数学模型第五版-第5章课件

第,五,章 微分方程模型,描述,随时间连续变化物体或过程,的,动态变化,规律,.,微分方程,含自变量,、,未知函数及其导数的方程,.,采用,机理分析,方法,或,类比法,建立微分方程,.,物理领域,工程技术,科学研究,牛顿定律,电路原理,非物理领域,人口,经济,生态等,特,定,的,内在规律,例,.,火箭发射,由,燃料燃烧推力,发射,的火箭加速度、速度,、,高度的微分方程,.,例,.,人口预测,含人口数量及增长率的微分方程,.,第五章 微分方程模型描述随时间连续变化物体或过程的动态变化,第五章,微分方程模型,5.1,人口增长,5.2,药物中毒急救,5.3,捕鱼业的持续收获,5.4,资金、劳动力与经济增长,5.5,香烟过滤嘴的作用,5.6,火箭发射升空,5.7,食饵与捕食者模型,5.8,赛跑的速度,5.9,万有引力定律的发现,5.10,传染病模型和,SARS,的传播,第五章 5.1 人口增长,世界人口增长,人口翻番时间,123,年,39,年,中国人口增长,老龄化提速,性别比失调等凸显,开始,调整人口政策,.,20,世纪的一段时间内,人口增长速度过快,.,年净增人口由,最多的,2000,多万降到,2011,年,的,600,多万,.,47,年,5.1,人口增长预测,世界人口增长人口翻番时间123年 39年中国人口,3.,模型检验和增长预测,建立数学模型描述人口发展规律，是制定积极、稳妥人口政策的前提,.,1.,两个,基本的,人口模型,2.,用,美国人口数据,估计参数,3. 模型检验和增长预测建立数学模型描述人口发展规律，是制定,指数增长模型,今年人口,x,0,年增长率,r,1.,一个常用的人口预测公式,基本,前提,增长率,r,在,k,年内保持不变,.,根据人口统计数据,估计增长率,由,x,0,x,k,估计,r.,已知,增长率,预测,未来,人口,.,k,年后人口,例,.,从,1960,年到,1999,年,( 39,年时间,),世界人口翻番,.,该,期间的年平均增长率约为,r,=(log2)/39=1.8%,为什么？,指数增长模型今年人口 x0, 年增长率 r1. 一个常用的人,单位时间人口,增长率,为,常数,r,.,t,x,(,t,),按指数规律无限增长,.,与常用公式一致,?,马尔萨斯,1798,年,提出,?,2.,人口指数增长模型的建立,t,时刻,人口,数量为,连续、可微函数,x,(,t,),.,单位时间内,x,(,t,),的增量,为,rx,(,t,),初始时刻,(,t,=0),的人口为,x,0,假设,模型,解释,单位时间人口增长率为常数r.t, x(t), 按指数,3.,指数增长模型的参数估计,(,数据拟合,),方法一,直接用人口,数据,和,线性最小二乘法,.,1790,年,(,t,=0),至,2000,年美国人口数据,MATLAB,编程,计算,最小二乘法,3. 指数增长模型的参数估计 (数据拟合) 方法一 直,3.,指数增长模型的参数估计,(,数据拟合,),方法二,对人口数据作,数值微分,估计增长率,.,设,x,(,t,),在,t,0,t,1, ,t,n,(,等间距,t,),的,函数,值为,x,0,x,1, ,x,n,数值微分,中点公式,x,0,=3.9 (,原始数据,), r,k,x,(,t,),在各点的导数近似值,r,=0.2052/10,年,3. 指数增长模型的参数估计 (数据拟合) 方法二 对人,4.,改进的指数增长模型,修改,人口增长率为常数的假设,.,10,年增长率数据,x,0,=3.9 (,原始数据,),线性,最小二乘法,美国人口增长率,/10,年,1800,年,r,0.3,2000,年,r,0.1,r,0,=0.3252,，,r,1,=0.0114,r,(,t,)=,r,0,r,1,t,4. 改进的指数增长模型修改人口增长率为常数的假设.10年增,5.,美国人口,用,指数增长模型计算,结果,的,比较,1960,年以后,3,个结果明显不同,5. 美国人口用指数增长模型计算结果的比较1960年以后3个,5.,美国人口,用,指数增长模型计算,结果,的,比较,改进的指数模型,指数模型,(,方法二,),指数模型,(,方法一,),200,多年时间内假设,增长率为常数,违背实际情况,.,用指数模型计算的美国人口,与实际数据相差很大,.,5. 美国人口用指数增长模型计算结果的比较改进的指数模型指数,与,19,世纪以前,欧洲一些地区人口统计数据吻合,.,适用于,19,世纪后迁往,加拿大,的欧洲移民后代,.,可用于,短期,而不能用于,较长期的,人口预测,.,不符合,19,世纪后,多数地区,人口增长规律,.,6.,指数增长模型的应用及局限性,改进的指数模型,计算,结果有所改善,但它,未,反映增,长率下降,的机理,函数形式也不,易,确定,不便,于,应用,.,需分析,人口增长率下降的机理,修改假设,建立新模型,.,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合. 适用于1,logistic,模型,1.,模型建立,人口增长到一定数量后,增长率下降,的原因,资源、环境等因素对人口增长的,阻滞作用,且阻滞作用随人口增加而,变大,.,简单,、,便于应用的线性函数,r,是,x,的减函数,系数,a,b,？