矩阵特征值计算课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,第八章,矩阵特征值计算,计算方法,幂法与反幂法,1,第八章矩阵特征值计算计算方法 幂法与反幂法1,本章内容,特征值基本性质,幂法与反幂法,正交变换与矩阵分解,QR,方法,2,本章内容 特征值基本性质 幂法与反幂法 正交变换与矩阵分解,本讲内容,特征值基本性质,幂法,幂法的加速,反幂法,3,本讲内容 特征值基本性质3,特征值性质,A x,=,x,(, ,C,x, 0,),性质,(1),特征值与特征向量,(2),(3),(4),若,A,对称，则存在正交矩阵,Q,，使得,4,特征值性质A x = x( C, x 0,圆盘定理,定理,：,(,Gerschgorin,圆盘定理,),设,是,A,的特征值，则,i,=1, 2, . ,n,设,A=,(,a,ij,),R,n,n,，记,Gerschgorin,圆盘,若有,m,的圆盘互相连通，且与其它圆盘都不相连，则这,m,个圆盘内恰好包含,m,个特征值。,5,圆盘定理定理：(Gerschgorin 圆盘定理) 设 ,Rayleigh,商,定理：,设,A,是,n,阶实对称矩阵，其特征值为,则对任意非零向量,x,，有,且,称为矩阵,A,关于,x,的,Rayleigh,商,。,6,Rayleigh 商定理：设 A 是 n 阶实对称矩阵，其特,(1),任取一个非零向量,v,0,，要求满足,(,x,1,v,0,), 0,(2),对,k,= 1, 2, .,，,直到收敛，计算,幂法,计算矩阵的,主特征值,（按模最大）,及其特征向量,假设：,(1),|,1,| |,2,|, ,|,n,|, 0,(2),对应的,n,个,线性无关,特征向量为：,x,1,x,2, .,x,n,计算过程：,幂法（乘幂法，幂迭代）,7,(1) 任取一个非零向量 v0，要求满足 (x1,v0) ,幂法的收敛性,收敛性分析,设,越小，收敛越快,8,幂法的收敛性 收敛性分析设越小，收敛越快8,幂法的收敛性,当,k,充分大时，有,又,(,j,=1, 2, . ,n,),v,k,为,1,的近似特征向量,9,幂法的收敛性当 k 充分大时，有又( j =1, 2, .,幂法的收敛性,定理：,设,A,有,n,个线性无关的特征向量，其特征值满足,则由幂法生成的向量满足,注：幂法的收敛速度取决于 的大小,10,幂法的收敛性定理：设 A 有 n 个线性无关的特征向量，其特,幂法,改进方法：,规范化,幂法中存在的问题,11,幂法改进方法：规范化 幂法中存在的问题11,幂法,1,的计算,12,幂法 1 的计算12,改进的幂法,定理：,设,A,有,n,个线性无关的特征向量，其特征值满足,则由改进的幂法生成的向量满足,(1),任取一个非零向量,v,0,，要求满足,(,x,1,v,0,), 0,(2),对,k,= 1, 2, .,，,直到收敛，计算,改进的幂法,13,改进的幂法定理：设 A 有 n 个线性无关的特征向量，其特征,举例,例：,用改进的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量,ex81.m,14,举例例：用改进的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量,幂法的加速,幂法的收敛速度取决于 的大小,当,r,接近于,1,时，乘幂法收敛会很慢！,幂法的加速：,原点平移法,令,B = A ,p,I,，则,B,的特征值为：,i,-,p,选择适当的,p,满足：,(1) (,j,= 2, . ,n,),(2),用幂法计算矩阵,B,的主特征值：,1,-,p,保持主特征值,加快收敛速度,带位移的幂法,15,幂法的加速幂法的收敛速度取决于,举例,例：,用带位移的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量，取,p,=0.75,ex82.m,16,举例例：用带位移的幂法计算下面矩阵的主特征值和对应的特征向量,反幂法,计算矩阵的,按模最小,的特征值,及其特征向量,假设：,(1),|,1,|,|,2,|, ,|,n,-1,| |,n,|, 0,反幂法,(2),对应的,n,个,线性无关,特征向量为：,x,1,x,2, .,x,n,A,-1,的特征值为：,对应的特征向量仍然为,x,1,x,2, .,x,n,反幂法,：对矩阵,A,-1,使用幂法,17,反幂法 计算矩阵的按模最小的特征值及其特征向量假设：(1),反幂法,定理：,设,A,有,n,个线性无关的特征向量，其特征值满足,则由反幂法生成的向量满足,(1),任取一个非零向量,v,0,，要求满足,(,x,1,v,0,), 0,(2),对,k,= 1, 2, .,，,直到收敛，计算,反幂法,18,反幂法定理：设 A 有 n 个线性无关的特征向量，其特征值满,反幂法的加速,反幂法的收敛速度取决于 的大小,当,r,接近于,1,时，反乘幂法收敛会很慢！,可以使用原点平移法对反幂法进行加速,问题：,如何选择参数,p,？,离,n,越近越好,（但不能相等）,19,反幂法的加速反幂法的收敛速度取决于,Rayleigh,商加速,Rayleigh,商加速,(1),任取一个非零向量,v,0,，要求满足,(,x,1,v,0,), 0,(2),对,k,= 1, 2, .,，,直到收敛，计算,20,Rayleigh 商加速 Rayleigh 商加速(1) 任,几点注记,带位移的反幂法中需要计算,带位移的反幂法可以用于计算任何一个特征值,k,将参数,p,取为,k,附近,若已知特征值，计算特征向量时，可使用带位移的反幂法,令,p,足够靠近,k,21,几点注记 带位移的反幂法中需要计算 带位移的反幂法可以用于,作业,教材,276,页，习题,3(1),22,作业教材 276 页，习题 3(1)22,