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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.2,直角三角形,九年级数学(上)第一章 证明二,驶向胜利的彼岸,三角形全等的判定,公理:三边对应相等的两个三角形全等SSS.,公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等SAS.,公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等ASA.,推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等AAS.,回顾,&,思考,1,想一想,:,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等,?,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等,.,如果其中一边的所对的角是直角呢,?,如果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等,.,请证明你的结论,.,驶向胜利的彼岸,命题的证明,我能行,1,命题,:,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等,.,老师提示,:,举反例证明假命题千万不可忘记噢,!,证明,:,这是一个假命题,只要举一个反例即可,.,如图,:,A,B,C,A,B,C,A,B,C,(1),(2),(3),由图,(1),和图,(2),可知,这两个三角形全等,;,由图,(1),和图,(3),可知,这两个三角形不全等,;,因此,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等,.,命题的证明,我能行,2,驶向胜利的彼岸,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等,.,但如果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等,.,老师期望,:,你能写出它的证明过程吗,?,你能用根据上面的证明用文字写出一个结论吗,?,:如图,在ABC和ABC中,AC=AC,AB=AB,C=C=900.,求证:ABCABC.,A,B,C,A,B,C,分析:,要证明ABCABC,只要能满足公理(SSS),(SAS),(ASA)和推论(AAS)中的一个即可.由和根据勾股定理易知,第三条边也对应相等.,驶向胜利的彼岸,直角三角形全等的判定定理及其,三种语言,我能行,3,定理,:,斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,(,斜边,直角边或,HL).,如图,在ABC和ABC中,C=C=900,AC=AC,AB=AB(),RtABCRtABC(HL).,A,B,C,A,B,C,驶向胜利的彼岸,用三角尺作角平分线,做一做,1,再过点,M,作,OA,的垂线,如图:在AOB的两边OA,OB上分别取点M,N,使OM=ON;,过点,N,作,OB,的垂线,两垂线交于点,P,那么射线,OP,就是,AOB,的平分线,.,请你证明,OP,平分,AOB.,A,B,O,P,老师期望,:,你能写出它的证明过程吗,?,M,N,:如图,OM=ON,PMOM,PNON.,求证:AOP=BOP.,先把它转化为一个纯数学问题,:,蓄势待发,驶向胜利的彼岸,如图,ACB=BDA=900,要使ABCBDA,还需要什么条件?把它们分别写出来.,增加,AC=BD;,议一议,A,B,C,D,增加,BC=AD;,增加,ABC=BAD,;,增加,CAB=DBA,;,你能分别写出它们的证明过程吗,?,假设AD,BC相交于点O,图中还有全等的三角形吗?,O,你能写出图中所有相等的线段,相等的角吗,?,你能分别写出它们的证明过程吗,?,驶向胜利的彼岸,知识在于积累,判断以下命题的真假,并说明理由:,两个锐角对应相等的两个直角三角形全等,;,斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等,;,两直角边对应相等的两个直角三角形全等,;,老师期望,:,请分别将每个判断的证明过程书写出来,.,开启 智慧,一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等,.,回味无穷,直角三角形全等的判定定理:,定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).,公理:三边对应相等的两个三角形全等SSS.,公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等SAS.,公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等ASA.,推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等AAS.,综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为:,一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;,两边对应相等的两个直角三角形全等;,切记!