,内禀,(,固有,),增长率,r,理论上,x,= 0,时,的增长率,.,人口容量,x,m,资源和环境,对,人口,的,最大容量,.,r,(0)=,r,r,(,x,m,)=,0,logistic 模型1. 模型建立人口增长到一定数量后增长,1.,模型建立,r,(0)=,r,r,(,x,m,)=0,a,=,r,b,=,r,/,x,m,(1-,x,/,x,m,),资源和环境阻滞人口增长,rx,人口自身增长,d,x,/d,t,x,O,x,m,x,m,/2,t,x,0,x,增加先快后慢,x,m,x,0,x,m,/2,S,形曲线,渐近线,拐点,1. 模型建立r(0)=r, r(xm)=0 a = rb,1.,模型建立,t,x,0,x,m,x,0,x,m,/2,logistic,曲线,可分离变量方程,logistic,模型,求解,作图,t,1/2,1. 模型建立tx0xmx0xm/2logistic曲线可,2.,参数估计,方法一,数值微分,计算增长率,线性最小二乘,估计,参数,.,最小二乘法,r,=0.2805/10,年,模型,x,0,=3.9 (,原始数据,),x,m,=352.0548,数值微分,2. 参数估计方法一 数值微分计算增长率, 线性最小,方法二,直接用数据和,非线性最小二乘,估计,参数,.,2.,参数估计,模型,计算,结果比较,r,=0.2155/10,年,x,0,= 7.6962,x,m,=443.9931,方法二 直接用数据和非线性最小二乘估计参数.2. 参数,2.,参数估计,logistic,模型,(,方法二,),logistic,模型,(,方法一,),指数模型与,logistic,模型,计算,结果比较,(,误差平方和,),对,1790,年至,2000,年美国人口数据的拟合，,logistic,模型比指数增长模型有很大改善,.,非线性最小二乘,结果最好！,2. 参数估计logistic模型logistic模型指数模,模型检验和人口预测,上面,表、图给出的结果是利用,1790,年至,2000,年美国人口,数据估计的参数代入模型计算,得到的,.,这些结果与同期实际数据比较,虽,能反映模型与数据的,拟合程度,但,不是,真正意义上的,模型检验,.,在估计指数模型和,logistic,模型参数,时未,用,2010,年,的美国人口，,留下,这个实际,数据,用,于,模型检验,.,模型检验和人口预测上面表、图给出的结果是利用1790年至20,模型检验和人口预测,2010,年实际人口加入重估参数,预测,2020,年,人口,.,用,1790,年至,2000,年美国人口估计参数代入模型,计算,2010,年人口,与实际值比较作为,模型检验,.,预测准确性,需等,2020,年美国人口调查结果公布,.,拭目以待,模型检验的,误差在,5%,以内,，可以接受,.,模型检验和人口预测2010年实际人口加入重估参数预测2020,logistic,模型的广泛应用,logistic,模型,欧洲生物数学家,Verhulst19,世纪提出,，,中译名,为,逻辑斯谛,.,经济、社会领域中,的应用,耐用消费品销售量、,消息传播范围的,变化规律,.,生态、医疗领域中的应用,鱼塘中鱼群数量、,森林中树木数量、传染病传播人数的变化规律,.,logistic 模型的广泛应用logistic模型 欧,模型,假设,是建模的,关键之一,.,“,增长率随人口增加而线性减少,”,是,logistic,模型,的,合理、简化假设,.,参数估计,是建模的重要步骤,最小二乘法是参数估计的基本方法,.,模型,检验,对建模是不可缺少的,.,用作检验的数据不应,用于,建模过程的参数估计,正像裁判员不,能,做运动员一样,.,小结与评注,模型假设是建模的关键之一. “增长率随人口增加而线性减少”,场景,两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室,.,诉说两小时前孩子一次误吞下,11,片,治疗哮喘病、剂量,100mg/,片,的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状,.,按照药品说明氨茶碱的每次用量成人是,100200mg,，儿童是,23mg/kg (,按,3040kg,计,约,100mg).,过量服用可使血药浓度,(,单位血液容积中的药量,),过高，,100,g/ml,浓度会出现,严重中毒, 200,g/ml,浓度可致命,.,医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到,100200,g/ml,；如果会达到，应采取怎样的,紧急施救,方案,.,5.2,药物中毒急救,场景两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室.