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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,22,章 相似形综合复习,第22章 相似形综合复习,1,平行线分线段,成比例定理,线段的比,成比例线段,比例的基本性质,推 论,相似三角形,相似三角形的判定,相似三角形的性质,一.知识框架,位似图形,平行线分线段线段的比成比例线段比例的基本性质推 论 相似,2,二、知识要点,1.,比例线段,如果四条线段,a,b,c,d,且 ，则,a,、,b,、,c,、,d,四条线段,成比例；反之,a,、,b,、,c,、,d,四条线段成比例，则有 。,注意顺序,，若 ，则是,a,、,c,、,b,、,d,四条线段成比例。,如果 ，则,a,、,b,、,c,、,d,叫做组成比例的项，,b,、,c,叫做比,例内项，,a,、,d,叫做比例外项，,d,叫做,a,、,b,、,c,的第四比例项,.,若作为比例内项的是两条相同的线段,.,即 ，,那么线段,b,叫做线段,a,、,c,的比例中项,.,（一）比例线段,二、知识要点1.比例线段如果四条线段a,b,c,d,且,3,1.,下列各组线段的长度成比例的是（ ）,2, 3, 4, 1 B. 1.5, 2.5, 6.5, 4.5,C. 1.1, 2.2, 3.3, 4.4 D. 1, 2, 2, 4,3.,已知：线段,a=2,，,b=,4,，,c=,3,，,求,a,、,c,、,b,的第四比例项；,请添加一条线段,x,，使这四条线段是成比例线段,求,x.,2.,1.下列各组线段的长度成比例的是（ ）2, 3, 4,4,2.,比例的性质：,(1),基本性质：如果 ，那么,反之也成立，即,:,如果 ，那么,(2),合分比性质,:,如果 ，那么,(3),等比性质,:,如果,= =,k,（,b,+,d,+,n,0,）,那么,=,k,2.比例的性质：(1)基本性质：如果,5,.,4.,填空,:,（,2,）已知,则,；,.,5.,若,则,.,（,1,）已知,4,a,-3,b=,0 ,则,；,.4.填空:（2）已知 ,6,3.,黄金分割,:,A,C,B,6.,3.黄金分割:ACB6.,7,4.,平行线分线段成比例定理,三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例,.,推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例,L1,A,B,C,D,E,L2,L3,L2,A,B,C,D,E,L1,L3,7.,如图，,ABCD,AB,=9,EC,=4,AC,=6,求,CD,的长,A,D,E,B,C,4.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线,8,1.,相似三角形的定义：,对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。,2.,相似比：,相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。,二、知识要点,练习：,ABCABC,如果,BC=3,BC=1.5,那么,ABC与,ABC的相似比为_.,（二）相似三角形,1.相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相,9,3.,相似三角形的判定方法,平行法,:,判定定理,1, 2, 3.,（,AA, SAS, SSS,）,直角三角形相似的判定,.(HL),4.,相似三角形的性质,1.,对应角相等，对应边成比例,。,2 .,对应高线比，对应中线比，,对应角平分线比,等于,相似比,。,3.,周长比等于,相似比,，面积比等于,相似比的平方,。,3.相似三角形的判定方法平行法:判定定理1, 2, 3.