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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,12.3,角的平分线的性质,1.,在探究作角平分线的方法和角平分线性质的过程中，掌握角平分线的作法和角平分线的性质，开展数学直觉,.,2.,提高综合运用三角形全等的有关知识的解决能力；掌握简单的角平分线在生产、生活中的应用,.,不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角,.,你有什么方法？,A,O,B,C,再翻开纸片，看看折痕与这个角有何关系？,对折,如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？,观察下面简易的平分角的仪器，其中,AB=AD,，,BC=DC.,将点,A,放在角的顶点，,AB,和,AD,沿着角的两边放下，沿,AC,画一条射线,AE,，,AE,就是,DAB,的平分线,.,你能说明它的道理吗？,【,证明,】,在,ACD,和,ACB,中,AD=AB,DC=BC,CA=CA,公共边,ACD ACBSSS,CAD=CAB,全等三角形的对应角相等,AC,平分,DAB,角平分线的定义,根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？,不用角平分仪或量角器,尺规作角的平分线,画法：,1.,以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于,2.,分别以，为圆心大于 的长为半径作弧两弧在,AOB,的内部交于,3.,作射线,OC,射线,OC,即为所求,O,A,B,N,M,C,证明,:,连结,MC,NC,由作法知,:,在,OMC,和,ONC,中,OM=ON,MC=NC,OC=OC,OMCONC(SSS),AOC=BOC,即,OC,是的角平分线,.,为什么,OC,是的角平分线,?,O,A,B,N,M,C,将,AOB,对折，再折出一个直角三角形,使第一条折痕为斜边,，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？,猜测,:,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,.,：,OC,平分,AOB,，点,P,在,OC,上，,PDOA,于,D,，,PEOB,于,E,，,求证,:PD=PE.,P,A,O,B,C,E,D,1,2,证明,:,C,平分,P,是,OC,上一点,D,P=B,P,角平分线定义,PDOA,PEOB,ODP=OEP=90,垂直的定义,在,OPD,和,OPE,中,DOP=BOP,已证,ODP=OEP,已证,OP=OP,OPDOPE(AAS),PD,PE,全等三角形对应边相等,定理：,角平分线上的点到角的两边的距离相等,.,用符号语言表示为：,1=2,PD OA,，,PE OB,PD=PE.,P,A,O,B,C,E,D,1,2,角平分线的性质,如图，要在,S,区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处,500,米，这个集贸市场应建在何处？,比例尺为,120000,s,D,C,s,【,解析,】,作夹角的角平分线,OC,，截取,OD=2.5cm,D,即为所求,.,O,反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？,：如图,QDOA,，,QEOB,，,点,D,、,E,为垂足，,QD,QE,求证：点,Q,在,AOB,的平分线上,证明,:QDOA,，,QEOB,QDO,QEO,90,垂直的定义,在,RtQDO,和,RtQEO,中,QO,QO,公共边,QD=QE RtQDORtQEOHL,QOD,QOE,点,Q,在,AOB,的平分线上,到角的两边的距离相等的点在角的平分线上,.,QDOA,，,QEOB,，,QD,QE,点,Q,在,AOB,的平分线上,用数学语言表示为：,(1).1=2,DCAC,DEAB,_,(_),(2).DCAC,DEAB,DC=DE,_,(_),A,C,D,E,B,1,2,1=2,DC=DE,到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上,.,在角平分线上的点到角的两边的距离相等,1.:,如图,在,ABC,中,AD,是它的角平分线,且,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是,E,F.,求证,:EB=FC.,B,A,E,D,C,F,【,解析,】,根据角平分线的性质得到,DE=DF,，再根据,HL,证,BEDCFD,从而得到,