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,16.1,二次根式/,16.1,二次根式/,16.1,二次根式/,QICAIKETANG,16.1,二次根式/,16.1,二次根式/,16.1,二次根式,第一课时,第二课时,人教版,数学,八年级 下册,1,第一课时第二课时人教版 数学 八年级 下册1,二次根式有意义的条件和非负性,第一课时,返回,2,二次根式有意义的条件和非负性第一课时返回2,电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播,得越,远，,从而,能收看到电视节目的区域越广，电视塔高,h,（单位,：,km,）与电视节目信号的传播半径,r,（单位：,km,）之,间存,在近似关系,，其中地球半径,R,6 400 km,如,果两个电视塔的高分别是,h,1,km,、,h,2,km,，那么它,们的,传播半径之比,是,.,公式中 中,的,表示什么意义？,式子 表示,什么？,导入新知,电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收看到电,1.,理解二次根式的,概念,.,2.,掌握二次根式,有意义的条件,，能运用二次根式的概念求被开方数中字母的取值范围,.,素养目标,3.,会利用二次根式的,双重非负性,解决相关问题,.,1. 理解二次根式的概念. 2. 掌握二次根式有意义的条件，,（,1,）,面积为,3,的正方形的边长为,_,，面积为,S,的正方,形,的,边长为,_,（,2,）,一个长方形围栏，长是宽的,2,倍，面积为,130m,2,，则它的宽为,_m,（,3,）,一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间,t,（单位：,s,）与开始落,下时离地面的,高度,h,（单位：,m,）满足关系,h,=5,t,2,， 如,果用含有,h,的式子表示,t,，,则,t,为,_,探究新知,知识点,1,二次根式的定义和有意义的条件,用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点,（1）面积为3 的正方形的边长为_，面积为S,（,1,）,这,些式子分别表示什么意义？,分别表,示,3,，,S,，,65,，,的,算术平方根,根指数都为,2,;,被开方数为,非负数,.,（,2,）,这,些式子有什么共同特征？,探究新知,在,前面,的,问题中，得到的结果分别是：,， ， ， ,（1）这些式子分别表示什么意义？分别表示3，S，65，,根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？,我们知道，一,个正数,有,两个,平方根；,0,的平方根为,0,；,在实数范围内，负数没有平方根,.,因此，在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是,正数或,0.,探究新知,根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？我们知,一般地，我们把形如,的式子叫做,二次根式,. “ ”,称为二次根号,.,两个必备特征,外貌特征：含有“,”,内在特征：被开方数,a,0,注意：,a,可以是,数，,也可以是,式,.,探究新知,归纳总结,一般地，我们把形如 的式子叫做二,例,1,下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？,解：,(,1,)(,4,)(,6,),均是二次根式,，其中,x,2,+,4,属于“非负数+正数”的形式一定大于零.,(,3,)(,5,),(,7,),均不是二次根式,.,是否含二次根号,被开方数是不是非负数,二次根式,不是二次根式,是,是,否,否,分析：,探究新知,素养考点,1,利用二次根式的定义识别二次根式,（,1,）,； （,2,）,81,； （,3,）,；（,4,）,（,5,）,（,6,）,；（,7,）,例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4,1.,下列各式是二次根式吗,?,是,是,是,是,是,巩固练习,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,（,6,）,（,5,）,（,7,）,（,8,）,（,9,）,（,10,）,不是,不是,不是,不是,不是,1.下列各式是二次根式吗?是是是是是巩固练习（1）（2）（3,例,2,当,x,是怎样的实数时,在实数范围内有意义,?,解：,由,x,-2,0,，得,x,2.,当,x,2,时， 在实数范围内有意义,.,【,思考,】,1,.,当,x,是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？