（A,10,ADE,绕点,A,旋转,A,C,B,D,A,D,E,B,C,A,D,E,B,C,A,B,C,D,E,B,C,A,D,E,点,E,移到与,C,点,重合,ACB,为直角,CDAB,相似三角形基本图形的回顾：,A,B,C,D,ADE绕点A旋转ACBDADEBCADEBCABCDEBC,11,1.,如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个交点叫做位似中心,这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比,.,2.,位似图形有以下性质：,位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比,.,位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,3.,位似图形中不经过位似中的对应线段平行或在同一直线上,.,（三）位似图形,二、知识要点,A,B,C,A,B,C,O,C,C,B,B,A,A,O,1.如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点, 那么,12,1,、 如图,已知,:DEBC,EF AB,则图中共有,_,对三角形相似,.,2,、 如图,已知,:ABC,中, ACB=90,0,CD AB,于,D,DEBC,于,E,则图中共有,_,个三角形和,ABC,相似,.,A,B,C,D,E,F,图,(1),E,A,B,C,D,图,(2),4,、,ABC,中，,AC=6,，,BC=4,，,CA=9,，,ABCABC,，,ABC,最短为,12,，则它的最长边的长度为,( ),A.16 B.18 C.27 D.24,A,D,B,E,C,1,3,2,图,(3),三、基础练习,1、 如图,已知:DEBC,EF AB,则图中共有_,13,6,、如图，正方形,ABCD,的边长为,8,，,E,是,AB,的中点，点,M,，,N,分别在,BC,，,CD,上，且,CM=2,，则当,CN=_,时，,CMN,与,ADE,相似。,E,A,B,C,D,M,N,7、在平面直角坐标系，B（1，0）, A（3，,3）, C（3，0）,点P在y轴的正半轴上运动，若以O，B，P为顶点的三角形与ABC相似，则点P的坐标是_.,y,A,B,C,x,O,P,5,、如图, ABC,中,AB=5,AC=4,E,是,AB,上一点,AE=2,在,AC,上,取一点,F,使,A,、,E,、,F,为顶点的三角形与,ABC,相似,那么,AF=_,E,A,B,C,.,6、如图，正方形ABCD的边长为8，E是AB的中点，点M，N,14,A,P,B,C,8,、若,ACPABC,，,AP=4,，,BP=5,，则,AC,=_,，,ACP,与,ABC,的相似比是,_,，周长之比是,_,，面积之比是,_,。,A,B,C,D,E,F,10,、四边形,ABCD,中，,ADBC,，,AC,、,BD,交于点,O,，若,AOD,的,面积为,4cm,2, BOC,的面积为,9cm,2,则四边形,ABCD,的面积,_cm,2,A,B,C,D,O,9,、在平行四边形,ABCD,中, .,若,S,AEF,=4cm,2,则,S,CDF,=,cm,2,11,、如图，,ABC,与,ABC,是位似图形，且顶点都在,格点上，则位似中心的坐标是,，位似比是,.,APBC8、若ACPABC，AP=4，BP=5，则AC,15,A,B,C,12,、在方格纸中,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形,.,在如图,44,的格纸中, ABC,是一个格点三角形,(1),在右图中,请你画一个格点三角形,使它与,ABC,相似,(,相似比不为,1),(2),在右图中,请你再画一个格点三角形,使它与,ABC,相似,(,相似比不为,1),但与图,1,中所画的三角形大小不一样,.,ABC12、在方格纸中,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点,16,13.,如图,在,ABC,和,DEF,中, A=D=70,0, B=50,0, E=30,0,画,直线,a,把,ABC,分成两个三角形,画,直线,b,把,DEF,分成两个三角形,使,ABC,分成的两个三角形和,DEF,分成的两个三角形分别相似,.(,要求标注数据,),30,0,30,0,C,A,B,70,0,50,0,E,D,F,70,0,30,0,a,b,C,A,B,70,0,50,0,E,D,F,70,0,30,0,a,b,20,0,20,0,13.