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,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第三章：圆的基本性质,知识体系,圆,基本性质,概念,对称性,垂径定理,圆心角、弧、弦之间的关系定理,圆周角与圆心角的关系,弧长、扇形面积和圆锥的侧面积相关计算,圆的定义（运动观点）,在,一个平面,内，线段,OA,绕它,固定的一个端点,O,旋转一周，另一个,端点,A,随之,旋转,所形成的图形叫做圆。,固定的端点,O,叫做,圆心,，线段,OA,叫做,半径,，以点,O,为圆心的圆，记作,O,，读作,“,圆,O,”,圆的定义辨析,篮球是圆吗？,圆必须在一个平面内,以,3cm,为半径画圆，能画多少个？,以点,O,为圆心画圆，能画多少个？,由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？,半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置,圆是“圆周”还是“圆面”？,圆是一条封闭曲线,圆周上的点与圆心有什么关系？,点与圆的位置关系,圆,是到定点（圆心）的距离,等于,定长（半径）的点的集合。,圆的内部,是到圆心的距离,小于,半径的点的集合。,圆的外部,是到圆心的距离,大于,半径的点的集合。,由此，你发现,点与圆的位置关系,是由什么来决定的呢？,如果圆的半径为,r,，,点到圆心的距离为,d,，则：,点在圆上,d=r,点在圆内,dr,圆的有关性质,过三点的圆,思考,：确定一条直线的条件是什么？,类比联想,：是否也存在由几个点确定一个圆呢？,讨论,：经过一个点，能作出多少个圆？,经过两个点，如何作圆，能作多少个？,经过三个点，如何作圆，能作多少个？,经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的,外接圆,，,外接圆的圆心叫做三角形的,外心,，,三角形叫做圆的,内接三角形,。,问题,1,：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？,问题,2,：三角形的外心一定 在三角形内吗？,C,90,ABC,是锐角三角形,ABC,是钝角三角形,垂直于弦的直径,及其推论,从特殊到一般,想一想,：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？,性质：,圆是,轴对称图形,，任何一条,直径,所在的直线都是它的,对称轴,。,观察右图，有什么等量关系？,垂直于弦的直径,AO=BO=CO=DO,，弧,AD,弧,BC,，弧,AC,弧,BD,。,AO=BO=CO=DO,，弧,AD,弧,BC=,弧,AC,弧,BD,。,AO=BO=CO=DO,，弧,AD,弧,BD,，弧,AC,弧,BC,AE,BE,。,垂径定理,垂径定理,垂直于弦的直径,平分,这条,弦,，并且,平分,弦所对的两条,弧,。,判断下列图形，能否使用垂径定理？,注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！,定理辨析,练习,O,A,B,E,若圆心到弦的距离用,d,表示，半径用,r,表示，弦长用,a,表示，这三者之间有怎样的关系？,变式,1,：,AC,、,BD,有什么关系？,变式,2,：,AC,BD,依然成立吗,？,变式,3,：,EA,_,EC=_,。,FD,FB,变式,4,：,_ AC=BD.,OA=OB,变式,5,：,_ AC=BD.,OC=OD,变式练习,如图，,P,为,O,的弦,BA,延长线上一点，,PA,AB,2,，,PO,5,，求,O,的半径。,M,A,P,B,O,辅助线,关于弦的问题，常常需要,过圆心作弦的垂线段,，这是一条非常重要的,辅助线,。,圆心到弦的距离、半径、弦长,构成,直角三角形,，便将问题转化为直角三角形的问题。,（,1,）,平分弦,（不是直径）,的直径,垂直于弦,，并且,平分弦所对的两条弧,；,（,2,）,弦的垂直平分线,经过圆心,，并且,平分弦所对的两条弧,；,（,3,）,平分弦所对的一条弧的直径,，,垂直平分弦,并且,平分弦所对的另一条弧,。,推论,1,如图,，,CD,为,O,的直径,，,ABCD,，,EFCD,，,你能得到什么结论？,推论,2,弧,AE,弧,BF,圆的两条,平行弦,所夹的弧相等,。,F,O,B,A,E,C,D,圆的性质,圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。,圆是以圆心为对称中心的,中心对称图形,。,圆还具有,旋转不变性,，即圆绕圆心旋转任意一个角度,，都能与原来的图形重合。,圆心角,：顶点在圆心的角。,（如：,AOB,）,C,弦心距,：从圆心到弦的距离。,（如：,OC,）,O,A,B,相关定义,圆心角所对的弧相等，,圆心角,所对的弦相等，,圆心角,所对弦的弦心距相等。,推论,在同圆或等圆中，,如果两个圆心角、两条弧、,两条弦或两条弦的弦心距中有,一组量相等，那么它们所对应,的其余各组量都分别相等,。,题设,结论,在同圆或等圆中,(,前提,),圆心角相等,（条件）,定理推论,C,D,F,圆心角：如,BOA,圆内角：如,BCA,圆周角：如,BDA,圆外角：如,BFA,角的顶点在圆心,角的顶点在圆周上,是否顶点在圆周上的角就是圆周角呢,?,动起来,!,圆周角：,顶点在圆上,，并且,两边都和圆相交,的角。,圆心角,:,顶点在圆心,的角,.,看清要点,推论,定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。,也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半,。,弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？,什么时候圆周角是直角？反过来呢？,直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？,推论,1,同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。,思考：,1,、,“,同圆或等圆,”,的条件能否去掉？,2,、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个,圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个,圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的,其余各组量也相等。,F,E,D,推论,2,半圆（或直径）所对的圆周角是,90,；,90,的圆周角所对的弦是直径。,推论,3,如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。,什么时候圆周角是直角？反过来呢？,直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？,弧长与扇形的面积,:,如果用字母,S,表示扇形的面积，,n,表示所求面积的扇形的圆心角的度数，,r,表示圆的半径，那么扇形的面积计算公式是,由弧长公式,得,（,1,）,（,2,）,圆锥的侧面积和全面积,:S,侧,=,S,全,=,
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