诉说两小时前孩子一,调查与分析,转移率正比于,x,排除率正比于,y,胃肠道,血液系统,口服药物,体外,认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的，可以将血液系统看作一个房室，建立,“一室模型”,.,药量,x,(,t,),药量,y,(,t,),血液系统对药物的吸收率,(,胃肠道到血液系统的转移率,),和排除率可以由,半衰期,确定,.,半衰期,可以从药品说明书上查到,.,调查与分析转移率正比于x排除率正比于y胃肠道血液系统口服药物,通常，,血液总量约为人体体重的,7,%,8%,，体重,5060 kg,的成年人有,4000ml,左右的血液,.,目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认为其血液总量约为,2000ml.,调查与分析,血药浓度,=,药量,/,血液总量,口服活性炭,来吸附药物，可使药物的,排除率,增加,到原来（人体自身）的,2,倍,.,临床施救的办法,体外血液透析,，药物排除率可增加到原来的,6,倍，但是安全性不能得到充分保证,.,通常，血液总量约为人体体重的7 % 8%，体重5060,模型假设,1.,胃肠道中药物向血液的,转移率与,x,(,t,),成正比,比例系数,(0),，总剂量,1100 mg,药物在,t,=0,瞬间进入胃肠道,.,2.,血液系统中药物的,排除率与,y,(,t,),成正比,，比例系数,(0),，,t,=0,时血液中无药物,.,3.,氨茶碱被吸收的半衰期为,5 h,，排除的半衰期为,6 h.,4.,孩子的血液总量为,2000 ml.,胃肠道中药量,x,(,t,),血液系统中药量,y,(,t,),，时间,t,以孩子误服药的时刻为起点（,t,=0,）,.,模型假设 1.胃肠道中药物向血液的转移率与x(t)成正比,比,模型建立,x,(,t,),下降速度与,x,(,t,),成正比,(,比例系数,),总剂量,1100mg,药物在,t,=0,瞬间进入胃肠道,.,转移率正比于,x,排除率正比于,y,胃肠道,血液系统,口服药物,体外,药量,x,(,t,),药量,y,(,t,),y,(,t,),由吸收而增长的速度是,x,，由排除而减少的速度与,y,(,t,),成正比,(,比例系数,) ,t,=0,时血液中无药物,.,模型建立x(t)下降速度与x(t)成正比(比例系数), 总,模型,求解,药物吸收的半衰期为,5 h,药物排除的半衰期为,6 h,只考虑血液对药物的排除,模型求解 药物吸收的半衰期为5 h 药物排除的半衰期为6 h,血液总量,2000ml,血药浓度,200,g/ml,结果及分析,胃肠道药量,血液系统药量,血药浓度,100,g/ml,y,(,t,) =200mg,严重中毒,y,(,t,) =400mg,致命,t,=1.62,t,=4.87,t,=7.89,y,=442,孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救，约,3h,后将致命！,y,(2)=236.5,血液总量2000ml血药浓度200g/ml结果及分析 胃肠,施救方案,口服活性炭使药物排除率,增至原来的,2,倍,.,孩子到达医院,(,t,=2),就开始施救，血液中药量记作,z,(,t,),=0.1386 (,不变,),，,=0.1155,2=0.2310,施救方案 口服活性炭使药物排除率增至原来的2倍. 孩子到,施救方案,t,=5.26,z,=318,施救后血液中药量,z,(,t,),显著低于,y,(,t,).,z,(,t,),最大值低于致命水平,.,要使,z,(,t,),在施救后立即下降，可算出,至少应为,0.4885.,若采用体外血液透析，,可增至,0.11556=0.693,，血液中药量下降更快；临床上是否需要采取这种办法，当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定,.,施救方案 t=5.26z=318 施救后血液中药量z (t),小结与评注,“ 转移率和排除率与血药浓度成正比”,是药物动力学建立,房室模型,的基本假设,.,假定整个血液系统的,血药浓度均匀,（用一个时间函数表示），建立最简单的,一室模型,，用一阶微分方程即可求解,.,以药物中毒急救为背景，研究药物通过胃肠向血液系统的,转移,，以及从血液系统的,排除,.,小结与评注“ 转移率和排除率与血药浓度成正比”是药物动力学建,再生资源（渔业、林业等）与,非再生资源（矿业等）,.,再生资源应适度开发,在持续稳产,前提下实现最大产量或最佳效益,.,问题及 分析,在,捕捞量稳定,的条件下，如何控制,捕捞使产量最大或效益最佳,?,如果使捕捞量等于自然增长量，,渔场,鱼量将保持不变,，则捕捞量稳定,.,背景,5.3,捕鱼业的持续收获,再生资源（渔业、林业等）与 再生资源应适度开发在持续稳,产量模型,假设,无捕捞时鱼的自然增长服从,Logistic,规律,.,单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比,.,建模,有捕捞情况下渔场鱼量满足,不需要求解,x,(,t,),只需知道,x,(,t,),稳定的条件,.,r,固有增长率,N,最大鱼量,h,(,x,)=,Ex, E,捕捞强度,x,(,t,) ,渔场鱼量,产量模型假设 