如图,在ABC和DEF中, A=D=700,17,O,P,1,P,2,D,1,D,2,c,1,c,2,b,1,b,2,桌面,14、如图,在水平桌面上的两个“E”,当点P,1,P,2,O在一条直线上时,在点O处用号“E”测得的视力与用号“E”测得的视力相同.,图中b,1,b,2,c,1,c,2,应满足怎样的关系?,若b,1,=3.2cm,b,2,=2cm, 号“E”测试的距离c,1,=8m,要使测得的视力相同, 号“E”测试的距离c,2,应为多少?,OP1P2D1D2c1c2b1b2桌面14、如图,在水平,18,例,1,、如图，,CD,是,RtABC,斜边上的高，,E,为,AC,的中点，,ED,交,CB,的延长线于,F,。求证：,BDCF=CDDF,C,E,A,D,F,B,四、例题分析,例1、如图，CD是RtABC斜边上的高，E为AC的中点，E,19,例,2,、如图,DEBC,EFAB,且,S,ADE,=25,S,CEF,=36.,求,ABC,的面积,.,A,B,C,D,E,F,25,36,例2、如图,DEBC,EFAB,且SADE=25,S,20,例,3,、,ABC,为锐角三角形，,BD,、,CE,为高,.,求证：,ADE ABC,例3、ABC为锐角三角形，BD、CE为高 .,21,例,4,、如图,点,C,D,在线段,AB,上, PCD,是等边三角形,.,(1),当,AC,CD,DB,满足什么关系时, ACPPDB.,(2),当,ACPPDB,时,求,APB,的度数,.,A,B,C,D,P,例4、如图,点C,D在线段AB上, PCD是等边三角形.A,22,D,E,F,A,B,C,G,例,5,、如图,在,ABC,中,ACB= 90,0,，四边形,BEDC,为正方形, AE,交,BC,于,F, FGAC,交,AB,于,G.,求证,: FC=FG.,D E F A BC G例5、如图, 在AB,23,例,6,、过,ABCD,的一个顶点,A,作一直线分别交对角线,BD,、边,BC,、边,DC,的延长线于,E,、,F,、,G.,求证：,EA,2,= EFEG .,例6、过ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边B,24,例,7,、皮皮欲测楼房高度，他借助一长,5m,的标竿，当楼房顶部、标竿顶端与他的眼睛在一条直线 上时，其他人测出,AB=4m,AC=12m,。已知皮皮眼睛离地面,1.6m.,请你帮他算出楼房的高度。,A,B,C,D,E,F,例7、皮皮欲测楼房高度，他借助一长5m的标竿，当楼房顶部、标,25,D,Q,A,B,C,P,1,、如图,边长为,4,的正方形,ABCD,中,P,是边,BC,上的一点,QPAP,交,DC,于,Q,设,BP=x,ADQ,的面积为,y.,(1),求,y,与,x,之间的函数关系式,并求自变量,x,的取值范围,;,(2),问,P,点在何位置时,ADQ,的面积最小,?,最小面积是多少,?,五、拓展提升,D QABCP1、如图,边长为4的正方形ABCD中,P是边,26,H,P,D,E,F,G,A,B,C,2,、如图, ADBC, D,为垂足, AD=8, BC=10, EFGH,是,ABC,内接矩形,(H,、,G,是,BC,上的两个动点,但,H,不到达点,B, G,不到达点,C),设,EH=x,EF=y,(1),求,y,与,x,之间的函数关系式,并求自变量,x,的取值范围,;,(2),当,EF+EH=9,时,求矩形,EFGH,的周长和面积,.,HP D E F GABC2、如图, ADBC, D为,27,A,P,B,C,M,D,N,的面积最大。,何处时，,在,的函数解析式，且点,与,，求,面积为,高,中，,如图，,PMN,M,x,y,y,PMN,x,BC,BM,AC,PM,AB,MN,AD,BC,ABC,D,D,=,=,=,D,/,/,10,12,3,、,E,H,F,APBCMDN,的面积最大。何处时，在的函数解析式，且点与，,28,（,2,）设,BD=x,，,AE=y,，求,y,关于,x,的函数关系式及自变量,x,的取值范围，并求出当,BD,为何值时,AE,取得最小值,4,、如图,在等腰,ABC,中, BAC=90,AB=AC=1,点,D,是,BC,边上的一个动点,(,不与,B,、,C,重合），在,AC,上取一点,E,，使,ADE=45,（,1,）求证：,ABDDCE,（3）当ADE是等腰三角形时，求AE的长,A,B,C,D,E,1,x,y,（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x,29,如图,在等腰,ABC,中, BAC=90,AB=AC=1,点,D,是,BC,边上的一个动点,(,不与,B,、,C,