资源描述
单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,“,”,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,付氏级数,第十二章,1,无穷级数 无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数,常数项级数的概念和性质,一、常数项级数的概念,二、无穷级数的基本性质,三、级数收敛的必要条件,*,四、柯西审敛原理,第一节,2,常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、无穷级数的,一、常数项级数的概念,引例,1.,用圆内接正多边形面积逼近圆面积,.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积,A,.,设,a,0,表示,即,内接正三角形面积,a,k,表示边数,增加时增加的面积,则圆内接正,3,一、常数项级数的概念 引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆,引例,2.,小球从,1,米高处自由落下,每次跳起的高度减,少一半,问小球是否会在某时刻停止运动,?,说明道理,.,由自由落体运动方程,知,则小球运动的时间为,( s ),设,t,k,表示第,k,次小球落地的时间,4,引例2.小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减少一半,定义,：,给定一个数列,将各项依,即,称上式为,无穷级数,，,其中第,n,项,叫做级数的,一般项,级数的前,n,项和,称为级数的,部分和,.,次相加,简记为,收敛,则称无穷级数,并称,S,为级数的,和,记作,5,定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第 n 项,当级数收敛时,称差值,为级数的,余项,.,则称无穷级数,发散,.,显然,6,当级数收敛时, 称差值为级数的余项.则称无穷级数发散 .显然,例,1.,讨论等比级数,(,又称几何级数,),(,q,称为公比,),的敛散性,.,解,:,1),若,从而,因此级数收敛,从而,则部分和,因此级数发散,.,其和为,7,例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)( q 称为公比 ),2).,若,因此级数发散,;,因此,n,为奇数,n,为偶数,从而,综合,1),、,2),可知,时,等比级数收敛,;,时,等比级数发散,.,则,级数成为,不存在,因此级数发散,.,8,2). 若因此级数发散 ;因此n 为奇数n 为偶数从而综合,例,2.,判别下列级数的敛散性,:,解,:,(1),所以级数,(1),发散,;,技巧,:,利用 “,拆项相消,” 求和,9,例2. 判别下列级数的敛散性:解: (1) 所以级数 (1),(2),所以级数,(2),收敛,其和为,1 .,技巧,:,利用 “,拆项相消,” 求和,10,(2) 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .技巧:利用,例,3.,判别级数,的敛散性,.,解,:,故原级数收敛,其和为,11,例3.判别级数的敛散性 .解:故原级数收敛 , 其和为11,二、无穷级数的基本性质,性质,1.,若级数,收敛于,S,则各项,乘以常数,c,所得级数,也收敛,证,:,令,则,这说明,收敛,其和为,c S .,说明,:,级数各项乘以,非零常数,后其敛散性不变,.,即,其和为,c S .,12,二、无穷级数的基本性质 性质1. 若级数收敛于 S ,则各,性质,2.,设有两个收敛级数,则级数,也收敛,其和为,证,:,令,则,这说明级数,也收敛,其和为,13,性质2. 设有两个收敛级数则级数也收敛, 其和为证: 令,说明,:,(2),若两级数中一个收敛一个发散,则,必发散,.,但若二级数都发散,不一定发散,.,例如,(1),性质,2,表明收敛级数可逐项相加或减,.,(,用反证法可证,),14,说明:(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则必发散 .,性质,3.,在级数前面加上或去掉,有限项,不会影响级数,的敛散性,.,证,:,将级数,的前,k,项去掉,的部分和为,数敛散性相同,.,当级数收敛时,其和的关系为,类似可证前面加上有限项的情况,.,极限状况相同,故新旧两级,所得新级数,15,性质3.在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数的敛散性.,性质,4.,收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数,的和,.,证,:,设收敛级数,若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列,为原级数部分和,序列,的一个子序列,推论,:,若加括弧后的级数发散,则原级数必发散,.,注意,:,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛,.,但,发散,.,因此必有,例如,，,用反证法可证,例如,16,性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:,例,4.,判断级数的敛散性,:,解,:,考虑加括号后的级数,发散,从而原级数发散,.,17,例4.