定积分的概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,a,b,x,y,o,实例1,（求曲边梯形的面积）,一、问题的提出,2,a,b,x,y,o,a,b,x,y,o,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,3,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,4,曲边梯形如图所示，,5,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,6,实例2,（求变速直线运动的路程）,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,7,（1）分割,部分路程值,某时刻的速度,（2）求和,（3）取极限,路程的精确值,8,二、定积分的定义,定义,9,被积函数,被积表达式,积分变量,记为,积分上限,积分下限,Riemann积分和,10,注意：,11,对定积分的,补充规定,:,12,定理1,定理2,三、存在定理,稍后证明。,13,注：1)闭区间上的单调函数，即使有无限多个间断点，仍不失其可积性.,在0,1上可积.,2)在有限区间a,b上可积的函数必在该区间上有界.,简言之，可积必定有界.反之不真.,例如Dirichlet 函数在0，1上不可积.,14,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,15,几何意义：,16,解,(1)如图，,例：用定积分的几何意义求下列定积分的值：,(2)如图，,17,例1,利用定义计算定积分,解,18,注,：积分存在时，求积分值时可等分区间且取特殊点为介点，比如小区间的左右端点、中点；但证明函数的可积时，区间的划分和介点的选取必须是任意的。,19,例2,利用定义计算定积分,解,20,例2,利用定义计算定积分,解,21,22,证明,利用对数的性质得,23,极限运算与对数运算换序得,24,故,注：存在不可积函数，例如Dirichlet 函数.,25,五、小结,定积分的实质：Riemann和式的极限,定积分的思想和方法：,分割,化整为零,求和,积零为整,取极限,精确值定积分,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,26,思考题,将和式极限：,表示成定积分.,27,思考题解答,原式,28,练 习 题,29,30,练习题答案,31,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,32,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,33,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,34,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,35,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,36,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,37,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,38,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,39,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,40,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,41,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,42,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,43,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,44,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,45,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,46,