重合），在,AC,上取一点,E,，使,ADE=45,（,1,）求证：,ABDDCE,A,B,C,D,E,如图,在等腰ABC中, BAC=90,AB=AC=,30,（,2,）设,BD=x,，,AE=y,，求,y,关于,x,的函数关系式及自变量,x,的取值范围，并求出当,BD,为何值时,AE,取得最小值,.,如图,在等腰,ABC,中, BAC=90,AB=AC=1,点,D,是,BC,边上的一个动点,(,不与,B,、,C,重合），在,AC,上取一点,E,，使,ADE=45,A,B,C,D,E,1,x,y,（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x,31,（3）当ADE是等腰三角形时，求AE的长,AD=AE,AE=DE,DE=AD,如图,在等腰,ABC,中, BAC=90,AB=AC=1,点,D,是,BC,边上的一个动点,(,不与,B,、,C,重合），在,AC,上取一点,E,，使,ADE=45,分类讨论,A,B,C,D,E,1,x,y,（3）当ADE是等腰三角形时，求AE的长AD=AEAE=D,32,5、如图,在四边形ABCD中,ABCD,A=90,0,AB=2, AD=5,P是AD上一动点(不与A、D重合), PEBP，PE交DC于点E,（）,ABP,与,DPE,是否相似？请说明理由,；,（）设,AP,x,，,DE=y,，求,y,与,x,之间的函数关系式,并指出自变量,x,的取值范围；,（,3,）请你探索在点,P,运动的过程中，四边形,ABED,能否构成矩形？如果能，求出,AP,的长；如果不能，请说明理由；,（,4,）请你探索在点,P,运动的过程中，,BPE,能否成为等腰三角形？如果能，求出,AP,的长，如果不能，请说明理由。,C,A,B,D,P,E,5、如图,在四边形ABCD中,ABCD, A=900,A,33,6,、如图，四边形,ABCD,中,ADBC,，,ABC=90,，,AD=9,，,BC=12,，,AB=10,，在线段,BC,上任取一点,P,，作射线,PEPD,，与线段,AB,交于点,E.,（,1,）试确定,CP=5,时点,E,的位置；（,2,）若设,CP=x,，,BE=y,，试写出,y,关于自变量,x,的函数关系式，并求出自变量,x,的取值范围,.,提示：体会这个图形的“模型”作用，将会助你快速解题！,B,C,A,D,E,P,H,C,E,P,A,D,6、如图，四边形ABCD中 ADBC ，ABC=90，,34,7、如图，已知抛物线与x轴交于A、B,两点，与y轴交于C点.,（1）求此抛物线的解析式；,（2）抛物线上有一点P，满足PBC=90，求点P的坐标；,（3）在（2）的条件下，问在y轴上是否存在点E，使得以A、O、E为顶点的三角形与PBC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.,A,B,P,C,O,x,y,X=4,2,3,Q,6,7、如图，已知抛物线与x轴交于A、BABPCOxyX=423,35,如图，在平面直角坐标系中，,A,（,0,，,1,）、,B,（,3,，,0,）、,C,（,-1,，,0,）,D,（,-2,，,0,），连结,AB,、,AC,、,AD.,(1) AD,的长为,_,；,(2),找出图中相似的一对三角形，并说明,相似的理由；,(3) ABD+ADB=_,度,.,必做题：,选做题：,2.,如图，平面直角坐标系中，直线,AB,与,x,轴,y,轴分别,A,（,3,，,0,）,B,（,0,， ）两点，点,C,为线段,AB,上的一动点，过点,C,作,CDx,轴于点,D.,(1),求直线,AB,的解析式；,(2),在第一象限内求作一点,P,使得以,P,，,O,，,B,为顶点的三角形与,OBA,相似,并求出所有符合条件的点,P.,A,O,D,C,B,y,x,如图，在平面直角坐标系中，A（0，1）、B（3，0）、C（-,36,相,似,三,角,形,2,性质,3,判定,1.,定义,1.,用预备定理,2.,用判定定理,(1.AA 2.SAS 3.SSS),3.,直角三角形相似的判定定理,HL,。,对应高,中线,角平分线的比等于相似比,对应周长的比等于相似比,面积比等于相似比的平方,对应角相等，对应边成比例。,六、小结,相 2性质3判定 1.定义1.用预备定理对应高,中线,37,
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