10级(文理) 动力学的基本定理复习和辅导

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,动力学的基本定理,江汉大学文理学院,复习和辅导,或,质点系或刚体的动量表达的定义式,运动刚体动量的计算,已知杆、圆盘均质,质量为,m.,尺寸如图,2,(c),动量的方向与质心速度方向相同,x,y,45,2a,a,a,C,1,C,2,将此,T,形杆分成质量相等的两部分,其中下部分的一半的质心与转轴重合,速度为零,;,上部分的一半质心的速度为,a.,方向如图示,.,C,v,60,O,速度瞬心,3,动量定理和质心运动定理,在什么情况下用动量定理,?,(1),求刚体尤其刚体系统或质点系统的约束反力及线加速度问题,.,(2),守恒条件下的速度、位移和运动轨迹问题,.,动量守恒和质心守恒问题,如果一质点系统的外力系的主矢等于零,(,不可说外力系为零,),则系统的动量保持为一常矢量或为零,.,或系统的质心的速度为一常矢或为零,.,如果一质点系统的外力系的主矢在某一方向上的投影为零,则系统的动量在此方向上的投影保持为一常量或为零,.,或系统的质心的速度在此方向上的投影不变或为零,.,系统或刚体动量守恒量是否为零,全在于其初始状态,.,4,例,1.,均质杆,OA=2l,重,P,绕过,O,端的水平轴在竖直面内转动,.,设转动到 与水平成,角时其角速度与角加速度分别为,与,.,求,:,此时,OA,杆在,O,端的约束反力,.,O,A,C,解,:,取杆分析其运动和受力,.,O,A,C,由,质心运动定理 法向投影,:,由,质心运动定理 切向投影,:,典型简单例题,将,O,点的未知力沿质心运动,的切向和法向分解,.,5,解,:,取系统分析,运动与受力如图示,.,s,A,B,D,例,2.,质量为,m,1,的平台放在水平面上,平台与水平面间的动摩擦系数为,f ,质量为,m,2,的小车由绞车拖动,其相对平台上的运动规律为 不计绞车的质量,求平台的加速度,.,水平方向有,:,垂直方向有,:,6,(2),一均质的半圆板如图示放置在光滑的水平面上,由静止释放,.,则半圆板的质心,C,的运动轨迹是,:,.,mg,C,a.,抛物线,;,b.,铅垂线,;,c.,椭圆曲线,;,d.,旋轮线,.,例,3.(1),一均质杆如图示放置在光滑的水平面上,由静止释放,.,则均质杆的质心,C,的运动轨迹是,:,.,a.,圆弧线,;,b.,铅垂线,;,c.,椭圆曲线,;,d.,斜直线,.,b,b,7,例,4.,图示水平面 放一均匀三棱柱,A,其上放一小三棱柱,B,两个三棱柱质量分别为,m,A,、,m,B,且,m,A,=3m,B,.,尺寸如图,设各处摩擦不计,初始静止,.,求当三棱柱,B,由顶端沿斜面下滑到底端,三棱柱,A,移动的距离,.,解,:,系统在水平方向的质心坐标守恒,.,x,y,A,a,b,B,A,a,x,y,b,B,设系统运动前的质心水平坐标为,设系统运动后的质心水平坐标为,建立坐标系如图示,此时三棱柱,A,向左移动了,8,例,5.,均质杆,AB=L,直立于光滑的水平面上,.,求它从铅直位置无 初速地倒下时,端点,A,的运动轨迹,.,O,C,A,B,x,y,任意时刻,A,点的坐标为,:,9,质点系动量矩表达的定义式,凡动量矩,必须指明对哪一点的动量矩,否则无意义,.,定轴转动刚体对转轴,(,如,z,轴,),的动量矩,:,平动刚体的动量矩,刚体平动时,可将全部质量集中于质心,作为一个质点计算其对 某一点或某一轴的动量矩,.,平面运动的刚体,(,一般应有质量对称面,),对质心,C,的动量矩,转动惯量的平行轴定理,刚体对于任意轴的转动惯量,等于刚体对于通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量,加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积,.,10,:(1),笼统地说某刚体的转动惯量是没有意义的,;,转动惯量只有对确定的轴才具有力学意义,.,(2),所谓 