判断级数的敛散性:解: 考虑加括号后的级数发散 ,从而,三、级数收敛的必要条件,设收敛级数,则必有,证,:,可见,:,若级数的一般项不趋于,0 ,则级数必发散,.,例如,其一般项为,不趋于,0,因此这个级数发散,.,18,三、级数收敛的必要条件 设收敛级数则必有证: 可见: 若,注意,:,并非级数收敛的充分条件,.,例如,调和级数,虽然,但此级数发散,.,事实上,假设调和级数收敛于,S,则,但,矛盾,!,所以假设不真,.,19,注意:并非级数收敛的充分条件.例如, 调和级数虽然但此级数发,二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,第二节,一、正项级数及其审敛法,常数项级数的审敛法,20,二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第二节一、正,一、正项级数及其审敛法,若,定理,1.,正项级数,收敛,部分和序列,有界,.,若,收敛,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界,.,则称,为,正项级数,.,单调递增,收敛,也收敛,.,证,:,“ ”,“ ”,21,一、正项级数及其审敛法若定理 1. 正项级数收敛部分和序列有,定理,2,(,比较审敛法,),设,且,(1),若级数,则级数,(2),若级数,则级数,则有,收敛,也收敛,;,发散,也发散,.,是两个,正项级数,(n=1,2,3),22,定理2 (比较审敛法)设且(1) 若级数则级数(2) 若级数,例,1.,讨论,P,级数,(,常数,p, 0),的敛散性,.,23,例1. 讨论 P 级数(常数 p 0)的敛散性. 23,调和级数与,P,级数是两个常用的比较级数,.,若存在,对一切,24,调和级数与 P 级数是两个常用的比较级数.若存在对一切24,证明级数,发散,.,证,:,因为,而级数,发散,根据比较审敛法可知,所给级数发散,.,例,2.,25,证明级数发散 .证: 因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给,定理,3.,(,比较审敛法的极限形式,),则有,两个级数同时收敛或发散,;,(2),当,l,=,0,(3),当,l,=,设两正项级数,满足,(1),当,0 ,l,N,时,对区间,I,上的一切,x,都有,则称该级数在区间,I,上一致收敛于和函数,S,(,x,) .,在区间,I,上的和函数,任意给定的, 0,显然,在区间,I,上,一致收敛于和函数,S,(,x,),部分和序列,一致收敛于,S,(,x,),余项,一致收敛于,0,机动 目录 上页 下页 返回 结束,108,定义.设 S(x) 为 若对 都有一个只依赖于 的自然数,几何解释,:,(,如图,),当,n,N,时,曲线,总位于曲线,之间,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,109,几何解释 : (如图) 当n N 时,曲线 总位于曲线之,例,1.,研究级数,在区间,0, +),上的收敛性,.,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,110,例1.研究级数 在区间 0, +) 上的收敛性.解: 机,余项的绝对值,:,因此,任给, 0,取自然数,则当,n,N,时有,这说明级数在,0, +),上一致收敛于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,111,余项的绝对值:因此, 任给 0, 取自然数 则当n,例,2.,证明级数,在,0,1,上不一致收敛,.,证,:,取正数,对无论多么大的正数,N,因此级数在,0, 1,上不,一致收敛,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,112,例2.证明级数 在 0,1 上不一致收敛 . 证: 取正,说明,:,对任意正数,r, 0,欲使,只要,因此取,只要,即级数在, 0,r,上一致收敛,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,113,说明:对任意正数 r ,N,时,对任意正整数,p,都有,由条件,1),对,x,I,有,故函数项级数,在区间,I,上一致收敛,.,证毕,机动 目录 上页 下页 返回 结束,115,证:由条件2), 根据柯西审敛原理, 当 n N 时,推论,.,若幂级数,的收敛半径,R, 0 ,则此级,数在,(,R,R,),内任一闭区间,a,b,上一致收敛,.,证,:,则对,a,b,上的一切,x,都有,由阿贝尔定理,(,第三节定理,1),级数,绝对收敛,由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立,.,说明,:,若幂级数在收敛区间的端点收敛,则一致收敛,区间可包含此端点,.,证毕,机动 目录 上页 下页 返回 结束,116,推论.若幂级数的收敛半径 R 0 ,则此级 数在 (R,例,3.,证明级数,在,(, +),上 一致收敛,.,证,:,而级数,收敛,由维尔斯特拉斯判别法知所给级数,在,(, +),上 一致收敛,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,117,例3.证明级数在(, +) 上 一致收敛 .证: 而级,说明,:,维尔斯特拉斯判别法不仅能判别级数的一致收,敛性,而且能判别其绝对收敛性,.,当不易观察到不等式,可利用导数求,例如,级数,用求导法可得,已知,收敛,因此原级数在,0, +),上一致收敛,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,118,说明:维尔斯特拉斯判别法不仅能判别级数的一致收 敛性, 而且,二、一致收敛级数的基本性质,定理,1.,若级数,证,:,只需证明,由于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,119,二、一致收敛级数的基本性质定理1. 