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律,产量模型,平衡点,稳定性判断,x,0,稳定, 可得到稳定产量,x,1,稳定,渔场干枯,E,捕捞强度,r,固有增长率,产量模型平衡点稳定性判断x0 稳定, 可得到稳定产量x1 稳,产量模型,在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使,产量,最大,.,图解法,P,的横坐标,x,0,平衡点,y=rx,h,P,x,0,y,O,y=h,(,x,),=Ex,x,N,y=f,(,x,),P,的纵坐标,h,产量,产量最大,f,与,h,交点,P,h,m,x,0,*,=,N,/2,P,*,y=E,*,x,控制渔场鱼量为最大鱼量的一半,产量模型在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大.图解法,效益模型,假设,鱼销售价格,p,单位捕捞强度费用,c,单位时间利润,在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使,效益,最大,.,稳定平衡点,求,E,使,R,(,E,),最大,渔场鱼量,收入,T,=,ph,(,x,) =,pEx,支出,S,=,cE,效益模型假设 鱼销售价格p 单位捕捞强度费用c 单位时间利润,E,s,S,(,E,),T,(,E,),O,r,E,捕捞过度,封闭式捕捞,追求利润,R,(,E,),最大,开放式捕捞,只求利润,R,(,E,) 0,R,(,E,)=0,时的捕捞强度,E,s,=2,E,R,临界强度下的渔场鱼量,E,R,E,*,令,=0,x,s,由成本,价格比决定,捕捞过度,临界强度,EsS(E)T(E)OrE捕捞过度 封闭式捕捞追求利润R(E,捕捞过度,T,(,E,),O,r,E,S,(,E,),E,s,2,E,s,1,S,(,E,),pNE,E,*,pNE,/2,收入,支出,利润,临界强度,E,s,=0,经济学捕捞过度,生态学捕捞过度,小结,在自然增长和捕捞情况的合理假设下建模,.,用平衡点稳定性分析确定渔场鱼量稳定条件,讨论产量、效益和捕捞过度,3,个模型,.,捕捞过度T(E)OrES(E)Es2Es1S(E)pNEE*,增加生产 发展经济,增加投资,增加劳动力,提高技术,建立产值与资金、劳动力之间的关系,.,研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大,.,调节资金与劳动力的增长率，使经济,(,生产率,),增长,.,1,）,Douglas,生产函数,产值,Q,(,t,),F,为待定函数,资金,K,(,t,),劳动力,L,(,t,),技术,f,(,t,),= f,0,(,常数,),5.4,经济增长模型,增加生产 发展经济增加投资增加劳动力提高技术 建立产值与资,模型假设,静态模型,每个劳动力的产值,每个劳动力的投资,z,随着,y,的增加而增长，但增长速度递减,y,g,(,y,),O,1,）,Douglas,生产函数,解释含义？,Douglas,生产函数,产值,Q,资金,K,劳动力,L,技术,f,0,模型假设静态模型每个劳动力的产值每个劳动力的投资z 随着 y,资金在产值中的份额,1-,劳动力在产值中的份额,更一般的,Douglas,生产函数,1,）,Douglas,生产函数,单位资金创造的产值,单位劳动力创造的产值, 资金在产值中的份额1- 劳动力在产值中的份额更一,w,r,K/L,求资金与劳动力的分配比例,K/L,(,每个劳动力占有的资金,),，使效益,S,最大,.,资金和劳动力创造的效益,资金来自贷款，利率,r,劳动力付工资,w,2,）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）,w , r , 求资金与劳动力的分配比例K/,3),经济,(,生产率,),增长的条件,(,动态模型,),要使,Q,(,t,),或,Z,(,t,)=,Q,(,t,)/,L,(,t,),增长,K,(,t,),L,(,t,),应满足的条件,模型假设,投资增长率与产值成正比,(,用一定比例扩大再生产,),劳动力相对增长率为常数,3) 经济(生产率)增长的条件 (动态模型)要使 Q(t)或,Bernoulli,方程,3),经济增长的条件,Bernoulli方程3) 经济增长的条件,产值,Q,(,t,),增长,d,Q/,d,t, 0,3),经济增长的条件,劳动力相对增长率,产值Q(t)增长dQ/dt 03) 经济增长的条件 ,每个劳动力的产值,Z,(,t,)=,Q,(,t,)/,L,(,t,),增长,d,Z/,d,t,0,3),经济增长的条件,劳动力增长率小于初始投资增长率,每个劳动力的产值 Z(t)=Q(t)/L(t)增长dZ/dt,小结与评注,资金与劳动力的最佳分配,是利用,Douglas,生产函数建立的一个静态模型,.,经济,(,生产率,),增长的条件,是利用,Douglas,生产函数建立的一个动态模型，虽然微分方程的推导过程稍繁，但,结果简明,，并且可以给出,合理解释,.,Douglas,生产函数是,计量经济学,中重要的数学模型，这里给出其建模过程及参数的含义,.,小结与评注资金与劳动力的最佳分配是利用Douglas生产函数,过滤嘴的作用,与它的,材料,和,长度,有什么关系,?,人体吸入的,毒物量,与哪些因素有关，其中,什么因素影响大，什么因素影响小,?,模型分析,分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立,吸烟过程的数学模型,.,设想一个“机器人”在典型环境下吸烟，,吸烟方式和外部环境在整个过程中不变,.,问题,5.5,香烟过滤嘴的作用,过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系? 