确定的轴 并非仅指真实的转动轴,只要具有空间的几何意义即可,.,(3),同一刚体对于诸多的平行轴来讲,以过其质心的轴之转动惯量最小,.,例一,.,均质矩形板质量为,m,尺寸如图,.,已知板对,z,2,轴的转动惯量为,J,2,.,试求板对,z,1,轴的,转动惯量,.,z,1,z,2,a,C,z,c,11,定轴转动刚体对转轴动量矩的计算,已知杆、圆盘均质,质量为,m.,尺寸如图,12,例,9(,书上例,11 9),简化的钟摆如图所示,.,已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为,m,1,和,m,2,细杆长为,l,圆盘的直径为,d.,求此摆对过悬挂点,O,的水平轴的转动惯量,.,解,:,对均质细杆,对圆盘,摆对,O,轴的转动惯量,13,对固定点的动量矩,定理,绕固定轴转动刚体对转轴的动量矩定理,(,定轴转动动力学方程,),对运动的质心的动量矩定理,平面运动刚体对质心的动量矩定理,刚体平面运动动力学方程,14,例,6.,高炉运送矿石的卷扬机如图示,.,已知鼓轮的半径为,R,质量为,m,1,鼓轮绕,O,轴转动,.,小车和矿石的总质量为,m,2,.,作用在鼓轮上的力偶矩为,M,鼓轮对转轴的转动惯量为,J,0,轨道的倾角为,.,不计摩擦及绳子的质量,.,求,:,小车的加速度,.,:,平动物体对任何一点的动量矩都很容易求得,.,将若干个平动物体与一个转动物体作为一个系统,运用动量矩定理可以避免某一些未知力的出现,从而可简化解题的步骤,.,解,:,取整个系统为研究对象,受力及运动分析如图,M,O,M,O,R,15,2,R,B,例,7.,电动绞车提升一质量为,m,的物体,在其主动轴上作用有一个力偶其矩为,M.,已知主动轴齿轮和从动轴齿轮各自对其转轴的转动惯量分别为,J,1,和,J,2,.,传动比,z,2,:z,1,=i;,从动轮上的鼓轮半径为,R.,不计绳索的质量和各处摩擦,.,求,:,重物的加速度,.,1,A,M,J,2,J,1,m,A,B,M,R,取,主动轮分析,:,取,从动轮及物块系统分析,:,将,上面二式代入前面的,(1),、,(2),式后解得,:,由对,A,点的动量矩定理,由对,B,点的,动量矩定理,16,M,C,取,圆轮分析其运动和受力如下图,:,x,y,M,C,由质心运动定理,:,由对质心的动量矩定理,:,即是,由,(1),、,(2),、,(3),联立求解可得,由纯滚动条件可知,:,例,11.(,书上例,11-11),均质圆轮半径为,r,质量为,m,沿水平面作纯滚动,.,设圆轮对质心的,惯性半径,为,作用于圆轮的力偶为,M.,求轮心的加速度,.,如果圆轮与地面间的静摩擦系 数是,f,s,.,问,M,应该满足什么条件才不致使圆轮滑动,?,17,例,11.(,书上例,11-11),均质圆轮半径为,r,质量为,m,沿水平面作纯滚动,.,设圆轮对质心的惯性半径为,作用于圆轮的力偶为,M.,求轮心的加速度,.,如果圆轮与地面间的静摩擦系 数是,f,s,.,问,M,应该满足什么条件才不致使圆轮滑动,?,x,y,M,C,由,纯滚动的力学条件可知,对于所受静滑动摩擦力,F,于是可得满足纯滚动的力偶,M,的大小为,由平衡条件可得,:,18,例,8.,均质圆轮的半径为,R,质量为,m,在粗糙的水平面上作纯滚动,.,在轮上作用一水平力 其大小为,F.,试求出轮心,C,的加速度和水平接触面处的摩擦力,.,解,:,取圆轮分析受力及运动,由对质心的动量矩定理,由纯滚动的运动学关系,联立,(1),、,(2),、,(3),求解,:,C,mg,由质心运动定理,19,例,9.,均质圆轮的半径为,R,质量为,m,在粗糙的水平面上作纯滚动,.,在轮上作用力 偶其拒大小为,M=FR.,试求出轮心,C,的加速度和水平接触面处的摩擦力,.,mg,解,:,取圆轮分析受力及运动,由对质心的动量矩定理,由纯滚动的运动学关系,联立,(1),、,(2),、,(3),求解,:,由质心运动定理,20,习,11 