z,)与,h,(,n,)是一对,z,变换,LTI系统输入和输出满足,6,三种表征离散时间系统的方法,单位脉冲响应,h,(,n,):,时域,系统函数,H,(,z,):,Z域,差分方,程:,时域,7,例,利用系统函数变换域求解,例3.,因果离散时间系统的差分方程,y,(,n,)-3,y,(,n,-1)+2,y,(,n,-2)=,x,(,n,)+2,x,(,n,-1)，求单位脉冲响应,h,(,n,)。,解,：,设初始状态为零，对差分方程进行,z,变换,展开为局部分式,h,(,n,)为因果序列。对,H,(,z,)取逆,z,变换，得,8,3.2.2 系统的零极点对系统特性的影响,对式(3.2)分子、分母多项式进行因式分解,H,(,z,)在,z,=,c,r,处有零点，在,z,=,d,k,处有极点,N,M,时，在,z,=0处有一个(,N,-,M,)阶零点,零点和极点分别由差分方程的系数,b,r,和,a,k,决定,除常数A外，系统函数完全由全部零极点唯一确定,零、极点是描述系统的方法，因为系统的零、极点分布，就可以大致了解系统的性能,9,单阶极点对系统的影响,假设有一个实极点d=，那么分母多项式中有因子(z-)，所对应的单位脉冲响应序列形式为,假设有一对共轭极点 ，那么D(z)有因子 ，所对应的单位脉冲响应序列形式为 ，其中K，为常数，与零点的分布有关。,10,系统函数的极点与对应的单位脉冲响应,当极点位于,单位圆内,时，|,|,1，当,n,时，单位脉冲响应序列,h,(,n,)趋于零，为收敛序列；,当极点位于,单位圆上,时，|,|=,1，单位脉冲响应序列,h,(,n,)的幅度不随变化，为稳定序列；,当极点位于,单位圆外,时，|,|,1，当,n,时，单位脉冲响应序列,h,(,n,)的幅度随,n,增大而增大，为发散序列。,11,多阶极点对系统的影响,假设有一个r 阶实极点d=，那么分母多项式中有因子(z-)，所对应的单位脉冲响应序列形式为,当极点位于单位圆内时，|,|,1，当,n,时，单位脉冲响应序列,h,(,n,)趋于零，为收敛序列；,当极点位于单位圆上时，|,|=,1，由于有因子,n,i,，单位脉冲响应序列的幅度随的增大而增大，为发散序列,；,当极点位于单位圆外时，|,|,1，当,n,时，单位脉冲响应序列,h,(,n,)的幅度随,n,增大而增大，为发散序列。,假设有一对共轭极点 ，那么所对应的单位脉冲响应序列形式为 ，其中i=0，1，2，r-1。,12,零极点对系统影响的结论,离散时间系统的单位脉冲响应序列,h,(,n,)可由,H,(,z,)的零、极点确定。零点只影响,h,(,n,)的幅度与相位，极点的分布影响,h,(,n,)的形状。,H,(,z,)在单位圆内的极点所对应的,h,(,n,)都是衰减的，当,n,时，序列的值趋于零，,h,(,n,)是收敛序列，因此极点全部在单位圆内的系统是稳定系统。,H,(,z,)在单位圆上的一阶极点所对应的,h,(,n,)的幅度不随变化，其对应的系统是临界稳定系统。,H,(,z,)在单位圆上的二阶及二阶以上的极点，或在单位圆外的极点所对应的,h,(,n,)随的增大而增大，当,n,时，序列值趋于无限大，,h,(,n,)是发散序列，这样的系统是非稳定系统。,13,3.2.3 系统的因果性和稳定性,从系统的单位脉冲响应序列h(n)出发，讨论判断系统因果性和稳定性的充分必要条件。,如何根据H(z)判断系统的因果性和稳定性?,一个因果稳定系统的系统函数H(z)的收敛域必须在某个圆的外部，该圆经过H(z)的离原点最远的极点，而且收敛域必须包含单位圆。即,Rx-|z|+，0Rx-1 (3.6),如果系统函数H(z)的所有极点都在单位圆内，那么系统是稳定的。