人体吸入的毒物量,模型假设,定性分析,1,）,l,1,烟草长，,l,2,过滤嘴长，,l = l,1,+,l,2,，,毒物量,M,均匀分布,，密度,w,0,=,M,/,l,1,.,2,）点燃处毒物随烟雾,进入空气,和,沿香烟穿行,的数量比是,a,:,a,a,+,a,=1.,3,）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的,(,单位时间,),吸收率,分别是,b,和,.,4,）烟雾沿香烟,穿行速度,是常数,v,，香烟燃烧速度是常数,u,，,v u.,Q,吸一支烟毒物进入人体,总量,模型假设定性分析1）l1烟草长， l2过滤嘴长， l =,模型建立,O,t,=0,x,=0,，点燃香烟,q,(,x,t,) ,毒物流量,w,(,x,t,) ,毒物密度,1),求,q,(,x,0)=,q,(,x,),流量守恒,模型建立Ot=0, x=0，点燃香烟q(x,t) 毒物流,t,时刻，香烟燃至,x=ut,1),求,q,(,x,0)=,q,(,x,),2),求,q,(,l,t,),t 时刻，香烟燃至 x=ut1) 求q(x,0)=q(x)2,3),求,w,(,ut,t,),考察,t,内毒物密度的增量,(,单位长度烟雾毒物被吸收部分,),3) 求w(ut,t)考察t内毒物密度的增量(单位长度烟雾,4),计算,Q,Q,吸一支烟毒物进入人体总量,4) 计算 QQ 吸一支烟毒物进入人体总量,结果分析,烟草,为什么有作用,?,1,）,Q,与,a,M,成正比，,aM,是毒物集中在,x,=,l,处的吸入量,2) ,过滤嘴因素，,l,2,负指数,作用,是毒物集中在,x,=,l,1,处的吸入量,3,）,(,r,),烟草的吸收作用,b, l,1,线性,作用,结果分析烟草为什么有作用?1）Q与a,M成正比， aM是毒物,带过滤嘴,不带过滤嘴,结果分析,4),与另一支不带过滤嘴的香烟比较，,w,0, b, a, v, l,均相同，吸至,x=l,1,扔掉,.,提高,-,b,与加长,l,2,，效果相同,.,带过滤嘴不带过滤嘴结果分析4) 与另一支不带过滤嘴的香烟比较,小结与评注,在基本,合理的简化假设,下，用精确的数学工具,解决一个看来,不易下手的实际问题,.,引入两个基本函数：,流量,q,(,x,t,),和,密度,w,(,x,t,),，,运用物理学的,守恒定律,建立微分方程，构造,动态模型,.,对求解结果进行定性和定量分析，得到合乎,实际的结论,.,小结与评注 在基本合理的简化假设下，用精确的数学工具 引入两,火箭,垂直地面发射,以很短距离穿越大气层,尽量减少空气阻力,.,三级火箭,接力助推,把燃料耗尽的火箭结构残骸,一一,丢弃,.,建立单级小型火箭发射、上升过程的数学模型,.,讨论提高火箭上升高度的办法,.,加大,燃料推力,、,减轻火箭质量,得到尽可能大的,有效载荷,.,5.6,火箭发射,火箭垂直地面发射, 以很短距离穿越大气层, 尽量减少空气阻力,单级小型火箭的发射,火箭垂直于地面发射、上升的过程：,垂直向上发射后,燃料,以一定的速率,燃烧,火焰向后喷射，对火箭产生,向前的推力,.,克服地球引力和空气阻力,推动火箭,加速飞行,燃料燃尽后火箭依靠获得的速度,继续上升,.,在引力和阻力的作用下火箭速度逐渐减小,直到速度,为,零,火箭达到最高点,.,单级小型火箭的发射火箭垂直于地面发射、上升的过程：垂直向上发,空气的,阻力,单级小型火箭的发射,火箭发射、上升过程,的,基本规律,牛顿第二定律,.,空气阻力随着火箭速度的增加而变大,.,阻力,与,速度之间的数量关系,不易确定,.,？,火箭在运动中受到,的力：,燃料燃烧的,推力,地球,的,引力,空气的阻力单级小型火箭的发射火箭发射、上升过程的基本规律,1.,不考虑空气阻力的简单模型,问题与假设,火箭垂直地面发射,燃料燃烧,速率,r,= 18(kg/s),产生,推力,F,= 27000(N),燃尽后火箭继续升,至,最高点,.,火箭初始,质量,m,0,=1600(kg),包括,m,1,=1080(kg),燃料,.,地球引力不变,重力加速度,g,=9.8(m/s,2,),给出燃料燃尽时火箭的高度、速度和加速度，及火箭到达,最高点,的,时间,和,高度,.,建立火箭上升,高度,、,速度,和,加速度,的数学模型,.,1. 