若级数 证:只需证明由于,因为级数,一致收敛于,S,(,x,) ,使当,n,N,时,有,对这样选定的,n,从而必存在, 0 ,从而得,证毕,机动 目录 上页 下页 返回 结束,120,因为级数一致收敛于S (x) , 使当 n N 时, 有,说明,:,(1),定理,1,表明,对一致收敛的级数,极限运算与无限,求和运算可交换,即有,(2),若函数项级数不一致收敛时,定理结论不一定成立,.,例如,级数,在区间, 0 , 1 ,上处处收敛,而其和函数,在,x,= 1,处不连续,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,121,说明:(1) 定理1 表明, 对一致收敛的级数, 极限运算与,定理,2.,若级数,则该级数在,a,b,上可逐项积分,且上式右端级数在,a,b,上也一致收敛,.,证,:,因为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,122,定理2.若级数 则该级数在 a, b 上可逐项积分, 且,所以只需证明对,任意,一致有,根据级数的一致收敛性,使当,n,N,时,有,于是,当,n,N,时,对,一切,有,因此定理结论正确,.,证毕,机动 目录 上页 下页 返回 结束,123,所以只需证明对任意 一致有 根据级数的一致收敛性, 使当 n,说明,:,若级数不一致收敛时,定理结论不一定成立,.,例如,级数,它的部分和,因此级数在, 0 , 1 ,上,收敛于,S,(,x,) = 0 ,所以,但是,为什么对级数定理结论不成立,?,分析它是否满足,机动 目录 上页 下页 返回 结束,124,说明:若级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立. 例如, 级,定理,2,条件,.,级数的余项,可见级数在, 0, 1 ,上不一致收敛,此即定理,2,结论,对级数不成立的原因,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,125,定理2 条件. 级数的余项 可见级数在 0, 1 ,定理,3.,若级数,且可逐项求导,即,证,:,先证可逐项求导,.,根据定理,2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,126,定理3.若级数 且可逐项求导, 即 证: 先证可逐项求导.,上式两边对,x,求导,得,再证,根据定理,2 ,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,127,上式两边对 x 求导, 得 再证根据定理 2 , 而机动,所以,级数一致收敛并不保证可以逐项求导,.,例如,例,3,中的级数,说明,:,在任意区间上都一致收敛,但求导后的级数,其一般项不趋于,0,所以对任意,x,都发散,.,证毕,机动 目录 上页 下页 返回 结束,128,所以级数一致收敛并不保证可以逐项求导. 例如, 例3中的级数,例,4.,证明函数,对任意,x,有连续导数,.,解,:,显然所给级数对任意,x,都收敛,且每项都有连续,导数,而逐项求导后的级数,故级数在,(,+),上一致收敛,故由定理,3,可知,再由定理,1,可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,129,例4. 证明函数 对任意 x 有连续导数.解: 显然所给级数,定理,4,.,若幂级数,的收敛半径,则其和函,在收敛域上,连续,且在收敛区间内可,逐项求导,与,逐项求积分,运算前后收敛半径相同,即,证,:,关于和函数的连续性及逐项可积的结论由维尔斯,特拉斯判别法的推论及定理,1, 2,立即可得,.,下面证明逐项可导的结论,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,130,定理4 . 若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续,且在收,证,:,则,由比值审敛法知级数,故,故存在,M, 0 ,使得,由比较审敛法可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,131,证:则由比值审敛法知级数 故故存在 M 0 , 使得 由,上一致收敛,故原级数,内任一闭区间,上满足定理,3,条件,从而可逐项求导,即知,再证级数,的收敛半径,由前面的证明可知,若将幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,132,上一致收敛, 故原级数内任一闭区间上满足定理3条件, 从而可,级数的收敛半径不会缩小,因逐项积分所得,幂级数,(,R,R,),内有任意阶导数,且有,其收敛半径都为,R,.,推论,.,的和函数,S,(,x,),在收敛区间,证毕,作业,P237 1; 3,(2);,4,(2), (4), (5),第七节 目录 上页 下页 返回 结束,133,级数的收敛半径不会缩小, 因逐项积分所得 幂级数 (R,维尔斯特拉斯,(1815 1897),德国数学家,.,他的主要贡献是在函数,论及分析学方面,.,1854,年,他解决了椭圆,以后还建立了椭圆函,数的新结构,.,他在分析学中建立了实数,理论,引进了极限的, ,定义,定义及性质,还构造了一个处处不可微的连续函数,:,积分的逆转问题,给出了连续函数的严格,为分析学的算术化作出了重要贡献,.,134,维尔斯特拉斯 (1815 1897)德国数学家. 