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正文级别 1,正文级别 2,正文级别 3,正文级别 4,正文级别 5,标题文本,直线与平面垂直的概念,从有无公共点的角度：,有且仅有一个公共点 相交直线,在同一个平面内,相交直线,从是否共面的角度：,没有公共点,平行直线,异面直线,不同在任何一个平面内 异面直线,平行直线,空间中两条,直线的位置关系,知识回顾,等角定理：,如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等,.,两条相交直线所成角：,两条直线相交所得的不大于直角的角的大小,.,b,a,4,3,2,1,规定：两条平行直线所成角为：,.,知识回顾,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,在正方体,中，,与 异面，与 也异面,.,(1),直观上，你认为这两种异面有什么区别？,(2),如果要利用“角”的大小来区分这两种异面，你认为该怎样做？,思考探究,异面直线所成的角：,如图，如果,是空间中的两条异面直线，,过空间任一点 分别作与 平行或重合直线,，,我们把,与,所成角的大小叫做异面直线 所成的角的大小,.,异面直线所成角的范围：,b,a,b,a,o,空间中若两条直线所成角为直角，则称它们互相垂直,.,b,a,a,o,由定义可知,:,直线,a,与,b,垂直也记作,:,空间中两条直线所成角 的取值范围：,空间中两条直线：,b,思考：,在正方体,中，,(1),直线,与,所成的角,为多少,度；,(2),直线,与,所成,的,角为,多少,度,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,思考探究,思考：,在正方体,中，,(1),直线,与,所成的角,为多少,度；,(2),直线,与,所成,的,角为,多少,度,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,(2),(1),思考探究,直线与平面垂直的定义,：,如果直线,与平面,内,过它们公共,点,的,所有,直线都垂直，我们就说直线,与平面,互相垂直,，,记作：,直线,叫做平面,的,垂线,，平面,叫做直线,的,垂面,，,它们唯一的公共点,叫,做垂足,.,由定义可知：,m,l,1.,利用直线与平面垂直定义能检验旗杆垂直于地面吗,?,请思考：直线和平面垂直如何判定,?,不便于操作,思考探究,2.,如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直，此直线是否和平面垂直？,1.,利用直线与平面垂直定义能检验旗杆垂直于地面吗,?,请思考：直线和平面垂直如何判定,?,m,l,思考探究,3.,如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，此直线,是否和平面垂直？,2.,如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直，此直线是否和平面垂直？,1.,利用直线与平面垂直定义能检验旗杆垂直于地面吗,?,请思考：直线和平面垂直如何判定,?,m,l,n,思考探究,直线与平面垂直的判定定理,：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直,.,图形语言：,符号语言：,l,m,n,线线垂直,线面垂直,辨析：,下面叙述中：,若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；,若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；,若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于,梯形所在平面,；,若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于,梯形所在平面,.,其中正确的有,A.1,个,B.2,个,C.3,个,D.4,个,辨析：,中若两条直线为平行直线，则这条直线不一定与,平面垂直，所以不正确；,由定义知正确；,中直线与梯形的两腰所在直线垂直，,两腰所在直线相交，,则,由判定定理知,与梯形所在平面垂直，所以正确；,中直线与梯形两底边所在直线垂直，,两底所在直线平行，,则不一定与梯形所在平面垂直，不正确,.,故选,B.,1.,借助定义：,如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线，则此直线垂直于这个平面,.,2.,借助判定定理,:,如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么此直线垂直于这个平面,.,线面垂直判定的方法,例,1,有