,解：,由题意得,x,-1,0,，,x,1,.,探究新知,素养考点,2,利用二次根式有意义的条件求字母,的取值范围,（,1,）,例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意,解：,被开方数需大于或等于零，,x,+3,0，,x,-3,.,分母不能等于零，,x,-10，,x,1,.,x,-3,且,x,1,.,归纳小结,：,要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足,被开方数,0,，列不等式求解即可,.,若二次根式为分式的分母时，应同时考虑,分母不为零,.,探究新知,（,2,）,解：被开方数需大于或等于零，归纳小结：要使二次根式在实数范,【,思考,】,2.,当,x,是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？,解：,(,1,),无论,x,为任何,实数，,当,x,=1,时， 在实数范围内有意义,.,(,2,),无论,x,为任何,实数，,-,x,2,-2,x,-3=-(,x,+1),2,-2,0,，,无论,x,为,任,何,实数,， 在实数范围内都,无,意义,.,探究新知,归纳小结：,被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当,分组凑成,含,完全平方,的形式，再进行分析讨论,.,（,1,）,（,2,）,【思考】2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？,(,1,),单个二次根式如 有意义的条件：,A,0,；,(,3,),多个二次根式相加,如,有意义的条件：,(,2,),二次根式作为分式的分母如 有意义的条件,：,A,0,；,(,4,),二次根式与分式的和,如 有,意义的条件：,A,0,且,B,0,.,探究新知,归纳总结,二次根,式有,意义的条,件应用的不同类型：,(1)单个二次根式如 有意义的条件：A0；(3)多个,2.,x,取何值时,下列二次根式有意义,?,巩固练习,（,1,）,（,2,）,x,1,x,0,（,3,）,（,4,）,x,为全体实数,x,0,（,5,）,（,6,）,x,0,x,0,x,-1,且,x,2,(,7,),（,9,）,x,0,x,为全体实数,(,8,),2. x取何值时,下列二次根式有意义?巩固练习（,【,新,知思,考,】,当,x,是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？,探究新知,知识点,2,二次根式的双重非负性,【,回,顾思,考,】,二,次根,式,的被开方数,a,的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？,因为,x, 0,，所以,x,可以为,任意实数,.,要使,x, 0,，必须,x,0,.,当,a,0,时，,表示,a,的算术平方根，,因此,；,当,a,=0,时， 表示,0,的算术平方根，,因此,.,这就是说，当,a,0,时,，,.,呢？,【新知思考】当x 是怎样的实数时， 在实数范围内有,二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根,.,对于任意一个二次根式 ，必须满足以下两条：,（,1,）,a,为被开方数，为保证其有意义，可知,a,0,；,（,2,） 表示一个数或式的算术平方根，可知,0,.,探究新知,二次根式的双重非负性,二次根式的被开方数,非负,二次根式的值,非负,归纳总结,二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于,解：,由题意可知,a+,3=0,b,-2=0,c,-1=0,解得,a,=-3,b,=2,c,=1,.,所以,2,a,-,b,+3,c,= -,32-2+31,= -,5.,探究新知,素养考点,1,利用二次根式的双重非负性求字母的值,例,3,若,，,求,2,a,-,b,+3,c,的值,.,提示,：,多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零,.,初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式,.,解： 由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0,所以2a,3.,已知|,3,x-y-,1,|和,互,为相反数，求,x+,4,y,的平方根,解：,由题意得,3,x,-,y,-1=0,且,2,x,+,y,-4=0,解得,x=,1,，y=,2,x+,4,y,=1+2,4=9,，,x+,4,y,的平方根为,3,.,巩固练习,3.已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x,探究新知,素养考点,2,二次根式的双重非负性和不等式求字母的值,例,4,已,知实数,x,、,y,满足等式 ，,求,x,2,-2,xy,+,y,2,的值,.,解：,由题意得,解得：,x=,3,把,x=,3,代入得,y,=-5,所以,x,2,-2,xy+y,2,=,（,x-y,),2,=(3+5),2,=64,总结：,若,，,则根据被开方数大于,等于,0,，可,得,a=,0,.,探究新知素养考点 2二次根式的双重非负性和不等式求字母的值例,4.,已,知,y,=,求,3,x,+2,y,的算术平方根,.,解：,由题意得,x,=3，,y,=8,，,3,x,+2,y,=,33,28=,25,.,25的算术平方根为5,，,3,x,+2,y,的算术平方根为5,巩固练习,4. 已知y =,巩固练习,连接中考,C,1.,（2018扬州）使 有意义的,x,的取值范围是（）,A,x,3,B,x,3,C,x,3,D,x,3,A,2,.