w10+刚体的平面运动

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1,第二篇 运动学,1,2,理论力学,第10章 刚体的平面运动,2,101 刚体平面运动的概述,102 平面运动分解为平动和转动 ,刚体的平面运动方程,103 平面图形内各点的速度,速度投影定,理,速度瞬心,104 平面图形内各点的加速度 ,加速度瞬心的概念,习题课,第10章 刚体的平面运动,3,刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，这是一种较为复杂的运动对它的研究可以在研究刚体的平动和定轴转动的基础上，通过运动合成和分解的方法，将平面运动分解为上述两种基本运动然后应用合成运动的理论，推导出平面运动刚体上一点的速度和加速度的计算公式,运动学,10-1 刚体平面运动的概述,一平面运动的定义,在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运动具有这种特点的运动称为刚体的,平面运动,4,例如: 曲柄连杆机构中连杆,AB,的运动，,A,点作圆周运动，,B,点作直线运动,，因此，,AB,杆的运动既不是平动也不是定轴转动，而是平面运动,运动学,5,运动学,二平面运动的简化,刚体的平面运动可以简化为平面图形,S,在其自身平面内的运动,即在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形的运动，确定平面图形上各点的速度和加速度,6,10-2 平面运动分解为平动和转动,刚体的平面运动方程,运动学,一平面运动方程,为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定,平面图形内任意一条线段的位置,任意线段,AB,的位置可用,A,点的坐标和,AB,与,x,轴夹角表示因此图形,S,的位置决定于三个独立的参变量所以,7,二平面运动分解为平动和转动,当图形,上,点不动时（x,y坐标已定），则刚体作定轴转动,当图形,上,角不变时，则刚体作平动,故刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动,平面运动方程,对于每一瞬时,t,，都可以求出对应的 ， 图形S在该瞬时的位置也就确定了(平面刚体有3个自由度)。,运动学,8,运动学,例如车轮的运动,车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢的平动和相对车厢的转动的合成,车轮对于静系的平面运动 （绝对运动）,车厢（动系,Ax,y,) 相对静系的平动 （牵连运动）,车轮相对车厢（动系,Ax,y,）的转动 （相对运动）,9,运动学,我们称动系上的原点,为,基点,，于是,车轮的平面运动,随基点,A,的平动,绕基点,A,的转动,刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动,10,运动学,再例如,: 平面图形,在,时间内从位置I运动到位置II,1.,以,A,为基点,:,随基点,A,平动到,A,B,后, 绕基点转,角到,A,B,2.,以,B,为基点,:,随基点,B,平动到,A,B,后, 绕基点转 角到,A,B,图中看出：,AB,A,B,A,B,，于是有,11,运动学,所以，,平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关,(即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的, ,都是相同的）,基点的选取是任意的,。(,通常选取运动情况已知的点作为基点),12,运动学,曲柄连杆机构,AB杆作平面运动,平面运动的分解,13,10-3平面图形内各点的速度,运动学,根据速度合成定理,则点速度为：,一基点法（合成法）,取,B,为动点, 则,B,点的运动可视为牵连运动为平动和相对运动为圆周运动的合成,已知：图形,S,内一点,A,的速度，,图形角速度,求：,指向与,转向一致,取,A,为基点, 将动系固结于,A,点,动系作平动。,14,运动学,即,平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和,这种求解速度的方法称为,基点法,，也称为,合成法,它是求解平面图形内一点速度的基本方法, 讨论, 共包括大小 方向 六个要素，已知任意四个要素，能求出另外两个要素。