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,#,第七章,电子自旋角动量,实验发现，电子有一种内禀的角动量，称为自旋角动量，它源于,电子的内禀性质,一种非定域的性质，一种量级为相对论性的效应。,在,Dirac,的相对论性电子方程中，这个内禀角动量很自然地体现在该,方程的旋量结构上。由于,Schro,&,dinger,方程是最低阶非相对论近似的结,果，因此,Schro,&,dinger,方程自然也就忽略了它们。换句话说，在电子运,动能量为非相对论性的情况下，自旋作用表现出来是另外一种自由,度，与电子的外部空间运动没有直接关系，所以对它的描写只能以外,来方式添加在,Schro,&,dinger,方程上。到目前为止，非相对论量子力学所,拟定的关于它的一套计算方法，使人们能够毫无困难地从理论上预测,实验测量结果并计算它在各种场合下的运动和变化。但是，整个量子,理论对这个内禀角动量（以及与之伴随的内禀磁矩）的物理本质依然,不十分了解,。,1,7.1,电子自旋角动量,1,电子自旋的实验基础和其特点,早期发现的与电子自旋有关的实验有：原子光谱的精细结构（比,如，对应于氢原子,2,p,1,s,的跃迁存在两条彼此很靠近的两条谱线，,碱金属原子光谱也存在双线结构等）；,1912,年反常,Zeeman,效应，特,别是氢原子的偶数重磁场谱线分裂，无法用轨道磁矩与外磁场相互,作用来解释，因为这只能分裂谱线为,(,2,l,+,1,),重，即奇数重；,1922,年,1,杨振宁讲演集，南开大学出版社，,1989,年,155,SternGerlach 实验，实验中使用的是中性顺磁的银原子束，通过,一个十分不均匀的磁场，按经典理论，由于束是中性的，不受,Lorentz,力的作用。由于银原子具有一个永久磁矩，并且从高温下蒸发出来成,束时其磁矩方向必定随机指向、各向同性的，于是在穿过非均匀磁场,时，磁矩和磁场方向夹角也是随机的。从而银原子束在通过磁场并接,受非均匀磁场力的作用之后，应当在接受屏上相对于平衡位置散开成,一个宽峰，但实验却给出彼此明显对称分开的两个峰，根据分裂情况,的实测结果为,B,，即数值为,Bohr,磁子。,针对以上难以解释的实验现象，,1925,年,Uhlenbeck,和,Goudsmit,提出假设：电子在旋转着，因而表现出称之为自旋的内禀角动量,s,v,它,h,在任意方向的取值只能有,两个数值。为使这个假设与实验一致，,2,假定电子存在一个内禀磁矩,并且和自旋角动量,s,之间的关系为（电,子电荷为,e,）,r,e,c,v,=,s,（7。1）,这表明，电子自旋的旋磁比是轨道旋磁比的两倍。于是，电子便具有,了,e,s,共四个内禀的物理量。根据实验事实用外加的方式引入电,子自旋这一内禀自由度之后，不仅原子的磁性性质，而且原子光谱本,身的一些精细结构，以及在外场下的多重分裂现象，也都得到了很好,的解释。,然而，认为电子自旋角动量来源于电子旋转这一经典图象却立即,遭到否定。假设电子半径为,r,e,，作为定性的估算可以合理地假定,156,e,2,c,r,e,p,h,2,r,e,p,h,h,c,c,=,137,c,=,r,e,e,2,这就是说，为了要在,r,e,的半径下旋转得出,h,的角动量，电子必须大致,以,137,倍的光速转动才行。显然这是一个不能接受的图象。这说明，,电子的自旋角动量有着另外的更深刻的内禀原因。虽然现在能进行有,关电子自旋和磁矩的各种计算，但仍然还不能说对电子自旋的物理本,质有透澈的了解。,2,电子自旋态的表示法,由于电子自旋是一个新的自由度，并且相应于这个新自由度的新,h,变数,s,只能取两个值,，于是电子的状态波函数应当是一个两分量,z,2,的列矢量，,v,(,),r,t,v,r,v,(,),(,),2,r,s,t,=,1,=,(,rt,),+,rt,(7.2),v,(,),r,t,z,1,2,1,0,这,里,=,=,分,别,代,表,自,旋,角,动,量,第,三,分,量,0,1,h,h,s,取朝上,和朝下,的状态。