（2019黄石）,若式子 在实数范围内有意义,，则,x,的取值范围是（）,A,x,1且,x,2,B,x,1,C,x,1且,x,2D,x,1,巩固练习连接中考C1.（2018扬州）使,连接中考,巩固练习,3.,（2018苏州）若,在实数范围内有意义，则,x,的取值范围在数轴上表示正确的是（）,A,B,C,D,D,连接中考巩固练习3.（2018苏州）若,A,D,-1,3.,当,x,=,_,时，二次根式,取最小值，其最小值,为,_,0,课堂检测,基础巩固题,1.,下面的式子是二次根式的是(),A,.,B.,C.,D.,a,2.,（2018达州）二次根,式,中的,x,的取值范围是（）,A,x,2B,x,2C,x,2D,x,2,AD-13.当x=_时，二次根式,4.,(,1,),若式子 在实数范围内有意义，则,x,的取值,范围,是,_;,(,2,),若式子 在实数范围内有意义，则,x,的取值范围是,_,.,x,1,x,0,且,x,2,课堂检测,基础巩固题,4.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值,5.,(,1,),若二次根式 有意义，求,m,的取值范围,解：,由题意得,m-,20,且,m,2,-m-,20,，,解得,m,2且,m,-1,，m,2,，,(,2,),无论,x,取任何实数，代数式,都有意义，,求,m,的取值范围,解：,由题意得,x,2,+6,x+m,0,，即,(,x+,3,),2,+m-,90,.,课堂检测,基础巩固题,m,2,(,x,+3,),2,0，,m,-90，即,m,9,.,5.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范,已知,a,，,b,为等腰三角形两条边长,，且,a,，,b,满足,，,求此三角形的周长,解：,由题意得,a=,3,，,b=,4,.,当,a,为腰长时，三角形的周长为,3+3+4=10,；,当,b,为腰长时，三角形的周长为,4+4+3=11,能力提升题,课堂检测,已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足,先阅读，后回答问题：,当,x,为何值时， 有意义？,解：由题意得,x,(,x,-1,),0,由乘法法则得,解得,x,1,或,x,0,即当,x,1,或,x,0,时， 有意义,.,课堂检测,拓广探索题,先阅读，后回答问题：课堂检测拓广探索题,体会解题思想后，试着解答：当,x,为何值时， 有意义？,解：,由题意得,则,解得,x,2,或,x,，,即当,x,2,或,x,时,，,有意义,课堂检测,拓广探索题,体会解题思想后，试着解答：当x为何值时， 有意义？解,二次根式,定义,带有二次根号,在有,意义条件,下求字母的取值范围,抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式或不等式组求出其,解集,.,被开方数为,非负数,二次根式的,双重非负性,二次根,式,中,a,0,且,0,课堂小结,二次根式定义带有二次根号在有意义条件下求字母的取值范围抓住被,二次根式化简,第二课时,返回,二次根式化简第二课时返回,【,思考,】,下,列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？,算术平方根之门,平方之门,0,-4,-1,a,a,0,1,导入新知,我们都是非负数,哟！,32,【思考】下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？,【,思考,】,若,下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？,算术平方根之门,平方之门,0,-4,-1,1,16,4,1,a,a,为任意数,【,想,一,想,】,你发现了什么？,导入新知,我们都是非负数，可出来之前我们有正数，零和负数,.,33,【思考】若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？,2.,会运用二次根式的,两个性质,进行化简计算,.,素养目标,1,.,经历探索性,质,=,a,（,a,0,）,和,=,a,（,a,0,）,的过程，并理解其意义,，体验归纳、猜想的思想方法,.,2. 会运用二次根式的两个性质进行化简计算.素养目标1. 经,（,2,）什,么是一个数的算术平方根？如何表示？,（,1,）,什,么叫做一个数的平方根？如何表示？,一,般地，若一个数的平方等于,a,，则这个数就叫做,a,的平方,根,.,若,一个正数的平方等于,a,，则这个数就叫做,a,的算术平方,根,.,a,的平方根是,用,(,a,0),表,示,.,知识点,1,（,a,0,),性质,探究新知,35,（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？（1）什么叫做一个,（,1,）填空：,（,2,）通过（,1,）的思考，你能确定,(,),（,a,0,）的化简结果吗？