, 是矢量式，符合矢量合成法则；,15,由于,A,B,点是任意的，因此 表示了图形上任意两点速度间的关系由于恒有 ，因此将上式在,AB,上投影，有,速度投影定理,即,平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相等,这种求解速度的方法称为,速度投影法,运动学,二速度投影法, 讨论,可解一个未知量。,16,三瞬时速度中心法（速度瞬心法）,1. 问题的提出,若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简化于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？,运动学,速度瞬心的概念,平面图形,S,，某瞬时其上一点,A,速度 ,图形角速度,，沿 方向取半直线,AL, 然后,顺,的转向转90,o,至,AL,的位置,在,AL,上取长,度 则：,17,一般情况下,在每一瞬时,平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点，称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。,1、定理,基点,：,A,18,即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心,运动学,几种确定速度瞬心位置的方法,已知图形上一点的速度 和图形角速度,，,可以确定速度瞬心的位置,（,P,点）,且,在 顺转向绕,A,点,转90的,方向一侧,已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚,动, 则图形与固定面的接触点,P,为速度瞬心,19,运动学,已知某瞬时图形上,A,B,两点速度,大小,且,(,b,),(,a,),已知某瞬间平面图形上,A,B,两点速度,的方向，且,过,A,B,两点分别作速度 的垂线,交点,P,即为该瞬间的速度瞬心.,20,运动学,另：对,种(,a,)的情况，若,v,A,v,B,，,则也是瞬时平动,已知某瞬时图形上,A,B,两点的速度方向相同，且不与,AB,连线,垂直,此时, 图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度,=0, 图形上各点速度相等, 这种情况称为,瞬时平动,.,(此时各点的,加速度,不相等),21,例如: 曲柄连杆机构在图示位置时，连杆,BC,作瞬时平动,此时连杆,BC,的图形角速度,，,BC,杆上各点的速度都相等. 但各点的加速度并不相等,设匀,，则,而的方向沿AC的，,瞬时平动与平动不同,运动学,22,. 速度瞬心法,利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法.,平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。,若,P,点为速度瞬心，则任意一点,A,的速度,方向,AP,，指向与,一致。,运动学,. 注意的问题,速度瞬心在平面图形上的,位置不是固定,的，而是随时间不,断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。,速度瞬心处的速度为零,加速度不一定为零,。不同于定轴转动,刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速,度是不一定相同的。不同于刚体作平动。,23,解：机构中,OA,作定轴转动,AB,作平面运,动,滑块,B,作平动。,基点法（合成法）,研究,AB,，以,A,为基点，且方向如图示。,（）,运动学,例1,已知：曲柄连杆机构,OA,=,AB,=,l,，,取柄,OA,以匀,转动。 求：当,=45时, 滑块,B,的速度及,AB,杆的角速度,根据,在,点做 速度平行四边形，如图示。,24,（）,试比较上述三种方法的特点。,运动学,根据速度投影定理,不能求出,速度投影法,研究,AB, ,方向,OA, 方向沿,BO,直线,速度瞬心法,研究,AB,，已知的方向，因此,可确定出,P,点为速度瞬心,25,10-4,*,平面图形内各点的加速度,加速度瞬心的概念,取,A,为基点，将平动坐标系固结于,A,点,取,B,动点，则,B,点的运动分解为相对运动为圆周运动和牵连运动为平动,于是,由牵连,平动,时加速度合成定理可得如下公式,运动学,一. 基点法 (合成法),已知：图形,S,内一点,A,的加速度 和图形,的,（某一瞬时）。,求： 该瞬时图形上任一点,B,的加速度。,*,26,其中：，方向,AB,，指向与,一致；,，方向沿,AB,，指向,A,点。