于是,z,2,2,2,2,v,dr,=,自旋朝上的几率,1,2,v,dr,=,自旋朝下的几率,总的归一化表示为,dr,=,dr,(,v,v,2,+,2,),=,2,1,(7.3),+,1,如果系统哈密顿量,H,中不含自旋角动量，或是自旋部分和空间部分可,以分开（即,H,=,H,+,H,），则自旋波函数和空间波函数就可以分离，,0,s,157,v,v,(,r,s,t,),=,(,rt,),(,s,t,),z,z,(,t,),(,),t,(,s,z,t,),=,=,(,t,),+,(,t,),1,1,2,2,考虑电子自旋角动量之后，,Schro,&,dinger,方程便由单分量的方程扩充为,两分量的方程，后者常称为,Pauli,方程。,3,自旋算符与,Pauli,矩阵,一方面，自旋既是角动量就应当满足角动量的对易规则，,s,s,=,i,h,s,这里,i,=,x,y,z,等,（7。4）,i,j,ijk,k,1,另一方面，自旋变数取值只有两个，,，并且波函数相应为两分量,2,的列矢量，于是自旋角动量的三个分量算符,S,i,自然应当是,3,个,2,2,的,厄米矩阵，以便对这些两分量的列矢量进行变换。于是，引入三个二,阶厄米矩阵,来表示,S,，令,i,i,h,S,i,=,i,(,i,=,x,y,z,),(7.5),2,h,这里已经抽出,S,的绝对数值,，所以,的本征值只能为,1,，就是说，,i,i,2,为自逆矩阵。将,代入对易规则（7。4）式，就得到决定它们的下,i,i,列关系，,=,2,i,ijk,i,j,k,(7.6a),2,=,0,i,1,0,=,为二阶单位矩阵。由,间的这些对易关系也能导出,间的,0,i,i,0,1,反对易关系，,=,j,i,=,0,=,2,+,0,j,i,j,i,i,j,i,(,),k,=,2,i,+,=,2,i,.,ijk,i,k,k,i,ijk,i,对任一给定的,j,，总可以取,i,k,，使,i,k,j,，于是得到,i,之间的反对,158,易关系，,=,0,i,i,k,k,将它们代入,(7,。,6a),式，便有,(,),=,i,，,i,j,k,i,j,ijk,k,(7.6b),(7.6c),综合（7。6b）式的反对易关系以及,=,1,，有,i,2,j,=,2,ij,，,(,i,j,=,x,y,z,),i,当然，由这里的反对易关系（,7.6c,）式也可以推出上面的对易关系,（,7.6a,）式，两者彼此等价。它们表明：,i,是自逆的、反对易的和零,迹的。最后一点是由于,0,=,tr,=,2,i,tr,k,i,j,ijk,tr,k,=,0,.,(,k,=,x,y,z,),这些关系式和结论是下面决定,i,表达式的出发点。现在往求这三,个厄米矩阵的具体形式。应当预先指出，由上面这组根据物理要求得,出的反对易规则，并不能完全确定这组厄米矩阵。要想完全确定它们，,必需另外附加规定。而不同附加规定所求得的三个,i,也将不同，但这,些不同组的,i,均能满足上面的全部物理要求，因而在物理上是等价,的。不同组之间相差一个,2,2,的幺正变换。这就出现一个需要选择,i,的表象的问题。这里只给出,i,的一个常用表象。为此作一个附加的规,定：,是对角的。再考虑到,的本征值为,1,，于是就可以直接写出,z,z,它为,1,0,=,z,0,1,159,a,b,，,a,b,为,进一步，根据,必须是零迹的厄米矩阵，可令,=,x,x,b,a,两个待定的复数。根据,=,代入,和,的表达式后可得,a,=,0,z,x,x,z,z,x,1,0,=,，,又得,b,=,e,i,为任一相因子。至此仍不能完全决定,考虑到,2,x,0,1,x,，再进一步约定位相,=,0,，于是有,0,1,=,x,1,0,接着由（,7.6b,）式，求得,y,为,0,i,=,i,=,y,z,x,i,0,总之，在规定,为对角形式并约定,的位相之后，就得到下面这组,z,x,2,2,的自逆、反对易、零迹的厄米矩阵,Pauli,矩阵，用它们就可,以具体地实现自旋角动量的对易规则，,0,1,0,i,1,0,=,=,，,=,，,(7.7),x,y,z,0,1,1,0,i,0,简单考察可以相信，这三个矩阵再加上,0,组成一组完全基，用它,们可以分解（展开）任何,2,2,的复矩阵。