说说你的理由,.,4,0,探究新知,2,36,（1）填空：（2）通过（1）的思考，你能确定( ),是,4,的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于,4,的非负数，因此有,(,),=,4.,同理， 分别是 的算术平方,根,.,因此,(,)=2,(,)=,(,)=0,探究新知,37,是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，,的性质：,一般地， ,a,(,a,0,),.,即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身,.,注意,：不要忽,略,a,0,这,一限制条件,.,这是使二次根式 有意义的前提条件,.,探究新知,归,纳：,的性质：一般地， a,例,1,计算：,解,：,积的乘方：,（,ab,）,2,=,a,2,b,2,探究新知,素养考点,1,利用 的性质进行计算,（,1,） （,2,）,（,1,）,（,2,）,(,2,),可以用到幂的哪条基本性质呢？,39,例1 计算： 解：积的乘方：探究新知素养考点 1,解,:,巩固练习,1.,计算：,（,1,）,（,2,）,（,1,）,（,2,）,40,解:巩固练习 1.计算： （1）（2）（1）（2）40,解：,探究新知,素养考点,2,利用 的性质分解因式,总结,：,本题逆用了 在实数范围内,分解因式,.,例,2,在实数范围内分解因式：,（,1,）,4,x,2,-,5,(,2,),m,4,-,6,m,2,+,9,（,1,）,（,2,）,41,解： 探究新知素养考点 2利用,巩固练习,2.,在实数范围内分解因式：,（,1,）,x,2,-11,(,2,),x,4,-14,x,2,+49,解：,（,1,）,x,2,-11,=,(,x,+,)(,x,-,),(,2,),x,4,-14,x,2,+49,=(,x,2,-7),2,=(,x,-,),2,(,x,+,),2,42,巩固练习2. 在实数范围内分解因式： （,2,0.1,0,化简下列根式，想一想,知识点,2,的性质,探究新知,化简后，你能确定 的化简结果吗？,43,20.10化简下列根式，想一想知识点 2,.,平方运算,算术平方根,2 0.1,0,.,a,(,a,0),2,.,观察两者有什么关系？,填一填：,a,(,a,0),.,探究新知,44,平方运算算术平方根 2 0.1a(a0),.,平方运算,算术平方根,-2,-0.1,.,2,.,观察两者有什么关系？,a,(,a,0),【,猜,一,猜,】,当,a,0,时，,=,？,-,a,探究新知,45,平方运算算术平方根 -2 2观察两者有什么关系,a,(,a,0),-a,(,a,0),即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值,.,探究新知,归,纳：,的,性质：,46,a (a0)-a (a0)即任意一个数的平方的算术平方根,解：,探究新知,素养考点,1,利用 的性质进行计算,警,示,：,而,3.14,，要注意,a,的正负性,.,例,3,化简：,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,(,1,),(,2,),(,3,),(,4,),47,解：探究新知素养考点 1利用,【,讨,论,】,（,1,）在,中，,可否去掉,“,a,0”,？如果去掉,“,a,0”,结论将会发生怎样的变化？,（,2,）第二小题中的,能,否直接使用性质 进行化简？,探究新知,【讨论】（1）在 中，可否去掉“a0,探究新知,方法点拨,计算 一般有两个,步骤,:,去根号及被开方数的指数,写成绝对值的形式,即,;,去掉绝对值符号,即,探究新知 方法点拨 计算 一般有两个步骤:去根号及被开,3,.,请,同学们快速分辨下列各题的对错,（,）,巩固练习,（,）,（,）,（,）,50,3.请同学们快速分辨下列各题的对错（ ）巩固,3,7,4,81,巩固练习,4.,化简：,（1,）,=,;,（,2,）,=,;,（3）,=,;,（,4,）,=,;,（,5,）,=_,;,（,6,）,=_,.,0.6,10,-3,37481巩固练习 4.化简：（5）,【,议,一,议,】,如,何区别 与 ？,从运算顺序看,从取值范围看,从运算结果看,先开方,后平方,先平方，后开方,a,0,a,取任何实数,a,|a|,意义,表示一个非负数,a,的算,术平方根的平方,表示一个实数,a,的平方的算术平方根,探究新知,52,【议一议】如何区别 与 ？从运算顺序看从取值范围看,解：,由数轴可知,a,0,，b,0,，a-b,0,，,原式=,|,a,|-|,b,|,+,|,a,-,b,|,=,-,a,-,b,-（,a,-,b,）,=,-2,a,.,例,4,实数,a,、,b,在数轴上的对应点如图所示，请你化简,:,a,b,探究新知,素养考点,2,几何图形与 的性质相结合的题目,53,解：由数轴可知a0，b0，a-b0，例4 实数a、,-1,0,1,2,a,5.,实数,a,在数轴上的位置如图所示，化简,的结果是,.,1,巩固练习,6.,实数,a,b,在数轴上对应点的位置如图,所示, 化简,的,结果是,(),A,.-2,a,+,b,B.2,a,-,b,C.-,b,D,.b,A,a,b,0,-1012a5. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简1巩固练,（,1,）含,有数或表,示数的字母；,（,2,）用基本运算符号连接数或表示数的字母,（,a,0,）,回,顾我们学过的式子，如,，,这些式子有哪些共同,特征？