,运动学,即,平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和,。这种求解加速度的方法称为,基点法,，也称为,合成法,。是求解平面图形内一点加速度的,基本方法,。, 讨论, 是矢量式，符合矢量合成法则；, 共包括大小 方向,八个要素,，,已知任意,六,个要素，能求出另外两个要素。,由于,方向总是已知，所以在该公式中，只要再知道四个要素，即,可解出其余两个待求量。,27,二加速度瞬心,由于 的大小和方向随,B,点的不同而不同,所以总可以在图形内找到一点,Q,，在此瞬时，相对加速度 大小恰与基点,A,的加速度等值反向，其绝对加速度,Q,点就称为图形在该瞬时的,加速度瞬心,运动学,注,一般情况下,加速度瞬心与速度瞬心不是同一个点,一般情况下，,对于加速度没有类似于速度投影定理的关,系式.,即一般情况下,图形上任意两点,A,B,的加速度,若某瞬时图形,=0, 即瞬时平动, 则有,即,若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，则该瞬时图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等,28,由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样容易确定，且一般情况下又不存在类似于速度投影定理的关系式，故常采用基,点法求图形上各点的加速度或图形角加速度,分析：,大小 ？,w,2,方向 ？, ,故应先求出,（）,运动学,例1,半径为,R,的车轮沿直线作纯滚动, 已知轮心,O,点的速度,及加速度 ,求车轮与轨道接触点,P,的加速度,解：轮,O,作平面运动，,P,为速度瞬心，,29,由于此式在任何瞬时都成立，且,O,点作直线运动，故而,（）,由此看出，,速度瞬心,P,的加速度并不等于零,，,即它不是加速度瞬心,当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心,P,的加速度指向轮心,运动学,以,O,为基点，有 其中：,做出加速度矢量图，由图中看出：,（ 与 等值反向）,即,30,例9-8如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆以匀角速度,1,绕,O,1,转动。大齿轮固定，行星轮半径为,r,，在大轮上只滚不滑。设,A,和,B,是行星轮缘 上的两点，点,A,在,O,1,O,的延长线上，而点,B,在垂直于,O,1,O,的半径上。,求：点,A,和,B,的加速度。,31,解: 1、轮作平面运动，瞬心为,C,。,32,2、选基点为,33,34,第10章刚体平面运动总结习题课,一概念与内容,1. 刚体平面运动的定义,刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变,2. 刚体平面运动的简化,可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形,S,在自身平,面内的运动代替刚体的整体运动,3. 刚体平面运动的分解,分解为,4. 基点,可以选择平面图形内任意一点,通常是运动状态已知的点,随基点的平动（平动规律与基点的选择有关）,绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）,运动学,35,运动学,5. 瞬心（速度瞬心）,任一瞬时,平面图形或扩大部分都唯一存在一个速度为零的点,瞬心位置随时间改变,每一瞬时平面图形的运动可视为绕该瞬时瞬心的转动这,种瞬时绕瞬心的转动与定轴转动不同,=0, 瞬心位于无穷远处, 各点速度相同, 刚体作瞬时平动, 瞬时平动与平动不同,6. 刚体定轴转动和平面平动是刚体平面运动的特例,7. 求平面图形上任一点速度的方法,基点法：,速度投影法：,速度瞬心法：,其中，基点法是最基本的公式，瞬心法是基点法的特例,36,8. 求平面图形上一点加速度的方法,基点法： ，,A,为基点, 是最常用的方法,此外，当,=0,瞬时平动时也可采用方法,它是基点法在,=0时的特例。,运动学,9. 平面运动方法与合成运动方法的应用条件,平面运动方法用于研究,一个平面运动刚体,上任意两点的速,度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度与图形,角速度、角加速度之间的关系,合成运动方法常用来确定,两个相接触的物体,在接触点处有,相对滑动时的运动关系的传递,37,二解题步骤和要点,1,. 