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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,连续函数的四则运算(s z yn sun),第一页，共24页。,一、连续函数的算术(sunsh)运算,定理(dngl)1,若函数,在点,处连续,则,在点,处也连续,.,例如(lr),在,内连续,故,在其定义域内连续,.,第二页，共24页。,二、复合(fh)函数的连续性,定理(dngl)2,若,函数,在点,处,连续(linx),则有,证,在点,处连续,当,时,恒有,又,对上述,当,时,恒有,结合上述两步得,当,第三页，共24页。,时,恒有,意义(yy),1,.,2,.,极限符号(fho)可以与连续函数符号(fho)互换;,的理论依据,.,定理,2,给出了变量代换,第四页，共24页。,定理(dngl)3,设函数,在点,处连续,且,而函数,在点,处连续,则复合函数,在点,处也连续,.,注意(zh y),定理(dngl)4是定理(dngl)3的特殊情况.,例如,在,内连续,在,内连续,在,内连续,.,第五页，共24页。,例,1,完,求,解,第六页，共24页。,例,完,求,解,第七页，共24页。,例,2,完,求,解,因为(yn wi),所以(suy),第八页，共24页。,三、初等(chdng)函数的连续性,三角函数及反三角函数,的,;,指数函数,在,内单调,且连续(linx);,对数函数,在,内单,调且连续(linx);,在,内连续,.,讨论,的不同值,(,均在其定义域内连续,),.,在它们的定义域内是连续,第九页，共24页。,初等(chdng)函数的连续性,讨论,的不同值,(,均在其定义域内连续,),.,定理(dngl)4,基本(jbn)初级函数,定理,5,一切初级函数,定义区间,是指,注意,1.,但在其,定义域内不一定连续,.,例如,在这些孤立点的领域内没有定义,.,及,在定义域内是连续的,.,在其定义区间内都是连续的,.,包含在定义域内的区间,.,初等函数仅在其定义区间内连续,第十页，共24页。,在这些孤立点的领域(ln y)内没有定义.,及,在0点的领域内没有(mi yu)定义,函数在区间,上,2.,定义区间,),.,连续(linx).,初等函数求极限的方法,(,代入法,),完,第十一页，共24页。,例,3,完,求,解,因为,是初等函数,且,是其定义(dngy)区间内的点,所以,在点,处连续,于是(ysh),第十二页，共24页。,幂指函数(hnsh),因为(yn wi),故幂指函数(hnsh)可化为复合函数(hnsh).,易见,:,若,则,即,注意公式成立的条件,例,6,求,称为,幂指函数,.,解,完,形如,的函数,第十三页，共24页。,定义(dngy),对于在区间,上有定义的函数,如果(rgu),有,使得对于任一,都有,则称,是函数,在区间,上的最大,(,小,),值,.,例如(lr),在,上,在,上,四、闭区间上连续函数的性质,第十四页，共24页。,初等函数仅在其定义区间内连续,在这些孤立点的领域(ln y)内没有定义.,连续(linx).,初等(chdng)函数的连续性,初等函数在其各自的定义域上都连续.,推论(tuln)1,连续(linx).,内容(nirng)小结,因为(yn wi),基本初等函数在各自的定义域上都连续.,故幂指函数(hnsh)可化为复合函数(hnsh).,第二十二页，共24页。,根据(gnj)介值定理的推论可知，,由零点(ln din)定理,反函数与复合(fh)函数的连续性,证明(zhngmng):,定理(dngl)6 最大值和最小值定理(dngl),在闭区间(q jin)上连续的函数,一定(ydng)有最大值和最小值.,定理,7,有界性定理,在闭区间上连续的函数,证,设函数,在,上连续,于是存在,、,使得,有,取,故函数,在,上有界,.,完,一定在该区间上有界,.,第十五页，共24页。,定义(dngy),如果,使,则,称为函数,的零点(ln din).,定理(dngl)8零点定理(dngl),设函数,在闭区间,上连续,且,与,异号,(,即,即至少有,一点,使,那么在开区,内至少有函数,间,的一个零点,即方程,在,内至少存在一个实根,.,定理,9,介值定理,设函数,在闭区间,上连续,且,在这区间的端点取不同的函数值,第十六页，共24页。,推论(tuln)1,在闭区间上连续(linx)的函数,与最小值,之间的任何值,.,必取得(qd)介于最大值,第十七页，共24页。,例,5,完,证,证明方程,少有(sho yu)一个实根.,令,则,在,上连续,.,又,由零点(ln din)定理,使,即,方程,根,在区间,内至,在,内至少有一个实,第十八页，共24页。,例,6,完,证,设函数,在区间,上连续,且,证明(zhngmng):,使得,令,则,在,上连续,.,而,由零点(ln din)定理,使,即,第十九页，共24页。,1.,设,试研究复合(fh)函数,与,的连续性,.,2.,估计方程,的根的位置,.,课堂练习,第二十页，共24页。,1.,设,试研究(ynji)复合函数,与,的连续性,.,解,在,上处处连续,.,又,第二十一页，共24页。,在,上处处连续，,故,是它的可去间断(jindun)点.,第二十二页，共24页。,2.,估计方程,的根的位置,.,解,设,则,在,内连续,.,由于,根据(gnj)介值定理的推论可知，,在,和,内至少(zhsho)各有一个根.,所以该方程在,和,内各有一个根,.,完,又因为(yn wi)三次方程的根最多有三个，,第二十三页，共24页。,内容(nirng)小结,1.连续函数的四则运算(s z yn sun),2.反函数与复合(fh)函数的连续性,3.,初等函数的连续性,基本初等函数在各自的定义域上都连续,.,初等函数在其各自的定义域上都连续,.,这里定义,区间指包含在其定义域内的区间,.,4.,闭区间上连续函数的性质,第二十四页，共24页。,
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