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(2019全国1)10.已知椭圆的焦点为，过的直线与交于，两点.若，则的方程为（ ）A. B. C. D.答案：B解答：由椭圆的焦点为，可知，又，可设，则，根据椭圆的定义可知，得，所以，可知，根据相似可得代入椭圆的标准方程，得，椭圆的方程为.(2019全国1)16.已知双曲线C:的左、右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点.若，则的离心率为 .答案：解答：由知是的中点，又是的中点，所以为中位线且，所以，因此，又根据两渐近线对称，所以，.(2019全国1) 19.已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为.（1） 若，求的方程；（2） 若，求.答案：（1）；（2）.解答：（1）设直线的方程为，设，联立直线与抛物线的方程：消去化简整理得，依题意可知，即，故，得，满足，故直线的方程为，即.（2）联立方程组消去化简整理得，可知，则，得，故可知满足，.（2019全国2）8. 若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则（ ）A.2 B.3 C.4 D.8答案：D解答：抛物线的焦点是，椭圆的焦点是，.（2019全国2）11. 设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于 两点，若 ，则的离心率为（ ）A. B. C. D.答案:A解答：，,又，解得，即. （2019全国2）21. 已知点，动点满足直线和的斜率之积为，记的轨迹为曲线.（1）求的方程，并说明什么曲线；（2）过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结 并延长交于点.证明：是直角三角形；求的面积的最大值. 答案：见解析解答：(1)由题意得：，化简得： ，表示焦点在轴上的椭圆（不含与轴的交点）.(2) 依题意设，直线的斜率为 ，则，又，即是直角三角形.直线的方程为，联立 ，得 ，则直线，联立直线和椭圆，可得，则， ，令，则，.（2019全国3）10.双曲线：的右焦点为，点为的一条渐近线的点，为坐标原点.若则的面积为（ ）A: B: C: D:答案:A解析：由双曲线的方程可得一条渐近线方程为；在中过点做垂直因为得到;所以;故选A;（2019全国3）15.设、为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的坐标为_.答案：解析：已知椭圆可知，由为上一点且在第一象限，故等腰三角形中，,，代入可得.故的坐标为.（2019全国3）21.已知曲线，为直线上的动点.过作的两条切线,切点分别是,（1）证明：直线过定点;（2）若以为圆心的圆与直线相切,且切点为线段的中点,求四边形的面积.答案：见解析；解答：（1）当点在时，设过的直线方程为，与曲线联立化简得，由于直线与曲线相切，则有，解得，并求得坐标分别为，所以直线的方程为；当点横坐标不为时，设直线的方程为（），由已知可得直线不过坐标原点即，联立直线方程与曲线的方程可得，消并化简得，有两个交点，设，根据韦达定理有，由已知可得曲线为抛物线等价于函数的图像，则有，则抛物线在上的切线方程为，同理，抛物线在上的切线方程为，联立，并消去可得，由已知可得两条切线的交点在直线上，则有，化简得，即，即为，解得，经检验满足条件，所以直线的方程为过定点，综上所述，直线过定点得证.（2）由（1）得直线的方程为，当时，即直线方程为，此时点的坐标为，以为圆心的圆与直线相切于恰为中点，此时；当时，直线方程与曲线方程联立化简得，则中点坐标为，由已知可得，即，解得，由对称性不妨取，则直线方程为，求得的坐标为，到直线距离，到直线距离，则，综上所述，四边形的面积为或.（2019北京）4.已知椭圆（ab0）的离心率为，则A. a2=2b2B. 3a2=4b2C. a=2bD. 3a=4b【答案】B【解析】【分析】由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.【详解】椭圆的离心率,化简得,故选B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识基本运算能力的考查.（2019北京）18.已知抛物线C：x2=2py经过点（2，1）（）求抛物线C的方程及其准线方程；（）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点【答案】() ，；()见解析.【解析】【分析】()由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；()联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x=0即可证得题中的结论.【详解】()将点代入抛物线方程：可得：，故抛物线方程：，其准线方程为：.()很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.故：.设，则，直线的方程为，与联立可得：，同理可得，易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，且：，则圆的方程为：，令整理可得：，解得：，即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（2019天津）5.已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为A. B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。【详解】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有，。故选D。【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度。（2019天津）18.设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.（）求椭圆的方程；（）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.【答案】（）（）或.【解析】【分析】()由题意得到关于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程；()联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标，从而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.【详解】() 设椭圆的半焦距为，依题意，又，可得，b=2，c=1.所以，椭圆方程为.()由题意，设.设直线的斜率为，又，则直线的方程为，与椭圆方程联立，整理得，可得，代入得，进而直线的斜率，在中，令，得.由题意得，所以直线的斜率为.由，得，化简得，从而.所以，直线的斜率为或.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.（2019上海）10如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为【解答】解：由题意得：点坐标为，点坐标为，当且仅当时，取最小值，故答案为：（2019上海）11在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为【解答】解：设，则点，椭圆的焦点坐标为，结合可得：，故与的夹角满足：，故，故答案为：，（2019上海）20已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：（1）当时，求；（2）证明：存在常数，使得；（3），为抛物线准线上三点，且，判断与的关系【解答】解：（1）抛物线方程的焦点，的方程为，代入抛物线的方程，解得，抛物线的准线方程为，可得，；（2）证明：当时，设，则，联立和，可得，则存在常数，使得；（3）设，则，由，则（2019江苏）10.在平面直角坐标系xOy中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_.【答案】4【解析】【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.由，得，即切点，则切点Q到直线的距离为，故答案为：4【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.（2019江苏）17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（1、0），F2（1，0）过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1已知DF1=（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)解法一：由题意首先确定直线的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B的坐标，联立直线BF2与椭圆的方程即可确定点E的坐标；解法二：由题意利用几何关系确定点E的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E的坐标.【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c.因为F1(1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=，AF2x轴，所以DF2=，因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2由b2=a2-c2，得b2=3.因此，椭圆C的标准方程为.（2）解法一：由（1）知，椭圆C：，a=2，因为AF2x轴，所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=4.因为点A在x轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.由，得，解得或.将代入，得，因此.又F2(1，0)，所以直线BF2：.由，得，解得或.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.将代入，得.因此.解法二：由（1）知，椭圆C：.如图，连结EF1.因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，从而BF1E=B.因为F2A=F2B，所以A=B，所以A=BF1E，从而EF1F2A.因为AF2x轴，所以EF1x轴.因为F1(-1，0)，由，得.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.因此.【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.（2019浙江）2.渐近线方程为的双曲线的离心率是（ ）A. B. 1 C. D. 2【答案】C【解析】【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】因为双曲线的渐近线为，所以，则，双曲线的离心率.【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.（2019浙江）15.已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_.【答案】【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知，由中位线定理可得，设可得，联立方程可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知，由中位线定理可得，即求得，所以.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.（2019浙江）21.如图，已知点为抛物线，点为焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面积为.（1）求的值及抛物线的标准方程；（2）求的最小值及此时点的坐标.【答案】（1）1，；（2），.【解析】【分析】(1)由焦点坐标确定p的值和准线方程即可；(2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论即可求得的最小值和点G的坐标.【详解】(1)由题意可得，则，抛物线方程为，准线方程为.(2)设，设直线AB的方程为，与抛物线方程联立可得：，故：，设点C的坐标为，由重心坐标公式可得：，令可得：，则.即，由斜率公式可得：，直线AC的方程为：，令可得：，故，且，由于，代入上式可得：，由可得，则，则.当且仅当，即，时等号成立此时，则点G的坐标为.【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
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