根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动,形式注意每一次的研究对象只是一个刚体,2,. 对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速,度(图形角速度)问题的方法, 用基点法求加速度(图形角加速,度),3,. 作速度分析和加速度分析，求出待求量,(基点法: 恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢量图；,速度投影法: 不能求出图形,;,速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键）,运动学,38,例1,曲柄肘杆压床机构,已知：,OA,=0.15m ,n,=300 rpm ,AB,=0.76m,BC,=,BD,=0.53m. 图示位置时,AB,水平,求该位置时的、 及,运动学,39,例1,曲柄肘杆压床机构,已知:,OA,=0.15m,n,=300 rpm,AB,=0.76m,BC,=,BD,=0.53m. 图示位置时,AB,水平.,求该位置时的， 及,解：,OA,BC,作定轴转动,AB,BD,均作平面运动,根据题意：,研究,AB,P,为其速度瞬心,（ ）,运动学,研究,BD,P,2,为其速度瞬心,BDP,2,为等边三角形,DP,2,=,BP,2,=,BD,（）,40,解：,OA,定轴转动; 轮,A,作平面运动, 瞬心,P,点,）,(,运动学,例2,行星齿轮机构,已知:,R,r,o,轮,A,作纯滚动，求,41,解,：轴,O, 杆,OC, 楔块,M,均作平动,圆盘作平面运动，,P,为速度瞬心,运动学,）,(,例3,平面机构中, 楔块,M,:,=30,v,=12cm/s ; 盘:,r,= 4cm , 与 楔块间无滑动求圆盘的,及轴,O,的速度和,B,点速度,42,比较例2和例3可以看出, 不能认为圆轮只滚不滑时,接,触点就是瞬心, 只有在接触面是固定面时, 圆轮上接触点,才是速度瞬心,每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心和,角速度, 并且瞬心在刚体或其扩大部分上, 不能认为瞬心在,其他刚体上. 例如, 例1 中,AB,的瞬心在,P,1,点,BD,的瞬心在,P,2,点, 而且,P,1,也不是,CB,杆上的点,运动学,43,解：(,a,),AB,作平动，,运动学,例2,已知,O,1,A,=,O,2,B, 图示瞬时,O,1,A,/,O,2,B,试问(,a,),(,b,)两种情况下,1,和,2,，,1,和,2,是否相等？,(,a,),(,b,),*,平面图形内各点的加速度,44,(,b,),AB,作平面运动, 图示瞬时作瞬时平动, 此时,运动学,*,平面图形内各点的加速度,45,运动学,例3,曲柄滚轮机构 滚子半径,R,=15cm,n,=60 rpm,求：当,=60时 (,OA,AB,),滚轮的,，,*,平面图形内各点的加速度,46,解,：,OA,定轴转动,A,B杆和轮,B,作平面运动,研究,AB,：,（）,P,为其速度瞬心,运动学,分析,: 要想求出滚轮的,先要求出,v,B,a,B,P,2,P,1,v,B,P,2,为轮速度瞬心,*,平面图形内各点的加速度,47,运动学,取,A,为基点，,指向,O,点,大小？,？,方向, ,作加速度矢量图，将上式向,BA,线上投影,）,(,）,(,研究轮,B,：,P,2,为其速度瞬心,*,平面图形内各点的加速度,48,补充习题,难度大,49,运动学,例4,导槽滑块机构,已知,： 曲柄,OA,=,r, 匀角速度,转动, 连杆,AB,的中点,C,处连接一,滑块,C,可沿导槽,O,1,D,滑动,AB,=,l,图示瞬时,O,A,O,1,三点,在同一水平线上,OA,AB, ,AO,1,C,=,=30。,求,：该瞬时,O,1,D,的角速度,解,：,OA,O,1,D,均作定轴转动,AB,作平面运动,研究,AB,: , 图示位置,作,瞬时平动, 所以,用合成运动方法,求,O,1,D,杆上与滑块,C,接触的点的速度,动点,:,AB,杆上,C,(或滑块,C,),动系,:,O,1,D,杆,静系,: 机架,50,运动学,绝对运动,：曲线运动，方向,相对运动,：直线运动，方向/,O,1,D,牵连运动,：定轴转动，方向,O,1,D,根据，,作速度平行四边形,）,(,这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论求解的综合性问题,注意这类题的解法，再看下例,51,例5,平面机构,图示瞬时,O,点在,AB,中点,=60,BC,AB, 已知,O,C,在同一水平线上,AB,=20cm,v,A,=16cm/s ,试求,该瞬时,AB,杆,BC,杆的角速度,及滑块,C,的速度,解,:,轮,A, 杆,AB, 杆,BC,均作平面运动, 套筒,O,作定轴转动, 滑块,C,平动.,取套筒上,O,点为,动点,动系,固结于,AB,杆;,静系,固结于机架,运动学, 由于沿,AB,所以方向沿,AB,并且与反向。 