增益与相位裕量

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,15,讲,程向红,系统的设计与校正问题,常用校正装置及其特性,串联校正,控制系统的校正,1,例,5-6,设一个闭环系统具有下列,试确定该闭环系统的稳定性。,开环传递函数,极坐标图,图,5-44,解,在右半,s,平面内有一个极点,图,5-44,中的奈奎斯特图表明，,轨迹顺时针方向包围,-1+0,点,一次,这表明闭环系统有两个极点在右半,s,平面，因此系统是不稳定的。,2,例,5-7,设一个闭环系统具有下列开环传递函数试确定该闭环系统的稳定性。,图,5-45,极坐标图,渐近线,在右半,s,平面内有一个极点,因此,开环系统是不稳定的,轨迹逆时针方向包围,-1+j0,一次,说明,没有零点位于右半,s,平面内，闭环系统是稳定的。这是一个开环系统不稳定，但是回路闭合后，变成稳定系统的例子。,图,5-45,表明,3,例,5-8,一单位反馈控制系统的开环传递函数为,式中,均为正值。为使系统稳定，开环增益,与时间常数,之间满足什么关系？,解 ：,频率特性,4,5,令虚部为零即可,与负实轴相交于,展开,？,与负实轴的交点,6,5.7.1,相位裕度和增益裕度,图,5-46,的极坐标图,5.7,相对稳定性,判断系统稳定的又一方法,7,相位裕度、相角裕度,(Phase Margin),设系统的截止频率,(Gain cross-over frequency),为,定义相角裕度为,当,时，相位裕量为正值；,时，相位裕度为负值。,当,增益裕度、幅值裕度,(Gain Margin),设系统的相位穿越频率,(Phase cross-over frequency),定义幅值裕度为,若以分贝表示，则有,8,Positive,Gain Margin,Positive,Phase Margin,Negative,Gain Margin,Negative,Phase Margin,Stable System,Unstable System,0,dB,0,dB,9,Positive,Gain Margin,Positive,Phase Margin,-1,1,Negative,Gain Margin,Negative,Phase Margin,-1,1,Stable System,Unstable System,10,例,5-9,一单位反馈系统的开环传递函数为,K=1,时系统的相位裕度和增益裕度。,要求通过增益,K,的调整，使系统的增益裕度,20logh=20dB,，相位裕度,解：,即,相位穿越频率,增益裕度,在,处的开环对数幅值为,11,根据,K=1,时的开环传递函数,相位裕度,增益穿越频率,截止频率,12,13,由题意知,验证是否满足相位裕度的要求。,根据,的要求，则得：,不难看出，,就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求。,14,例,5-11,设一单位反馈系统对数幅频特性如图,5-50,所示,(,最小相位系统,),。,写出系统的开环传递函数,判别系统的稳定性,如果系统是稳定的，则求,时的稳态误差。,解：,由图得,看对数幅频特性,15,-20dB/dec,-20dB/dec,-40dB/dec,-40dB/dec,0.01,0.1,1,5,rad/s,dB,16,由于是最小相位系统，因而可通过计算相位裕度,是否大于零来判断系统的稳定性。由图可知,在,处,则得,单位斜坡输入时，系统的稳态误差为,0,系统稳定,17,5.7.3,标准二阶系统中阶跃瞬态响应与频率响应之间的关系,书上例,5-13p203,设截止频率,则有,18,5.7.4,截止频率与带宽,(,Cutoff,frequency and bandwidth),图,5-53,截止频率与系统带宽,参看图,5-53,，当闭环频率响应的幅值下降到零频率值以下,3,分贝时，对应的频率称为截止频率。,对于的,系统,一阶系统的带宽为其时间常数的倒数。二阶系统，闭环传递函数为,19,始,开,20,基于一个控制系统可视为由控制器和被控对象两大部分组成，当被控对象确定后，对系统的设计实际上归结为对控制器的设计，这项工作称为对控制系统的校正。