,如果系统稳定，那么系统的所有极点都在单位圆内。,14,例：分析系统的因果性和稳定性,例3.3 一个线性时不变系统的系统函数，试确定系统的收敛域，并分析系统的因果性和稳定性。,解：,对,H,(,z,)的分母进行因式分解得,极点为-0.25，-0.5；零点为0，0.5，如图3.3所示。,两个极点把平面划分为三个区域，所以,H,(,z,)的收敛域有三种可能的情况，下面分别进行讨论。,15,讨论图3.3中,H,(,z,),的收敛域,如果收敛域是极点-0.5所在的圆的外部区域，收敛域包含,点，有 ，因此系统是因果的。系统函数的收敛域为,0.5|,z,|+,，而且包含单位圆，所以对应系统是稳定的。,如果收敛域是极点-0.25所在的圆的内部区域，有 ，因此系统是逆因果的，收敛域为,0|,z,|0.25,。收敛域不包含单位圆，所以对应系统不是稳定的。,如果收敛域是极点-0.25和-0.5所在的两个圆之间的环域，即,0.25|,z,|,0.5，收敛域不包含点，单位圆也没有位于收敛域内，所以对应系统是非因果且不稳定的。,16,3.3 线性时不变系统的频率响应,频率响应的定义,频率响应的几何确定法,全通系统,最小相位系统,17,3.3.1,频率响应的定义,设输入序列是频率为,的复指数序列，由线性卷积公式，得到系统的响应,频率响应的定义,当离散线性时不变系统的输入是频率为,的复指数序列时，输出为同频率的复指数序列乘以加权函数,H,(,)。,H,(,)反映复指数序列通过系统后幅度和相位随频率,的变化,H,(,)是一个与系统的特性有关的量，称为单位脉冲响应为,h,(,n,)的系统的频率响应。,18,H,(,)与,H,(z),频率响应,H,(,)在数值上等于,H,(,z,)在,z,平面单位圆上的取值。,如果系统函数H(z)，那么可求得其频率响应，即,19,H,(,),的表示,复函数,H,(,)是以2为周期的连续周期函数，用实部和虚部表示为,H,(,)用幅度与相位表示为,H,(,),的幅度响应和相位响应,20,正弦输入序列的系统频率响应,可见，当离散线性时不变系统输入正弦序列时，输出为同频率的正弦序列，其幅度受频率响应幅度|,H,(,)|的加权，而相位为输入相位与系统相位响应之和。,21,3.3.2,频率响应的几何确定法,根据式(3.9)得知，系统的频率响应完全由,H,(,z,)的零、极点确定。由式(3.9)得系统的频率响应,零点矢量,：,极点矢量：,矢量的模即矢量长度；矢量的幅角对应矢量与正实轴的夹角。,22,几何确定法,式(3.14)可表示,幅度响应,等于各零点矢量长度之积除以各极点矢量长度之积，再乘以常数,A,相位响应,等于各零点矢量的幅角之和减去各极点矢量的幅角之和，再加上线性分量,(,N-M,)。,23,几何确定图示,24,零点位置对频率响应的影响,零点位置:主要影响幅度响应的谷点值及形状。当E点旋转到某个零点cr 附近时，如果零点矢量长度Ar 最短，那么幅度响应在该点可能出现谷点；零点cr 越靠近单位圆，Ar 越短，那么谷点越接近零；如果零点cr 在单位圆上，Ar=0，那么谷点为零。,极点位置:主要影响幅度响应的峰值及锋利程度。当E点旋转到某个极点dk附近时，如果极点矢量长度Bk最短，那么幅度响应在该点可能出现峰值；极点dk越靠近单位圆，Bk越短，那么幅度响应在峰值附近越锋利；如果极点dk在单位圆上，Bk=0，那么幅度响应的峰值趋于无穷大，此时系统不稳定。,25,小结,单位圆附近的零点位置对幅度响应凹谷的位置和深度有明显的影响，零点可在单位圆外。,在单位圆内且靠近单位圆附近的极点对幅度响应的凸峰的位置和深度那么有明显的影响，极点在单位圆外，那么不稳定。