从而确定了,AB,杆上与,O,点接触点的速度方向。,研究,AB,P,1,为速度瞬心,52,也可以用瞬心法求,BC,和,v,C,，很简便,研究,BC, 以,B,为基点,根据,作,速度平行四边形,运动学,）,(,（）,53,10-3,10-14,54,解,:,OA,定轴转动 ;,AB,BC,均作平面运动,滑块,B,和,C,均作平动,求,对,AB,杆应用速度投影定理：,对,BC,杆应用速度投影定理：,运动学,例6,已知,：配气机构中，,OA,=,r, 以等,o,转动, 在某瞬时,= 60,AB,BC,AB,=6,r,BC,= .,求,该瞬时滑块,C,的,速度和加速度,55,求,以,A,为基点,求,B,点加速度：,(,a,),P,1,为,AB,杆速度瞬心，而,作加速度矢量图,并沿,BA,方向投影,运动学,56,作加速度矢量图,P,2,为,BC,的瞬心,而,P,2,C,= 9,r,再以,B,为基点, 求,运动学,将 (,b,) 式在,BC,方向线上投影,注,指向可假设，结果为正说明假设与实际指向相同，,反之，结果为负，说明假设与实际指向相反,30,57,运动学,解,：,应用点的合成运动方法,确定,CD,杆上,C,点与,AE,杆上接触 点,C,之间的速度关系,取,CD,杆上,C,为动点，动系固结于,AE,，静系固结于机架；则(,a,),应用平面运动方法确定,AE,上,A,、,C,点之间速度关系,(,b,),例7,导槽滑块机构,图示瞬时, 杆,AB,速度，杆,CD,速度,及,角已知，且,AC,=,l,求导槽,AE,的图形角速度,58,运动学,将 (,b,) 代入 (,a,) 得 , 作速度矢量图投至,轴，且,v,C,v,，,v,u,，有,（）,59,求：该瞬时杆,OA,的角速度与角加速度。,例9-11图示平面机构，滑块,B,可沿杆,OA,滑动。杆,BE,与,BD,分别与滑块,B,铰接，,BD,杆可沿水平轨道运动。滑块,E,以匀速,v,沿铅直导轨向上运动，杆,BE,长为。图示瞬时杆,OA,铅直，且与杆,BE,夹角为。,60,解：1 、杆,BE,作平面运动，瞬心在,O,点。,取,E,为基点,61,沿,BE,方向投影,62,绝对运动 ：直线运动(,BD,),相对运动 ：直线运动(,OA,),牵连运动 ：定轴转动(轴,O,),2、动点 ：滑块,B,动系 ：,OA,杆,沿,BD,方向投影,63,沿,BD,方向投影,64,求：此瞬时杆,AB,的角速度及角加速度。,例9-12 在图所示平面机构中，杆,AC,在导轨中以,匀速,v,平移，通过铰链,A,带动杆,AB,沿导套,O,运动，导套,O,与杆,AC,距离为,l,。图示瞬时杆,AB,与杆,AC,夹角为。,65,解：1、 动点 ： 铰链,A,动系 ： 套筒,O,绝对运动 ： 直线运动(,AC,),相对运动 ： 直线运动(,AB,),牵连运动 ： 定轴转动(轴,O,),66,67,68,另解： 1、取坐标系,Oxy,2、,A,点的运动方程,3、速度、加速度,69,求：此瞬时,AB,杆的角速度及角加速度。,例9-13 如图所示平面机构，,AB,长为,l,，滑块,A,可沿,摇杆,OC,的长槽滑动。摇杆,OC,以匀角速度,绕轴,O,转动，滑块,B,以匀速沿水平导轨滑动。图示瞬时,OC,铅直，,AB,与水平线,OB,夹角为。,70,2、动点 ： 滑块,A,动系 ：,OC,杆,绝对运动 ：未知,相对运动 ：直线运动（,OC,）,牵连运动 ：定轴转动（轴,O,）,解：1 、杆,AB,作平面运动，基点 为,B,。,71,沿 方向投影,72,73,例9-14 如图所示平面机构中，杆,AC,铅直运动，杆,BD,水平运动，,A,为铰链，滑块,B,可沿槽杆,AE,中的直槽滑动。图示瞬时,求：该瞬时槽杆,AE,的角速度 、角加速度及滑块,B,相对,AE,的加速度。,74,解：1、动点：滑块,B,动系：杆,AE,绝对运动：直线运动（,BD,）,相对运动：直线运动（,AE,）,牵连运动：平面运动,75,3、将（c）代入（a）,2、杆,AE,作平面运动 基点：,A,76,沿 方向投影,沿 方向投影,解得,77,4、将（d）代入（b）,78,沿 方向投影,沿 方向投影,解之,79,运动学,本章结束,80,