,第六章 控制系统的校正,前面几章讨论了控制系统几种基本方法。掌握了这些基本方法，就可以对控制系统进行定性分析和定量计算。,本章讨论另一命题，即如何根据系统预先给定的性能指标，去设计一个能满足性能要求的控制系统。,Design and Compensation Techniques,21,在实际过程中，既要理论指导，也要重视实践经验，往往还要配合许多局部和整体的试验。所谓校正，就是在系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。,工程实践中常用的校正方法，串联校正、反馈校正和复合校正。,22,目前，工业技术界多习惯采用频率法，故通常通过近似公式进行两种指标的互换。参见书,p220,6.1,系统的设计与校正问题,6.1.1,控制系统的性能指标,时域指标,稳态 型别、静态误差系数,动态 超调、调整时间,频域指标,开环频率、闭环带宽、谐振峰值、谐振频率,增益穿越频率、幅值裕度和相位裕度,23,二阶系统频域指标与时域指标的关系,谐振频率,带宽频率,截止频率,相位裕度,(6-5),谐振峰值,(6-1),(6-2),(6-3),(6-4),超调量,调节时间,(6-7),(6-6),24,谐振峰值,超调量,调节时间,(2),高阶系统频域指标与时域指标,(6-8),(6-9),(6-10),25,既能以所需精度跟踪输入信号，又能拟制噪声扰动信号。在控制系统实际运行中，输入信号一般是低频信号，而噪声信号是高频信号。,6.1.2,系统带宽的选择,带宽频率是一项重要指标。,如果输入信号的带宽为,则,(6-11),请看系统带宽的选择的示意图,选择要求,26,图,6-1,系统带宽的选择,噪声,输入信号,27,校,正,方,式,串联校正,反馈校正,校正装置,校正装置,前馈校正,复合校正,28,前馈校正,复合校正,(b),前馈校正（对扰动的补偿）,(a),前馈校正（对给定值处理）,29,(b),按输入补偿的复合控制,反馈校正 不需要放大器，可消除系统原有部分参数波动对系统性能的影响,串联校正 串联校正装置 有源 参数可调整,在性能指标要求较高的控制系统中，常常兼用串联校正和反馈校正,30,6.1.4,基本控制规律,（,1,）比例（,P,）控制规律,(6-12),（,a,）,P,控制器,(b) PD,控制器,（,2,）比例,-,微分（,PD,）控制规律,(6-13),提高系统开环增益，减小系统稳态误差，但会降低系统的相对稳定性。,PD,控制规律中的微分控制规律能反映输入信号的变化趋势，产生有效的早期修正信号，以增加系统的阻尼程度，从而改善系统的稳定性。在串联校正时，可使系统增加一个,的开环零点，使系统的相角裕度提高，因此有助于系统动态性能的改善。,31,具有积分（,I,）控制规律的控制器，称为,I,控制器。,(6-14),输出信号,与其输入信号的积分成比例。,为可调比例系数,消失后，输出信号,有可能是一个不为零的常量。,不宜采用单一的,I,控制器。,（,3,）积分（,I,）控制规律,I,控制器,当,在串联校正中，采用,I,控制器可以提高系统的型别（无差度），有利提高系统稳态性能，但积分控制增加了一个位于原点的开环极点，使信号产生,的相角滞后，于系统的稳定不利。,32,具有积分比例,-,积分控制规律的控制器，称为,PI,控制器。,PI,控制器,输出信号,同时与其输入信号及输入信号的积分成比例。,为可调比例系数,开环极点，提高型别，减小稳态误差。,右半平面的开环零点，提高系统的阻尼程度，缓和,PI,极点对系统产生的不利影响。只要积分时间常数,足够大，,PI,控制器对系统的不利影响可大为减小。,（,4,）比例,-,积分（,PI,）控制规律,(6-15),为可调积分时间系数,PI,控制器主要用来改善控制系统的稳态性能。,33,（,5,）比例（,PID,）控制规律,具有比例,-,积分,-,微分控制规律的控制器，称为,PID,控制器。,(6-16),(6-17),如果,PID,控制器,34,I,积分发生在低频段，稳态性能,(,提高,),D,微分发生在高频段，动态性能,(,改善,),增加一个极点，提高型别，稳态性能,两个负实零点，动态性能比,P,I,更具优越性,两个零点,一个,极点,35,一般而言，当控制系统的开环增益增大到满足其静态性能所要求的数值时，系统有可能不稳定，或者即使能稳定，其动态性能一般也不会理想。