命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.,即(SSA)是一个假冒产品!,小结 拓展,习题,独立作业,1,驶向胜利的彼岸,1.:如图,D是ABC的BC边上的中点,DEAC,DFAB,垂足分别为E,F,且DE=DF.,求证:ABC是等腰三角形.,分析,:,要证明,ABC,是等腰三角形,就需要证明,AB=AC;,进而需要证明,BC,所在的,BDFCDE;,而,BDFCDE,的条件,:,从而需要证明,B=C;,BD=CD,DF=DE均为.因此,ABC是等腰三角形可证.,D,B,C,A,F,E,老师期望:,请将证明过程标准化书写出来.,独立作业,2,驶向胜利的彼岸,2.:如图,AB=CD,DEAC,BFAC,垂足分别为E,F,DE=BF.,求证:(1)AE=AF;(2)ABCD.,老师期望:请将证明过程标准化书写出来.,B,C,A,E,D,F,分析,:,(1),要证明,AE=CF,由此,AE=CF,可证,.,需要证明内错角,A=C;,而由,ABFCDE,可得证,.,(2),要证明,ABCD,由条件,AB=CD,DEAC,BFAC,DE=BF.可证得ABFCDE,从而可得AF=CE.,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。,3.,菱形的性质,1.,菱形的定义,菱形的四条边都相等,菱形的对角线互相垂直,2.,菱形的特征,菱形是一个轴对称图形,我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形除,此之外，还能找到其他的判定方法吗？,菱形的性质“两条对角线互相垂直平分中，“对角线,互相平分是平行四边形所具有的一般性质，而“对角线,垂直是菱形所特有的性质。,由此，可以得到一个猜测：“如果一个平行四边形,的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是一个菱,形。,如图，取两根长度不等的细木棒，让两个木,棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个,端点的连线。我们知道，这样得到的四边形是一个平行,四边形假设转动其中一个木棒，重复上面的做法，当两,个木棒之间的夹角等于90时，得到的图形是什么图形,呢？,如图，你还可以作一个两条对角线互相垂直的平行四边形,和你的同伴交换一下，看看是否成了一个菱形,由此可以得到判定菱形的一种方法：,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,如图，平行四边形,ABCD,中，对角线,AC,、,BD,互相垂直，我们可以证明：四边形,ABCD,是菱形,证明,四边形,ABCD,是平行四边形,OA,OC,又,ACBD,BD,所在直线是线段,AC,的垂直平分线,AB,BC,四边形,ABCD,是菱形,例如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证：四边形AFCE是菱形,分析要证四边形AFCE是菱形，由条件可知EFAC，所以只需证明四边形AFCE是平行四边形，又EF垂直平分AC，所以只需证OEOF,证明,四边形,ABCD,是平行四边形,AEFC,1,2,EF,平分,AC,AO,OC,又,AOE,COF,90,AOECOF,EO,FO,四边形,AFCE,是平行四边形,又,EFAC,四边形,AFCE,是菱形,对于一个一般的四边形，能否也可以找到判定它是不是菱形的方法呢？由菱形的另一条性质“四条边都相等，,你可能会想到：,如果一个四边形的四条边都相等，那它会不会一定是菱形？,试着画一画，与周围的同学讨论，猜一猜结论是否成立,由此我们得到了判定菱形的又一种方法：,四条边都相等的四边形是菱形,其实，这个结论同样是正确的这里的条件能否再减少一些呢？能否类似对矩形的讨论那样，有三条边相等的四边形就是菱形了呢？猜一猜，并试着画一画，你就会知道，这个结论是不成立的,菱形的判定方法,1.,有一组邻边相等的平行四边形是菱形,3.,四条边都相等的四边形是菱形,2.,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,1.以下条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是,.ACBD，AC与BD互相平分,.AB=BC=CD=DA,.AB=BC，AD=CD，且AC BD,.AB=CD，AD=BC，AC BD,O,A,D,C,B,C,2.:如图,在平行四边形ABCD中,AE平分BAD,与BC相交于点E,EF/AB,与AD相交于点F.,求证:四边形ABEF是菱形.,A,B,C,D,E,F,3.如图，在ABC,ACB=900，AD是角平分线，点E、F分别在AB、AD上，且AE=AC，EFBC。,求证：四边形CDEF是菱形,O,1,2,A,C,B,D,E,F,：如图，在正方形ABCD中，点E、F在BD上，且BF=DE.求证：四边形AECF是菱形.,A,D,C,B,F,E,O,体会,.,分享,你能说出这节课的心得和体会，让大家与你分享吗？,
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