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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,教学模块,4,数字控制器的模拟化设计方法,教学单元,2,连续控制器的离散化方法,东北大学,刘建昌,教学单元,2,连续控制器的离散化方法,z,变换法,差分变换法,双线性变换法,零极点匹配法,连续控制器的离散化,求连续控制器传递函数,D,(,s,),的等效离散传递函数,D,(,z,),。,离散化的基本原则,保证,D,(,z,),与,D,(,s,),具有相同或相近的动态性能和频率特性。,2.1,z,变换法,控制器的输入,数字控制器算法,z,变换法的特点,（,1,）形式简单、直观，这种变换方法符合,z,变换的定义，通过,z,变换直接得数字控制器。,直接用,z,变换，由模拟控制器求数字控制器,符合,z,变换定义,z,变换的频率映射关系,（,2,）若,D,(,s,),稳定，则,D,(,z,),也稳定，而且变换前后频率不会发生畸变。,z,变换法的特点,（,3,）产生频率混叠,将,s,平面上角频率以采样角频率为周期的所有信号，都重叠地映射到,z,平面上同一频率点的信号。,z,变换法的特点,s,平面角频率 与,z,平面角频率 之间的关系为：,按,z,变换定义,（,3,）频率混叠现象,z,变换法的特点,虚轴,单位圆,左半平面,单位圆内,右半平面,单位圆外,（,3,）频率混叠现象,频率混叠将使数字控制器的频率响应与模拟控制器的频率响应的近视性变差，很少使用,为防止混叠现象发生，需要提高采样频率,2.2,差分变换法,把微分方程中的导数用有限差分来近似等效，得到一个与给定微分方程逼近的差分方程,（,1,）后向差分变换法,假设有模拟信号,e,(,t,),，后向差分变换：,或,令,后向差分变换,拉氏变换,z,变换,后向差分变换法,亦称为后向矩形积分法,以后向矩形面积近视代替积分面积,后向矩形积分法,t,e,(,t,),0,T,2,T,kT,(,k,-1),T,后向矩形积分法,设控制器传递函数为：,微分方程,取后向矩形积分：,后向矩形积分法,z,变换,=,数字控制器,模拟控制器,后向差分变换法也称为,后向矩形积分变换法,后向差分变换对系统性能的影响,当,对,S,左半平面,，,设,半径小于,0.5,圆,半径为,0.5,的圆,后向变换对系统性能的影响：,若,D,(,s,),稳定，则,D,(,z,),一定稳定；,数字控制器,D,(,z,),的频率产生畸变；,是否存在频混叠？,不存在频率混叠。,当,解：,用后向差分变换，将 代入,D,(,s,),得,已知 ，,T,=0.015s,，用后向差分法求,D,(,z,),控制器及控制算法。,例题：,z,反变换,数字控制算法：,2.2,差分变换法,（,2,）前向差分变换法,或,拉氏变换（,z,变换）得,亦称为前向矩形积分法,t,e,(,t,),0,T,2,T,kT,(,k,+1),T,前向差分变换,变换对系统性能的影响,（,2,）前向差分变换法,当,s,=,j,时，,z,=1+,jT,对,s,左半平面,，设,z,=1,的左侧平面,z,平面,Re,Im,s,平面,1,-1,Re,Im,变换对系统性能的影响,（,2,）前向差分变换法,D,(,s,),稳定，,D,(,z,),不一定稳定,;,D,(,z,),会产生较大的畸变。,一般不采用,将其中的 和 展开成,Taylor,级数，并忽略高次项得：,2.3,双线性变换法,已知：,梯形近似法,t,e,(,t,),0,T,2,T,kT,(,k,-1),T,2.3,双线性变换法,双线性变换,变换对系统性能的影响,s,平面虚轴,映射在,z,平面的的单位圆上,频率混叠？,不混叠,s,平面,z,平面,Re,Im,1,-1,对,s,左半平面,，,s,左半平面,映射象在,z,平面单位圆内,若,D,(,s,),稳定，则,D,(,z,),也稳定,变换对系统性能的影响,变换前后的频率发生畸变,将 和 代入,变换对系统性能的影响,变换前后的频率发生畸变,高频段频率发生较大畸变,1,T,T,-,0,1,0,变换对系统性能的影响,双线性变换的特点：,（,1,）,D,(,s,),稳定，则相应的,D,(,z,),也,稳定,；,（,2,）,没有频率混叠现象,；,（,3,）,D,(,z,),的频率响应在低频段与,D,(,s,),的频率响应相近，而在,高频段频率响应有严重,畸变,；,（,4,）适用于对象的,分子和分母已展开成多项式的形式,。,2.3,双线性变换法,已知 ，,T,=0.015,s,，用双线性变换法设计,D,(,z,),及控制器的差分方程。,解：,将 代入,D,(,s,),得,例题：,z,反变换,控制器的差分方程：,2.4,零极点匹配法,通过,z,变换,直接把,D,(,s,),在,s,平面上的,零极点一一对应地映射,到,z,平面上,D(z,),的零极点；,当,D,(,s,),的极点数比零点数多时，缺少的零点可视作在无穷远处存在零点，可用,z,平面上的,z,=-1,的零点匹配，则,D,(,z,),的分母和分子的阶次总是相等的。,D,(,z,),与,D,(,s,),在稳态时具有相同的增益，即,，其中,设,，其中,K,z,的选择要使得,D,(,s,),与,D,(,z,),在稳态时具有相同的增益,按照 ，用零极点匹配法设计,D,(,z,),2.4,零极点匹配法,为什么无穷远处存在零点，可以用,z,面上,z,=-1,的零点来匹配？,则变换后,D,(,z,),分子中将出现 ，也就是说，,D,(,z,),零点与极点个数相等，新增的（,n-m,）个零点恰好是,z,=-1,。,零极点匹配法同时具有双线性变换的效果,2.4,零极点匹配法,分子分母同乘,采用双线性变换，将 带入,得,D,(,z,),特点：,（,1,）若,D,(,s,),稳定，则相应的,D,(,z,),也,稳定,；,（,2,）可获得双线性变换的效果，不存在,频率混叠,；,（,3,）不能保证,D,(,z,),的频率响应不,畸变,；,（,4,）适用于对象的,分子和分母,以,零极点,的形式出现。,2.4,零极点匹配法,已知 ，,T,=0.015s,，用零极点匹配法设计数字控制器。,解：,求,K,z,K,z,=18.67,数字控制算法,双线性变换法,例题,几种变换方法的比较,后向差分变换法,双线性变换法,零极点匹配法,稳定性,复杂程度、适用形式,频率特性,综合效果,后向差分变换,双线性变换,教学单元,2,结束,
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