在这种情况下，需在系统的前向通路中增加超前校正装置，以实现在开环增益不变的前题下，系统的动态性能亦能满足设计的要求。,6.2,常用校正装置及其特性,无源校正网络,超前校正,有源校正网络,1.,无源超前校正,滞后校正,滞后超前校正,先讨论超前校正网络的特性，而后介绍基于频率响应法的超前校正装置的设计过程。,36,假设该网络信号源的阻抗很小，可以忽略不计，而输出负载的阻抗为无穷大，则其传递函数为,图,6-8,无源超前网络,时间常数,分度系数,(6-18),(a),(b),37,时间常数,分度系数,(6-18),注：,j,采用无源超前网络进行串联校正时，整个系统的开环增益要下降,因此需要提高放大器增益加以补偿,(6-19),倍,图,6-9,带有附加放大器的无源超前校正网络,此时的传递函数,38,超前网络的零极点分布,故超前网络的负实零点总是位于负实极点之右，两者之间的距离由常数,决定。,可知改变,和,T(,即电路的参数,超前网络的零极点可在,s,平面的负实轴任意移动。,由于,),的数值，,39,对应式,(6-19),得,(6-20),画出对数频率特性如图,6-10,所示。显然，超前网络对频率在,(6-21),(6-19),之间的输入信号有明显的微分作用，在该频率范围内输出信号相角比输入信号相角超前，超前网络的名称由此而得。,40,20dB/dec,41,由,(6-21),(6-24),(6-22),(6-23),故在最大超前角频率处,具有最大超前角,正好处于频率,与,的几何中心,的几何中心为,即几何中心为,(6-25),最大超前角频率,求导并令其为零,42,频率特性,20dB/dec,43,(6-26),但,a,不能取得太大,(,为了保证较高的信噪比,),a,一般不超过,20,这种超前校正网络的最大相位超前角一般不大于,如果需要大于,的相位超前角，则要在两个超前网络相串联来实现，并在所串联的两个网络之间加一隔离放大器，以消除它们之间的负载效应。,44,(b),最大超前角及最大超前角处幅值与分度系数的关系曲线,d,B,o,a,45,2.,无源滞后网络,如果信号源的内部阻抗为零，负载阻抗为无穷大，则滞后网络的传递函数为,时间常数,分度系数,(6-27),图,6-11,无源滞后网络,46,图,6-12,无源滞后网络特性,-20dB/dec,47,同超前网络，滞后网络在,时，对信号没有衰减作用,时，对信号有积分作用，呈滞后特性,时，对信号衰减作用为,同超前网络，最大滞后角，发生在,几何中心，称为最大滞后角频率，计算公式为,(6-28),( 6-29),b,越小，这种衰减作用越强,由图,6-12,可知,48,采用无源滞后网络进行串联校正时，主要利用其高频幅值衰减的特性，以降低系统的开环截止频率，提高系统的相角裕度。滞后网络怎么能提高系统的相角裕度呢？,49,在设计中力求避免最大滞后角发生在已校系统开环截止频率,附近。选择滞后网络参数时，通常使网络的交接频率,远小于,一般取,此时，滞后网络在,处产生的相角滞后按下式确定,将,代入上式,b,与和,20lgb,的关系如图,6-13,所示。,(6-30),(6-31),50,图,6-13 b,与,和,20lgb,的关系,b,0.01,0.1,1,20lgb,dB,51,3.,无源滞后,-,超前网络,图,6-14,无源滞后,-,超前网络,传递函数为,设,则有,式,(6-32),表示为,(6-32),a,是该方程的解,52,图,6-15,无源滞后,-,超前网络频率特性,(6-33),53,求相角为零时的角频率,(6-34),的频段，,的频段，,当,校正网络具有相位滞后特性,校正网络具有相位超前特性。,54,实际控制系统中广泛采用无源网络进行串联校正，但在放大器级间接入无源校正网络后，由于负载效应问题，有时难以实现希望的规律。此外，复杂网络的设计和调整也不方便。因此，需要采用有源校正装置。,6.2.2,有源校正网络,55,谢谢！