EB=FC.,2.,直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,那么可供选择的地址有,:()A.,一处,B.,两处,C.,三处,D.,四处,【,解析,】,选,D.,由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处,在各自夹角的平分线上，即：,A,、,B,、,C,、,D,各一处,.,A,D,C,B,3.,宁德,中考,如图，,AD,是,ABC,的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使,AEDAFD,，需添加一个条件是：,_,，并给予证明,.,B D,A,E,F,c,解法一：添加条件：,AE,AF,，,在,AED,与,AFD,中，,AE,AF,，,EAD,FAD,，,AD,AD,，,AEDAFDSAS.,解法二：添加条件：,EDA,FDA,，,在,AED,与,AFD,中，,EAD,FAD,，,AD,AD,，,EDA,FDA,，,AEDAFDASA.,1.,角平分线的性质：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,2.,角平分线的判定：,到角的两边的距离相等的点在角平分线上,.,通过本课时的学习，需要我们掌握：,12.2,三角形全等的判定,(,一,),知识回顾,AB=DE BC=EF CA=FD A=D B=E C=F,A,B,C,D,E,F,1,、什么叫全等三角形？,能够重合,的两个三角形叫,全等三角形,。,2,、全等三角形有什么性质？,情境问题,:,小明家的衣橱上镶有两块全等的三角形玻璃装饰物,其中一块被打碎了,妈妈让小明到玻璃店配一块回来,请你说说小明该怎么办,?,1.只给一个条件一组对应边相等或一组对应角相等。,只给一条边：,只给一个角：,60,60,60,探究：,2.,给出两个条件：,一边一内角：,两内角：,两边：,30,30,30,30,30,50,50,2cm,2cm,4cm,4cm,可以发现按这些条件画的三角形都不能保证一定全等。,三边对应相等的两个三角形全等可以简写为“边边边或“SSS。,探究新知,先任意画出一个,ABC,再画一个,DEF,，使,AB=DE,BC=EF,AC=DF.,把画好的,ABC,剪下来，放到,DEF,上，它们全等吗？,A,B,C,D,E,F,思考：你能用“边边边解释三角形具有稳定性吗？,判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。,A,B,C,D,E,F,用 数学语言表述：,在,ABC,和,DEF,中,ABC DEFSSS,AB=DE,BC=EF,CA=FD,例1.如以下图，ABC是一个刚架，AB=AC，AD是连接A与BC中点D的支架。求证：ABD ACD,分析：,要证明,ABD ACD,，首先看这两个三角形的三条边是否对应相等。,结论：从这题的证明中可以看出，证明是由题设出发，经过一步步的推理，最后推出结论正确的过程。,如何利用直尺和圆规做一个角等于角？,：AOB,求作：AoB,使：AoB=AOB,1,、作任一射线,oA,2,、以点,O,为圆心，适当长为半径作弧交,OA,、,OB,于点,M,、,N,，,3,、以点,o,为圆心，同样的长为半径作弧交,oB,于点,P,4,、以点,P,为圆心，以,MN,为半径作弧交前弧于点,A,5,、过点,A,作射线,OA.,那么AoB=AOB,归纳：,准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；,三角形全等书写三步骤：,写出在哪两个三角形中,摆出三个条件用大括号括起来,写出全等结论,证明的书写步骤：,思考,AC=FE，BC=DE，点A，D，B，F在一条直线上，AD=FB如图，要用“边边边证明ABC FDE，除了中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？,解：要证明,ABC FDE,，还应该有,AB=DF,这个条件,DB是AB与DF的公共局部，且AD=BF,AD+DB=BF+DB,即 AB=DF,如图，,AB=AC,，,AE=AD,，,BD=CE,，求证：,AEB ADC,。,证明：,BD=CE,BD-ED=CE-ED,，即,BE=CD,。,C,A,B,D,E,练一练,在,AEB,和,ADC,中，,AB=AC,AE=AD,BE=CD,AEB ADC,(sss),小结,2.三边对应相等的两个三角形全等边边边或SSS；,3.,书写格式：准备条件；三角形全等书写的三步骤。,1.,知道三角形三条边的长度怎样画三角形。,作业,：,P43,第,1,题,再 见,!,
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