一旗杆高,，在它的顶点处系两条长,的绳子，,拉紧绳子并把它们的两个下端固定在地面上的两点（和旗杆,脚不在同一直线上）如果这两点都和旗杆脚距,，,则旗杆就和地面垂直，为什么,?,线线垂直,线面垂直,关注线面垂直的实际应用,B,O,A,P,解：,如图，旗杆,，两绳长,，,，且,不共线，则,确定平面,（即,地面）,.,又因为,，,，,则,，,，,又,平面,，,所以,.,从而旗杆,与地面垂直,B,O,A,P,例,2,如图所示，在四棱锥,中，侧棱,，,，,底面,是平行四边形，,与,交于点,求证,：,.,O,D,C,B,S,A,例,2,如图所示，在四棱锥,中，侧棱,，,，,底面,是平行四边形，,与,交于点,求证,：,.,O,D,C,B,S,A,借助线面垂直定理，找到面内两条相交直线与之垂直,证明：,因为底面,是平行四边形，,所以,是,的中点，因为,，,所以,同理,，,又,，,，,所以,例,2,如图所示，在四棱锥,中，侧棱,，,，,底面,是平行四边形，,与,交于点,求证,：,.,A,O,D,C,B,S,例,3,如图,，在四面体,中，是 的中点，,和 均为等边三角形，,求证：,平面,利用等腰三角形的三线合一、勾股定理得到线线垂直,A,B,C,D,O,证明：,如图，连接,因为,为等边三角形，,为,的中点，所以,因为,和,为等边三角形，,为,的中点，,，,，所以,在,中，因为,，,所以,，即,因为,，,，,所以,A,B,C,D,O,练习,1,如图，已知,垂直于,所在的平面，,是,的直径，,是,上,不同于,任意一点，求证：,平面,.,O,P,B,C,A,证明,：,因为,平面,，,，,所以,.,又,因为,是,的直径，,所以,.,又,，,，,所以,平面,.,练习,1,如图，已知,垂直于,所在的平面，,是,的直径，,是,上,不同于,任意一点，求证：,平面,.,O,P,B,C,A,引申探究,1,若,练习,1,中其他条件不变，,作,于点,，求证：,平面,.,O,P,B,C,A,E,引申探究,1,若,练习,1,中其他条件不变，,作,于点,，求证：,平面,.,证明,：,由,练习,1,知,平面,，,又,平面,，,所以,.,又,，且,，,所以,平面,.,O,P,B,C,A,E,引申探究,2,若,引申探究,1,中其他条件不变，过点,作,于,，,求证：,平面,.,O,P,B,C,A,E,F,引申探究,2,若,引申探究,1,中其他条件不变，过点,作,于,，,求证：,平面,.,证明,：,由引申探究,1,知,平面,.,因为,平面,，,所以,，,又,，且,，,，,所以,平面,.,O,P,B,C,A,E,F,例,4,如图，,所在平面外一点,，,且,，点,为斜边,的中点,（,1,）求证：,；,（,2,）若,，求证：,A,S,D,C,B,例,4,如图，,所在平面外一点,，,且,，点,为斜边,的中点,（,1,）求证：,；,证明：,因为,，,为,的中点，所以,连接,，,在,中，,为斜边,的中点,，,则,，又 ，,所以,，,所以,又,，,，,所以,A,S,D,C,B,例,4,如图，,所在平面外一点,，,且,，点,为斜边,的中点,（,2,）若,，求证：,A,S,D,C,B,证明：,因为,，,为,的中点，所以,又由（,1,）知,，所以,，,，,所以,练习,2,如图，菱形,的边长为,，,，,，将菱形,沿对角线,折起，得到三棱锥,，点,是棱,的中点，,（,1,）求证：,；,（,2,）求三棱锥,的体积,关注折叠问题中变与不变的量,O,（,1,）,证明：,因为,是菱形，,，,，,中，,，,，,所以,又,是,的中点，,所以,，,，,因为,，,所以,因为,，,，,所以,（,2,）,解,中，,，,，,，,所以,，,由（,）得,，,所以,（,2,）求三棱锥,的体积,例,5,如图，在四棱锥,中，底面,为矩形，,侧面,是正三角形，且,，,是,的中点,（,1,）,求证：,平面,；,（,2,）当,的值等于多少时，,A,P,D,C,B,E,A,P,D,C,B,E,（,1,）,求证：,平面,；,（,1,）,证明：,因为,，即,，,又,，所以,由,为矩形,知,，,又,，,所以,平面,又,平面,，所以,由,侧面,是正三角形，,是,的中点,，,所以,又,，因此,平面,（,2,）,解：,设,，,，则,因为,平面,，所以,，,，由,为中点,知,当,时，则,，又,为,的中点，,所以,即,，,解得,，所以当,时，,（,2,）当,的值等于多少时，,A,P,D,C,B,E,O,作业,1,在正方体,中，,分别是棱,的中点求证：,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,E,F,作业,2,在空间四边形,中，,分别是,的,中点，若,，,，,，,求证：,A,B,C,D,E,F,1,、线面垂直的概念,2,、如何判定线面垂直,3,、体会转化思想：线面垂直,线线垂直,1,、定义,2,、判定定理,课堂小结,
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