应当说，由于它们的自逆性,质和,i,之间的反对易性质，用它们作分解（展开）并随之而来的乘法,运算中将会表明这是最便于使用的一组基(因为伴随相乘而来的交叉,项之和将消失,各个自乘项矩阵本身又为,0,)，类似于在通常矢量展,开中选用了一组正交归一基矢时那样。,4,例算,例1,证明等式,(,A,),B,=,A,B,+,i,A,B,。这里，,A,B,是两个三,v,(,v,),(,),v,维矢量，,160,A,B,项中已略写,0,v,v,3,(,A,v,)(,B,v,),=,a,b,j,i,j,i,ij,=,1,3,3,i,=,a,b,+,a,b,j,i,j,i,i,i,j,=,1,(,i,j,),i,=,1,v,v,3,=,A,B,+,i,a,b,ijk,i,j,k,i,j,=,1,i,j,k,=,A,B,+,i,(,A,B,),v,例,2,求,n,的本征态，,n,=,sin,cos,sin,sin,cos,。,（7。8）,由例,1,，,(,v,n,v,),=,1,，厄米矩阵,n,的本征值为,1,。设其本征态为,2,a,(,n,r,),=,，写出本征方程,b,a,a,v,v,n,=,b,b,也即,i,a,sin,e,a,cos,sin,e,i,=,cos,b,b,解出,a,和,b,即得相应于本征值,1,的本征态,(,),(,n,r,),为,e,i,2,cos,2,(,+,),(,n,r,),=,2,e,i,sin,2,（7。9）,e,i,2,sin,(,),(,n,r,),=,2,i,2,e,cos,2,显然在,(,),(,n,r,),态中自旋平均值为,r,v,r,v,(,),(,),(,),(,),=,n,n,n,（7。10）,161,例,3,证明,e,i,.,=,cos,+,i,(,e,.,),sin,，这里,e,=,为,方向单位矢,r,v,v,v,v,v,v,量，,=,。,由于,i,2,n,i,2,n,+,1,v,v,(,),+,v,v,(,),n,+,v,v,.,i,=,2,n,2,1,e,(,2,n,),!,(,2,n,+,1,),!,n,=,0,n,=,0,由例,1,得,(,r,v,),=,于是,2,2,(,1,),n,(,1,),n,e,(,v,v,),v,v,i,.,=,2,n,+,i,2,n,(,2,n,),!,(,2,n,+,1,),!,n,=,0,n,=,0,最后得到,v,v,v,v,i,=,+,（7。11）,e,cos,i,(,e,),sin,这个公式以及它的特殊情况（,只有某一个或两个分量）很常用,1,。,例,4,证明,i,i,x,x,y,e,z,e,x,x,=,cos,+,sin,y,z,e,2,2,（7。12）,i,2,i,2,e,=,cos,sin,z,y,利用例,3,结果，可得,2,=,cos,i,x,sin,cos,+,i,x,sin,2,2,i,i,e,2,x,y,e,2,x,y,2,2,2,2,2,=,y,cos,2,i,sin,cos,+,sin,2,x,y,x,y,x,=,cos,+,sin,y,z,由,x,y,z,x,的循环置换，可以得到其余四个公式。顺便指出，由,于,e,i,是对两分量自旋态绕,x,轴转,角的转动。依托这一图象，这几,x,2,1,仔细研究这里的证明，可以看出针对以下三种情况有三种结果：,(,),(,),T,；,若,T,为任意矩阵，则有：,e,若,T,为自逆矩阵，则有：,e,i,T,=,cos,+,sin,T,i,i,T,=,I,cos,iT,sin,；,+,(,v,I,cos,+,i,e,T,sin,。,),v,i,T,=,若,T,为三个自逆反对易矩阵，则有：,e,162,个公式便很容易理解。,
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