不考虑空气阻力的简单模型问题与假设火箭垂直地面发射,模型建立,1.,不考虑空气阻力的简单模型,火箭,t,=0,时从地面,x,=0,发射,.,x,(,t,),火箭高度,m,(,t,),火箭质量,m,(,t,)=,m,0,rt,燃料燃烧速率,r,t,1,燃料,燃尽,的时间,t,1,=,m,1,/ r,t,1,以后火箭质量保持为,m,0,m,1,t,2,火箭到达,最高点,的时间,火箭,初始质量,m,0,燃料,质量,m,1,模型建立1. 不考虑空气阻力的简单模型火箭t=0时从地面x,模型建立,1.,不考虑空气阻力的简单模型,重力,m,(,t,),g,燃料燃尽后,t,1,t,t,2,火箭,t,=0,x,=0,零速度,发射,.,燃料燃烧阶段,0,t,t,1,t,1,=,m,1,/,r,质量,m,(,t,)=,m,0,rt,推力,F,质量,m,=,m,0,m,1,重力,(,m,0,m,1,),g,模型建立1. 不考虑空气阻力的简单模型重力m(t)g燃料燃,模型求解,1.,不考虑空气阻力的简单模型,速度,v,(,t,)=,加,速度,a,(,t,)=,积分,v,(0)=0,积分,x,(0)=0,燃料燃烧阶段,0,t,t,1,a,(,t,1,),v,(,t,1,),x,(,t,1,),模型求解1. 不考虑空气阻力的简单模型速度v(t)=加速,模型求解,1.,不考虑空气阻力的简单模型,燃料燃尽后,积分,v,(,t,1,),积分,x,(,t,1,),t,1,t,t,2,v,(,t,2,)=0,t,2,x,(,t,2,),模型求解1. 不考虑空气阻力的简单模型燃料燃尽后积分,模型求解,1.,不考虑空气阻力的简单模型,t,1,=60s,x,(,t,1,)=2.3656,10,4,m,v,(,t,1,) =1098m/s,a,(,t,1,) =42.12m/s,2,.,m,0,=1600(kg),m,1,=1080(kg),r,= 18(kg/s),F,= 27000(N),g,=9.8(m/s,2,),t,2,=172s,x,(,t,2,)= 8.5155,10,4,m.,数据代入,模型,计算,a,(,t,),v,(,t,),x,(,t,),t,1,t,1,t,1,模型求解1. 不考虑空气阻力的简单模型t1=60s, x,2.,考虑空气阻力的模型,知识和经验,低速时阻力与速度成正比,高速时阻力与速度平方,或,三次方成正比,.,燃料燃尽后,t,1, 0,P,:,临界状态,q, 0,P,不稳定,Volterra模型的平衡点及其稳定性平衡点稳定性分析P点稳,t,x,(,t,),y,(,t,),0,20.0000,4.0000,0.1000,21.2406,3.9651,0.2000,22.5649,3.9405,0.3000,23.9763,3.9269,5.1000,9.6162,16.7235,5.2000,9.0173,16.2064,9.5000,18.4750,4.0447,9.6000,19.6136,3.9968,9.7000,20.8311,3.9587,用,MATLAB,求,微分方程数值解,t,相轨线,y,x,tx(t)y(t)020.00004.00000.10002,计算结果（数值，图形）,x,(,t,),y,(,t,),是周期函数，相图(,x,y,),是封闭曲线,观察，猜测,x,(,t,),y,(,t,),的周期约为9.6,x,max,65.5,x,min,6,y,max,20.5,y,min,3.9,用数值积分可算出,x,(,t,),y,(,t,),一周期的平均值：,x,(,t,),的平均值约为25,y,(,t,),的平均值约为10,.,食饵与捕食者模型,(Volterra),计算结果（数值，图形）x(t), y(t)是周期函数，相图(,消去,d,t,用相轨线分析 点稳定性,c,由初始条件确定,取指数,消去dt用相轨线分析,x,0,f,m,f,(,x,),x,O,g,(,y,),g,m,y,0,y,O,在相平面上讨论相轨线的图形,用相轨线分析 点稳定性,相轨线,时无相轨线,以下设,x0fmf(x)xOg(y)gmy0yO在相平面上讨论相轨线,y,2,y,1,x,Q,3,Q,4,q,y,1,y,2,x,1,x,2,p,y,y,0,x,x,0,P,O,x,1,x,2,Q,1,Q,2,Q,1,(,x,1,y,0,),Q,2,(,x,2,y,0,),Q,3,(,x,y,1,),Q,4,(,x,y,2,),相轨线,退化为,P,点,存在,x,1,x,0,x,2,使,f,(,x,1,)=,f,(,x,2,)=,p,存在,y,1,y,0,y,2,使,g,(,y,1,)=,g,(,y,2,)=,q,相轨线是封闭曲线族,x,Q,3,Q,4,f,(,x,),x,x,0,f,m,O,g,(,y,),g,m,y,0,y,O,相轨线,P,中心,x,是,x,1, x,2,内任意点,y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0xx0POx1x,相轨线,是封闭曲线,x,(,t,),y,(,t,),是周期函数,(,周期记,T,),求,x,(,t,),y,(,t,),在一周期的平均值,轨线中心,用相轨线分析 点稳定性,相轨线是封闭曲线x(t), y(t)是周期函数(周期记 T),T,2,T,3,T,4,T,1,P,T,1,T,2,T,3,T,4,x,(,t,),的“相位”领先,y,(,t,),模型解释,初值,相轨线的方向,T2T3T4T1PT1 T2 T3,模型解释,r,食饵增长率,d,捕食者死亡率,b,食饵供养捕食者能力,捕食者 数量,食饵数量,P,r/a,d/b,a,捕食者掠取食饵能力,捕食者数量与,r,成正比,与,a,成反比,食饵,数量与,d,成正比,与,b,成反比,模型解释r 食饵增长率d 捕食者死亡率b 食饵供养捕食,模型解释,一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中,鲨鱼的比例却在增加，为什么？