14,解,:,圆柱体平面运动,与绳子相切的,D,点为其,速度瞬心,.,B,h,A,mg,D,h,A,mg,R,D,三式,联立可得,:,A,点的运动为匀加速直线运动,初速度为零,.,BD,段内,各点的速度为零,!,21,解,:,初瞬时问题,无速度、角速度和法向加速度,直接是力,(,力矩,),与加速度,(,角加速度,),的关系,.,由对,O,点的动量矩定理,例,10.,均质杆长,l,质量为,m,O,端铰接,现当杆与水平成,30,0,角时静止释放,.,求释放瞬时杆的角加速度及,O,端的约束力,.,22,由质心运动定理,23,习,11 19,一刚性均质杆重为,200N.A,处为光滑面约束,B,处为光滑铰链支座,如图所示,.,当杆位于水平位置时,C,处的弹簧拉伸了,76mm,弹簧刚度系数为,8750N/m.,求当约束,A,突然移去时,支座,B,处的约束力,.,解,:,初瞬时问题,取,AC,杆分析受力及运动,由对,B,点的动量矩定理,:,由已知条件可得,:,由质心运动定理,:,(,方向如图示,),24,例,11.,一质量为,m,长为,l,的均质杆用细绳吊在水平位置,.,若突然剪断 细绳,则此瞬时,该杆的角速度和角加速度应是,.,O,A,mg,O,A,l,由静止开始转入运动的瞬时,有角加速度,;,由于没有时间积累,故角速度为零,.,由,对,O,点的动量矩定理,:,b,25,动能定理这一章,是从能量的观点来描述一个力学过程,.,与前几章不同的是,不再把力分成内力和外力,而是分成主动力和约束反力,.,在解题的思路上这一章与前几章也有明显的不同,.,对于刚体系统和质点系统来讲,动能定理的运用大都以整个系统为研究对象,.,而动量定理和动量矩定理的运用在许多场合下需要将原系统拆成单体或简单系统,.,运用动能定理求运动量特别是对单自由度力学系统下求线速度和角速度是非常方便的,.,动能定理不能求未知的约束反力,所以,用三个动力学遍定理联合求解动力学问题,总是先用动能定理求速度、加速度,再用动量定理,(,质心运动定理,),和动量矩定理求力,.,动能定理,26,刚体动能的计算,已知杆、圆盘均质,质量为,m.,尺寸如图,27,(1),设物块,A,与三角块,B,三角块,B,与地面之间皆为光滑接触,.,物块,A,质量为,m,A,三角块,B,质量为,m,B,.,初始系统静止,.,释放,A,块后系统开始运动,.,若,A,块沿斜面下滑的相对速度为,V,r,三角块,B,向左运动 的速度为,V,0,.,则系统 动量的水平分量为,铅垂方向的分量为,.,V,0,V,r,A,B,(2),图示行星齿轮机构中,行星齿轮,由均质杆,OA,带动绕固定齿轮,运动,.,已 知,OA,杆的质量为,m,长为,L,行星齿轮的质量亦为,m,并视为均质圆盘,半径为,r.,当,OA,杆角速度为,时,系统的动能是,:,A,O,系统的动能为,.,0,m,A,V,r,sin,28,例,11.,在图示系统中,正方形的质量为,m=2 kg,边长,l=0.25m.,用一不计大小的滑轮支撑在光滑的水平面上,.,若从图示的位置静止释放,受微小的干扰而倒下,.,试求该正方块的,A,点即将触及地面的时候,(OA,边水平,),正方块的角速度,.,解,:,当,OA,边水平时,p,点为正方块的速度瞬心,A,O,C,mg,mg,O,C,p,A,由,动能定理,:,29,习题,12 10.,均质连杆,AB,质量为,m,1,=4kg,长,l,=600mm,均质圆盘质量为,m,2,=6 kg,半径,r=100mm,弹簧的刚度系数,k=2N/mm,不计弹簧和套筒的质量,.,如果连杆,AB,在图示的位置被无初速地释放后,A,端沿铅垂滑下,而圆盘作纯滚动,.,求,:(1),当,AB,杆运动到水平位置而刚接触到弹簧时,圆盘和连杆的角速度,;,(2),弹簧最大的压缩量,.,解,:(1),当,AB,杆运动到水平位置时,B,点的速度为零,由此可知圆盘的质心速度及圆盘的角速度为零,此时,圆盘的动能为零,.,由动能定理,:,30,(2),设弹簧最大压缩量为,此时,系统的动能为零,由动能定理,:,(,舍去,),31,习,12,12,周转齿轮