,知识点,3,代数式的定义,探究新知,（1）含有数或表示数的字母； （a0） 回顾我们学,用,基本运算符号,（基本运算包,括加、减、乘、除、乘方和开方）把,或,连接起来的式子，我们称这样的式子为,代数式,.,数,表示数的字母,【,想,一,想,】,到,现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？,代数式,整式,分式,二次根式,探究新知,归,纳：,56,用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开,探究新知,素养考点,1,利用代数式的定义判断代数式,例,5,下,列式子:,(,1,),x,;,(,2,),a,-,b,;,(,3,),;,(,4,),;,(,5,),m,=1+,n,;,(,6,),2,x,1;,(,7,),-2.,其中是代数式的有,(,),A.4个 B.5,个 C.6,个D.7个,B,57,探究新知素养考点 1利用代数式的定义判断代数式例5 下列式,7.,下列式子是代数式的有,(,),a,2,+,b,2,;, ; 13; ,x,=2;,3,（,4,5,）,;,x,10;,10,x,+5,y,=15 ;,A.3,个,B.4,个,C.5,个,D.6,个,C,巩固练习,7.下列式子是代数式的有 ( )a2+b,解：,（,1,）,船在这条河中顺水行驶的速度是,km/h,，逆水行驶的速度,是,km/h,例,5,（,1,）,一条河的水流速度是,2.5 km/h,，船在静水中的速度是,v,km/h,，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水,行驶,时的速度；,（,2,）,如图，小语要制作一个,长与宽之比为,5:3,的长方形贺卡，若,面积为,S,，用代数式表示出它的长,.,（,2,）,设贺卡的长为,5,x,则宽为,3,x,.,依题意得,15,x,2,=,S,，所以 所以它的长为,探究新知,素养考点,2,列代数式,解：（1）船在这条河中顺水行驶的速度是 km/h,探究新知,归纳总结,列代数式的要点：,要抓住,关键词语,，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；,理清语句层次明确,运算顺序,；,牢记一些,概念和公式,探究新知 归纳总结列代数式的要点：,7.,如,图，是一个圆,形挂钟，正面面积为,S,，用代数式表示出钟的半径为,_.,巩固练习,7.如图，是一个圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半,1.,（2019黄冈）,计算,的结果是,_,巩固练习,连接中考,4,2,.,（,2018无锡）下列等式正确的是（）,A,B,C,D,A,1.（2019黄冈）计算 的结,1.,（2018临安区）化简,的结果是,（）,A2,B,2,C2,D4,C,2.,当,1,x,3,时， 的值为（,）,A.3 B.-3 C.1 D.-1,D,课堂检测,基础巩固题,3.,在下列各式中，不是代数式的是（）,A,.,7,B,.,32,C,.,D,B,1.（2018临安区）化简 的结果是（,4.,计算：,解,:,课堂检测,（,1,） （,2,）,（,3,）,（,4,）,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,基础巩固题,64,4.计算： 解:课堂检测（1）,5.,在实数范围内分解因式：,解：,课堂检测,（,1,）,x,2,-,3,(,2,),y,4,-,4,y,2,+,4,（,1,）,x,2,-,3,=,(,2,),y,4,-,4,y,2,+,4,=,(,y,2,-,2),2,=,=,基础巩固题,65,5.在实数范围内分解因式： 解：,实,数,a、b,在数轴上的对应点如图所示,，,化简：,.,解：,根据数轴可知,b,a,0,，,a+,2,b,0,，a-b,0,，,则,=|,a,+2,b,|+|,a,-,b,|,=,-a-,2,b+a-b=-,3,b,能力提升题,课堂检测,a,b,0,66,实数a、b在数轴上的对应点如图所示，解：根据数轴可,已知,a,、,b,、,c,是,ABC,的三边长，化简：,解：,a,、,b,、,c,是,ABC,的三边长，,a,+,b,+c,0,，,b,+,c,a,，,b,+,a,c,，,原式=,|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a|,=a+b+c-,（,b+c-a,）,+,（,b+a-c,）,=a+b+c-b-c+a+b+a-c,=,3,a+b-c,分析：,利用三角形三边关系,三边长均为正数,，,a,+,b,+c,0,两边之和大于第三边，,b,+,c,-,a,0,，,c,-,b,-,a,0,课堂检测,拓广探索题,67,已知a、b、c是ABC的三边长，化简：解：a、b、c是,二次根式,性质,(,a,0,),.,拓展性质,课堂小结,（,a,为,全体实数）,二次根式性质 (a,课后作业,作业,内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,课后作业作业教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习,
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