,利用直观的几何确定法，适当地控制零、极点的分布，就能改变系统频率响应的特性，到达预期的要求，因此它是一种非常有用的分析系统的方法。,26,例：梳状滤波器,例3.6 一个系统函数 ，试定性画出系统的幅度响应曲线。,解：,一个,N,阶极点,z,=0，不影响幅度响应,N,个一阶零点等间隔分布在单位圆上，由分子多项式的根决定。,当,从0变化到2时，每遇到一个零点幅度为零；,两个零点之间幅度由零逐渐增大，在零点中间幅度最大，形成峰值，再逐渐减少至零。,幅度谷点频率为,k,=2,k,/,N,27,3.3.3 全通系统,定义,：,系统幅度响应|,H,(,)|在所有频率下均为常数.,频率响应,零点与极点有共轭倒数关系，一般形式,28,例：二阶全通系统,例3.7 设二阶全通系统的系统函数，求系统的频率响应函数，并画出相应曲线。,解：,29,3.5 Matlab实现,系统函数的Matlab计算,利用系统函数求解系统输出的Matlab实现,利用Matlab计算系统频率响应,30,3.5.1 系统函数的Matlab计算,函数tf2zp和zp2tf:用于系统函数不同形式间转换,。,函数tf2zp:确定有理z变换式的零极点和增益,z,p,k=tf2zp(b,a);,输入参数,:,b=,b,0，,b,1，,b,M为分子多项式的系数,a=,a,0,a,1,a,N为分母多项式的系数，都按,z,的降幂排列;,输出参数,:,z,是,z,变换的零点，,p,是极点，,k,是增益,。,函数zp2tf,:,由z变换的零极点和增益确定z变换式的系数,b,a=zp2tf(z,p,k);,31,例：计算Z变换,例3.10,线性时不变系统的差分方程为,y,(,n,)-,y,(,n-,1)+0.5,y,(,n-,2)=2,x,(,n,)+1.5,x,(,n-,1)，求其,z,变换，并分析系统的稳定性。,解:由差分方程得到系统函数,b=2,1.5,0;a=1,-1,0.5;%系统函数多项式的系数,z,p,k=tf2zp(b,a);%求零点、极点和增益,disp(零点:);disp(z);disp(极点:);disp(p);disp(增益:);disp(k);,zplane(z,p);%画零、极点图,axis(-1.25,1.25,-1.25,1.25);%标示坐标,程序运行结果为,零点:0 -0.7500,极点:0.5000-0.5000i 0.5000+0.5000i,增益:2,32,例：计算Z变换,第二行调用函数z,p,k=tf2zp(b,a)，确定系统函数的零点、极点和增益。,第六行使用函数zplane画出零点、极点及单位圆。,由图3.10系统的零、极点分布可知，全部极点都位于单位圆内，所以系统是稳定的。,33,3.5.2 利用系统函数解系统输出的Matlab实现,例3.11 系统函数为 ，求输入序列x(n)=2，-1，0.25 时系统的输出。,解:输入序列表示为,x,(,n,)=2,(,n,)-,(,n,-1)+0.25,(,n,-2),H,(,z,)的系数,b,=-2，,a,=1，-0.75，-0.25，0.1875，,x,=2，-1，0.25，可以用函数conv来计算多项式乘法，以确定,Y,(,z,)的系数,B,和,A,=,a,，然后利用函数residuez求留数和极点等。,34,求输出序列表示式的,Matlab程序段,x=2,-1,0.25;,nfx=length(x)-1;%计算输入序列的终止时间,b=-2;a=1,-0.75,-0.25,0.1875;%系统函数多项式的系数,B=conv(b,x);A=a;%确定Y(z)的系数,r,p,c=residu
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