,r,r-,1,d,d+,1,捕捞,战时捕捞,r,r-,2,d,d+,2, ,2, ,1,食饵,(,鱼,),减少，,捕食者,(,鲨鱼,),增加,自然环境,还表明：对,害虫,(,食饵,),益虫,(,捕食者,),系统，使用灭两种,虫的,杀虫剂,会使害虫增加，益虫减少,.,x,y,O,模型解释一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中鲨鱼的比,Volterra,模型,的,局限性,Volterra,模型,多数,食饵,捕食者系统,观察不到周期震荡,而是趋向某个平衡状态,即,存在稳定平衡点,.,存在稳定平衡点,Volterra模型的局限性Volterra模型多数食饵捕,相轨线是封闭曲线，结构不稳定,一旦离开某一条闭轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状,.,自然界存在的周期性平衡生态系统是,结构稳定,的，即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状,.,r,1,=1,N,1,=20,1,=0.1,w,=0.2,r,2,=0.5,2,=0.18,相轨线趋向极限环,结构稳定,Volterra,模型,的,局限性,极限环,相轨线是封闭曲线，结构不稳定一旦离开某一条闭轨线，就进,背景和问题,将赛程分成若干阶段,根据赛跑运动员的生理,条件,对各阶段的速度作最恰当的安排,以期获,得最好的成绩,.,Keller,提出一个简单模型,(1974),根据,4,个生理参,数从最优控制的角度,确定各阶段的速度函数,并,可以预测比赛成绩,.,寻求速度安排的最佳策略是复杂的生理力学问题,.,5.8,赛跑的速度,背景和问题 将赛程分成若干阶段, 根据赛跑运动员的生理 Ke,问题分析,运动员在赛跑中要,克服体内外的阻力,以达到,和保持一定速度,需要发挥向前的,冲力,.,这些,能量,怎样,分配,到赛跑的各个阶段,并在到,达终点前将其全部用完,.,为冲力作功提供能量的来源,:,赛跑前,贮存在体内,的能量,赛跑中通过氧的,代谢作用产生的能量,.,模型要确定的,3,个关系,:,冲力与速度,冲力作功与能量来源,速度与比赛成绩,赛跑的最佳成绩是以,速度函数为变量，时间最短,为目标,冲力、能量等为约束的极值问题,.,问题分析 运动员在赛跑中要克服体内外的阻力以达到 这些能量怎,模型假设,赛跑中体内外的,阻力与速度成正比,比例系数,-1,赛跑中在氧的代谢下单位时间,产生的能量,是常数,赛跑前,贮存在体内供赛跑的能量,是常数,E,0,运动员能发挥的,最大冲力,是,F,运动员具有单位质量，初速为零,.,比赛成绩：“一定距离下时间最短”等价为,“一定时间内距离最大”,.,模型假设 赛跑中体内外的阻力与速度成正比, 比例系数-1,一般模型,以速度,v,(,t,),在时间,T,内跑完赛程,D,阻力与速度成正比,比例系数,-1,单位质量运动员，初速为零,运动员的最大冲力是,F,单位时间产生的能量是,赛跑前贮存的能量是,E,0,运动员赛跑速度,v,(,t,),体内能量,E,(,t,),D,固定,求,v,(,t,),使,T,最小,T,固定,求,v,(,t,),使,D,最大,以,D,(,v,(,t,),为目标的,泛函条件极值,(,F,E,0,为已知参数,),一般模型以速度v(t)在时间T内跑完赛程D阻力与速度成正比,短跑模型,用,最大冲力,F,跑全程,可取得最好成绩,最长的短跑赛程以体内能量,E,(,t,),不小于零为标准,t,E,E,0,O,t,c,t,e,(,单调增,),v,小,E,增加,v,大,E,减少,最远距离,(,最长的短跑赛程,),为,由 得到,短跑模型用最大冲力F跑全程, 可取得最好成绩最长的短跑赛程以,短跑模型,Keller,根据当时的世界记录得到,F,的估计值,:,后来根据,1987,年约翰逊的百米成绩,(9.83s),修正参数,:,估计用最大冲力跑全程时最长的短跑赛程,短跑模型Keller根据当时的世界记录得到F, 的估计值:,中长跑模型,当赛程超过,D,c,时不能用最大冲力跑全程,将赛程分为,3,个阶段,:,初始阶段,(0,t,t,1,),用最大冲力跑,在短时间获得高速度,.,中间阶段,(,t,1,t,t,2,),保持匀速,.,最后阶段,(,t,2,t,T,),把体内能量用完,靠惯性冲刺,.,问题,:,确定,t,1,t,2,及,3,个阶段的速度,v,1,(,t,),v,2,(,t,),v,3,(,t,),中长跑模型当赛程超过Dc时不能用最大冲力跑全程将赛程分为3个,中长跑模型,初始阶段,用最大冲力跑,与短跑模型相同,t,1,待定,最后阶段,把体内能量用完,E,(,t,)=0,中间阶段,保持匀速,t,2,v,2,待定,中长跑模型初始阶段用最大冲力跑, 