他的主,第七节,一、三角级数及三角函数系的正交性,二、函数展开成傅里叶级数,三、正弦级数和余弦级数,傅里叶级数,135,第七节一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶,一、三角级数及三角函数系的正交性,简单的周期运动,:,(,谐波函数,),(,A,为,振幅,复杂的周期运动,:,令,得函数项级数,为,角频率,为,初相,),(,谐波迭加,),称上述形式的级数为,三角级数,.,136,一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动 :(谐波函数,定理,1.,组成三角级数的函数系,正交,上的积分等于,0 .,即其中任意两个不同的函数之积在,137,定理 1. 组成三角级数的函数系正交 ,上的积分等于 0,上的积分不等于,0 .,且有,但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在,138,上的积分不等于 0 .且有 但是在三角函数系中两个相同的函数,二、,函数展开成傅里叶级数,定理,2 .,设,f,(,x,),是周期为,2,的周期函数,且,右端级数可逐项积分,则有,139,二、函数展开成傅里叶级数定理 2 . 设 f (x) 是周期,叶系数为系数的三角级数 称为,的,傅,里,叶系数,;,由公式 确定的,以,的傅,里,的,傅,里,叶级数,.,称为函数,140,叶系数为系数的三角级数 称为的傅里叶系数 ;由公式 ,定理,3,(,收敛定理,展开定理,),设,f,(,x,),是周期为,2,的,周期函数,并满足,狄利克雷,( Dirichlet ),条件,:,1),在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,;,2),在一个周期内只有有限个极值点,则,f,(,x,),的傅,里,叶级数收敛,且有,x,为间断点,其中,为,f,(,x,),的傅,里,叶系数,.,x,为连续点,注意,:,函数展成傅,里,叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多,.,141,定理3 (收敛定理, 展开定理)设 f (x) 是周期为2,例,1.,设,f,(,x,),是周期为,2,的周期函数,它在,上的表达式为,解,:,先求傅,里,叶系数,将,f,(,x,),展成傅,里,叶级数,.,142,例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在,143,143,1),根据收敛定理可知,时,级数收敛于,2),傅氏级数的部分和逼近,说明,:,f,(,x,),的情况见右图,.,144,1) 根据收敛定理可知,时,级数收敛于2) 傅氏级数的部分,例,2.,上的表达式为,将,f,(,x,),展成傅,里,叶级数,.,解,:,设,f,(,x,),是周期为,2,的周期函数,它在,145,例2.上的表达式为将 f (x) 展成傅里叶级数. 解:,说明,:,当,时,级数收敛于,146,说明: 当时, 级数收敛于146,周期延拓,傅,里,叶展开,上的傅,里,叶级数,定义在,上的函数,F,(,X,),的傅氏级数展开法,其它,147,周期延拓傅里叶展开上的傅里叶级数定义在 ,上的函数,例,3.,将函数,级数,.,则,解,:,将,f,(,x,),延拓成以,展成傅,里,叶,2,为,周期,的函数,F(x,) ,148,例3. 将函数级数 .则解: 将 f (x)延拓成以 展成傅,利用此展式可求出几个特殊的级数的和,.,当,x =,0,时,f,(0) = 0 ,得,说明,:,149,利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当 x = 0 时,三、正弦级数和余弦级数,1.,周期为,2,的,奇、偶函数的傅里叶级数,定理,4 .,对周期为,2,的,奇,函数,f,(,x,) ,其傅,里,叶,级数为,周期为,2,的,偶,函数,f,(,x,) ,其傅,里,叶级数为,余弦级数,它的傅,里,叶系数为,正弦级数,它的傅,里,叶系数为,150,三、正弦级数和余弦级数1. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶,例,4.,设,的,表达式为,f,(,x,),x,将,f,(,x,),展成傅,里,叶级数,.,是,周期为,2,的周期函数,它在,解,:,若不计,周期为,2,的奇函数,因此,151,例4. 设的表达式为 f (x)x ,将 f (x) 展成,n,1,根据收敛定理可得,f,(,x,),的正弦级数,:,级数的部分和,n,2,n,3,n,4,逼近,f,(,x,),的情况见右图,.,n,5,152,n1根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:级数的部分和,例,5.,将周期函数,展成傅,里,叶级数,其,中,E,为正常数,.,解,:,是周期为,2,的,周期偶函数,因此,153,例5. 将周期函数展成傅里叶级数, 其中E 为正常数 .解:,154,154,2.,在,0,上的函数展成正弦级数与余弦级数,周期延拓,F,(,x,),f,(,x,),在,0 , ,上展成,周期延拓,F,(,x,),余弦级数,奇延拓,偶延拓,正弦级数,f,(,x,),在,0 , ,上展成,155,2. 在0,上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓 F,例,6.,将函数,分别展成正弦级,数与余弦级数,.,解,:,先求正弦级数,.,去掉端点,将,f,(,x,),作奇周期延拓,156,例6. 将函数分别展成正弦级数与余弦级数 . 解: 先求正,注意,:,在端点,x,= 0,级数的和为,0 ,与给定函数,因此得,f,(,x,) =,x,+ 1,的值不同,.,157,注意:在端点 x = 0, , 级数的和为0 ,与给定函,再求余弦级
展开阅读全文