,结束,56,57,频率法对系统进行校正的基本思路是：通过所加校正装置，改变系统开环频率特性的形状，即要求校正后系统的开环频率特性具有如下特点：,6.3,串联校正,6.3.1,串联超前校正（基于频率响应法）,用频率法对系统进行超前校正的基本原理，是利用超前校正网络的相位超前特性来增大系统的相位裕量，以达到改善系统瞬态响应的目点。为此，要求校正网络最大的相位超前角出现在系统的截止频率（剪切频率）处。,中频段的幅频特性的斜率为,-20dB/dec,并具有较宽的频带，这一要求是为了系统具有满意的动态性能；,高频段要求幅值迅速衰减，以较少噪声的影响。,低频段的赠以满足稳态精度的要求；,58,用频率法对系统进行串联超前校正的一般步骤可归纳为：,根据稳态误差的要求，确定开环增益,K,。,根据所确定的开环增益,K,，画出未校正系统的波特图，,关键是选择最大超前角频率等于要求的系统截止频率，即,以保证系统的响应速度，并充分利用网络的相角超前特性。显然，,成立的条件是,由上式可求出,a,验证已校系统的相角裕度,计算未校正系统的相角裕度,根据截止频率,的要求，计算超前网络参数,a,和,T,；,(6-36),(6-35),求出,59,用频率法对系统进行串联超前校正的一般步骤可归纳为：,根据稳态误差的要求，确定开环增益,K,。,确定开环增益,K,后，画出未校正系统的波特图，,计算未校正系统的相角裕度,由给定的相位裕量值,计算超前校正装置提供的相位超前量,是用于补偿因超前校正装置的引入，使系统截止频率增大而增加的相角滞后量。,值通常是这样估计的：如果未校正系统的开环对数幅频特性在截止频率处的斜率为,-40dB/dec,，一般取,如果为,-60dB/dec,则取,根据所确定的最大相位超前角,按,算出,a,的值。,60,计算校正装置在,处的幅值,10lga,由未校正系统的对数幅频特性曲线，求得其幅值为,-10lga,处的频率，该频率,就是校正后系统的开环截止频率,即,确定校正网络的转折频率,画出校正后系统的波特土，并演算相位裕度时候满足要求？如果不满足，则需增大,值，从第,步开始重新进行计算。,61,例,-1.,设一单位反馈系统的开环传递函数为,试设计以超前校正装置，使校正后系统的静态速度误差系数,相位裕度,，增益裕量,不小于,10dB,。,解：,根据对静态速度误差系数的要求，确定系统的开环增益,K,。,时，未校正系统的开环频率特性为,绘制未校正系统的伯特图，如图,6-16,中的蓝线所示。由该图可知未校正系统的相位裕量为,当,*也可计算,62,63,根据相位裕量的要求确定超前校正网络的相位超前角,由式,(6-37),超前校正装置在,处的幅值为,据此，在为校正系统的开环对数幅值为,对应的频率,这一频率就是校正后系统的截止频率,*也可计算,64,计算超前校正网络的转折频率,为了补偿因超前校正网络的引入而造成系统开环增益的衰减，必须使附加放大器的放大倍数为,a=4.2,65,66,67,校正后系统的框图如图,6-17,所示，其开环传递函数为,图,6-17,校正后系统框图,对应的伯特图中红线所示。由该图可见，校正后系统的相位裕量为,，增益裕量,，均已满足系统设计要求。,68,超前校正一般虽能较有效地改善动态性能，但未校正系统的相频特性在截止频率附近急剧下降时，若用单级超前校正网络去校正，收效不大。因为校正后系统的截至频率向高频段移动。在新的截,止,频率处，由于未校正系统的相角滞后量过大，因而用单级的超前校正网络难于获得较大的相位裕量。,基于上述分析，可知串联超前校正有如下特点：,这种校正主要对未校正系统中频段进行校正，使校正后中频段幅值的斜率为,-20dB/dec,，且有足够大的相位裕量。,超前校正会使系统瞬态响应的速度变快。由例,6-1,知，校正后系统的截止频率由未校正前的,6.3,增大到,9,。这表明校正后，系统的频带变宽，瞬态响应速度变快；但系统抗高频噪声的能力变差。对此，在校正装置设计时必须注意。,69,70,例,6-2,设控制系统如图,6-18,所示。若要求校正后的静态速度误差系数等于,30/s,，相角裕度,40,度，幅值裕度不小于,10dB,，截止频率不小于,2.3rad/s,，试设计串联校正装置。,图,6-18,控制系统,解：,首先确定开环增益,K,未校正系统开环传递函数应取,画出未校正系统的对数幅频渐近特性曲线，如图,6-19,所示,71,72,谢谢！,结束,73,