与短跑模型相同t1待定最后,中长跑模型,中间阶段,在,E,(,t,2,)=0,v,1,(,t,1,)=,v,2,下求,v,(,t,),使,D,(,v,(,t,),最大,t,1,t,2,v,2,待定,中长跑模型中间阶段在E(t2)=0, v1(t1)=v2下求,中长跑模型,引入乘子,化为无,条件极值,v,2,t,2,最优的必要条件,确定,t,1,t,2,v,2,中长跑模型引入乘子化为无条件极值v2, t2最优的必要条件,模型解释,t,v,t,1,t,2,O,T,v,2,中长跑模型,3,段速度示意图,赛跑的最佳策略是最后把体内,能量全部用完,靠惯性,冲刺,这必然导致速度的短暂下降,单从赛跑的时间看,(,不考虑比赛的策略,),这样做是最优的,.,最后一段,(,通常一两秒钟,),速度有所下降,中长跑模型,确定,t,1,t,2,v,2,所需参数,(,Keller),已有,又有,=,41.5,E,0,=2403.5.,模型解释tvt1t2OTv2中长跑模型3段速度示意图 赛跑,小结与评注,Keller,对赛跑的一般模型提出,分段解法,不能证明,它的解是最优的,但这种,简化方法是合理的,.,模型也存在,不合适的处理,：运动员达到高速度,后不可能持续发挥最大冲力；短跑和中长跑运,动员的生理参数会有较大区别,.,Keller,模型在将动力学与生理学相结合,用,建模,方法探讨体育问题,上为人们提供了范例,.,小结与评注 Keller对赛跑的一般模型提出分段解法, 不能,背景,航海业发展,天文观测精确,“,地心说”动摇,哥白尼：“日心说”,伽利略：落体运动,开普勒：行星运动三定律,变速运动的计算方法,牛顿：一切运动有力学原因,牛顿运动三定律,牛顿：研究变速运动，发明微积分（流数法）,开普勒三定律,牛顿运动第二定律,万有引力定律,自然科学之数学原理,(1687),5.9,万有引力定律的发现,背景航海业发展天文观测精确“地心说”动摇哥白尼：“日心说”伽,模型假设,极坐标系,(,r,),1.,行星轨道,a,长半轴,b,短半轴,e,离心率,3.,行星运行周期,T,行星位置：向径,2.,单位时间,扫过面积为常数,A,m,行星质量,绝对常数,太阳,(0,0),O,r,P,行星,模型假设极坐标系 (r,)1. 行星轨道a长半轴, b,模型建立,O,(,太阳,),P,(,行星,),r,向径 的基向量,模型建立O (太阳)P (行星)r向径 的基向量,模型建立,只需证明,4,A,2,/,p =kM,（,A,2,/,p,与哪一颗行星无关）,A,单位时间,扫过面积,与万有引力定律,比较,T,运行周期,可以证明,l,p,/,/,2,2,=,p,A,4,A,2,/,p =kM,模型建立只需证明 4A2/p =kM（A2/p与哪一颗行星无,小结与评注,展示了在正确假设基础上运用数学方法建模，对,自然科学的发展,能够发挥多么,巨大的作用,.,介绍牛顿根据开普勒行星运动三定律和牛顿运动第二定律,得到万有引力定律的全过程,.,学习前辈如何创造性地用数学工具解决实际问题，,培养创新能力和钻研精神,.,小结与评注展示了在正确假设基础上运用数学方法建模，对自然科学,5.10,传染病模型和,SARS,的传播,2002,年冬到,2003,年春，一种名为,SARS,（,Severe Acute Respiratory Syndrome,，严重急性呼吸道综合症,民间俗称,非典,）的传染病肆虐全球,.,SARS,首发于中国广东，迅速扩散到,30,多个国家和地区，多名患者死亡引起社会恐慌、媒体关注，以及各国政府和联合国、世界卫生组织的高度重视、积极应对，直至最终控制住疫情的蔓延,.,SARS,被控制住不久，,2003,年,9,月,全国大学生数学建模竞赛以“,SARS,的传播,”命名当年,A,题和,C,题,.,5.10 传染病模型和SARS的传播 2002年,赛题要求,建立,你们,自己的模型,;,特别要说明怎样才能建立真正能,预测,以及能,为预防和控制提供,可靠、足够,信息,的模型,这样做的困难在哪里,?,北京市从,2003,年,4,月,20,日至,6,月,23,日逐日的疫情数据,对于卫生部门所采取的措施做出评论,如,:,提前或延后,5,天,采取严格的隔离措施,对疫情传播所造成的,影响,做出估计。,赛题要求 建立你们自己的模型; 特别要说明怎样才能建立真正,基本的传染病模型,按照,传播过程的规律,建立微分方程模型,.,不从医学角度分析各种传染病的特殊机理,.,介绍数学医学领域中基本的传染病模型,.,结合赛题介绍几个描述、分析,SARS,传播过程的模型及求解结果,.,传染病模型和,SARS,的传播,基本的传染病模型按照传播过程的规律建立微分方程模型.不从医学,假设,1.,总人数,N,不变，时刻,t,健康人,和,病人,所占,比例分别为,s,(,t,),和,i,(,t,),有,s,(,t,)+,i,(,t,)=1.,2