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*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,二次型,第五章 二次型,二次型,二次型就是二次齐次多项式。,在解析几何中讨论的有心二次曲线，,当中心与坐标原点重合时，其普通方程为：,方程的右端就是关于 x，y 的一个二次齐次多项式。为了便于研讨,这个二次曲线的几何性质，经过选取适宜的角度，把坐标轴作逆,时针旋转，那么相应的坐标变换为：,在新坐标下二次曲线的方程可化为规范方程：,这是一个只含有平方项的规范方程。,二次型,调查方程：,该方程表示 xy 平面上怎样的一条二次曲线？,将 xy 坐标系逆时针旋转/4,即令,在新坐标下二次曲线的方程可化为规范方程：,二次型,1 二次型及其矩阵表示,1 二次型及其矩阵表示,二次型的概念及其矩阵表示,定义：一个系数在数域 P 上的 x1，x2，xn 的二次齐次多项式,称为数域 P 上的一个n元二次型，简称为二次型。,留意：(1)二次型就是 n 元二次齐次多项式；,(2)交叉项的系数采用2aij，主要是为了矩阵表示的方便。,二次型,1 二次型及其矩阵表示,假设在 n 元二次型中令 aij=aji，由于 xi xj=xj xi，那么二次型可表示为,假设记,其中 aij=aji，i，j=1，2，n，那么二次型可用矩阵的乘积表示为,其中 A 称为该二次型的矩阵，A 的秩称为该二次型的秩。,二次型,1 二次型及其矩阵表示,对于二次型的矩阵表示方法，需留意如下几点：,(1)由于 aij=aji，故 A 为对称矩阵；,(2)矩阵 A 中 aii 为 xi2 项的系数，aij 为交叉项 xi xj 系数的一半；,(3),n 元二次型 f,n 阶对称矩阵 A,一一对应,定义：一个只含有平方项的 n 元二次型,称为规范二次型，或规范型。,n 元规范二次型 f,n 阶对角矩阵,一一对应,行列式,1 n阶行列式的定义,1、写出以下二次型的矩阵,2、写出以下对称矩阵的二次型,例题,1,2,1,2,3、写出二次型,的矩阵。,二次型,1 二次型及其矩阵表示,二次型的线性交换,定义：系数在数域 P 中的一组关系式：,称为由向量 x1，x2，xn 到 y1，y2，yn的一个线性交换。令,那么线性交换可以表示为 x=Cy。假设系数矩阵 C 的行列式|C|0，那么称,该线性交换是非退化的。,二次型,1 二次型及其矩阵表示,问题：二次型经过非退化线性交换后能否仍为二次型？,定理：二次型经过非退化线性交换后仍为二次型。,问题：二次型的矩阵经过非退化线性交换后会发生怎样的变化？具有,怎样的关系呢？,定义：设 A，B 是数域 P 上的两个 n 阶方阵，假设在数域 P 上存在可逆,的 n 阶方阵 C，使得,那么称矩阵 A 和 B 是合同的。,因此，经过非退化的线性交换后，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是,合同的。故可经过矩阵的合同变化来表示二次型的变换。,二次型,1 二次型及其矩阵表示,合同是矩阵之间的一种等价关系，具有：,反身性：矩阵 A 与本人合同；,对称性：假设矩阵 A 与 B 合同，那么矩阵 B 与 A 合同；,传送性：假设矩阵 A 与 B 合同，矩阵 B 与 C 合同，那么 A 与 C 合同；,合同的根本性质：,性质1：对称矩阵只能与对称矩阵合同。,性质2：合同矩阵具有一样的秩。,问题：使得矩阵 A 和 B 合同的可逆矩阵 C，能否独一？,二次型,2 规范型,2 规范型,用配方法化二次型为规范型,定理：数域 P 上恣意一个二次型都可以经过非退化的线性交换化为,规范型。,用合同法化二次型为规范型,定理：数域 P 上恣意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵。,行列式,1 n阶行列式的定义,1、化以下二次型为规范型,2、化二次型,例题,1,为规范型。,2,二次型,3 独一性,3 独一性,规范型中的系数不是独一确定的。,做线性交换,例如：对二次型,得到规范型,二次型,3 独一性,进一步做交换,得到另一个规范型,共同点：规范型中系数不为零的平方项的个数是独一确定的。,合同不改动矩阵的秩。,二次型,3 独一性,复数域上的二次型,定理：恣意一个秩为 r 的复系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性,交换化为复规范型：,而且这个规范型是独一的。,二次型,3 独一性,推论：恣意一个复对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：,其中对角线上 1 的个数 r 等于矩阵 A 的秩。,推论：两个复对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等。,负平方项的个数 r-p 称为 f 的负惯性指数；,(2)它的负惯性指数与秩相等，,在新坐标下二次曲线的方程可化为规范方程：,1 二次型及其矩阵表示,共同点：规范型中系数不为零的平方项的个数是独一确定的。,2、写出以下对称矩阵的二次型,问题：二次型的矩阵经过非退化线性交换后会发生怎样的变化？具有,推论：恣意一个实对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：,2、写出以下对称矩阵的二次型,推论：正定矩阵是可逆的，且其逆矩阵仍为正定矩阵。,用合同法化二次型为规范型,是正定的，那么称实对称矩阵,正定二次型的定义和断定,用合同法化二次型为规范型,定理：实对称矩阵 A 正定的充要条件是它与单位矩阵合同。,二次型,3 独一性,实数域上的二次型,定理：恣意一个秩为 r 的实系数的 n 元二次型，可经过适当的非退化线性,交换化为实规范型：,而且这个规范型是独一的。,定义：实二次型 f 的规范型中，正平方项的个数 p 称为 f 的正惯性指数；,负平方项的个数 r-p 称为 f 的负惯性指数；它们的差 p-(r-p)称为,f 的符号差。,二次型,3 独一性,推论：恣意一个实对称矩阵 A 都合同于对角矩阵：,其中对角线上 1 和-1 的个数都是独一确定的，且其和 r 等于矩阵 A 的秩。,问题：试给出两个实对称矩阵合同的充要条件。,二次型,4 正定二次型,4 正定二次型,正定二次型的定义和断定,定义：实二次型,是正定的，假设对恣意一组不全为零的,的实数,都有,。,定理：实二次型,是正定二次型,的充要条件是,定理：非退化的线性交换不改动二次型的正定性。,定义：n 元实二次型,正定的充要条件是它的正惯性指数,为 n。,二次型,4 正定二次型,正定矩阵,定义：假照实二次型,是正定的，那么称实对称矩阵,A 为正定矩阵。,定理：实对称矩阵 A 正定的充要条件是它与单位矩阵合同。,定理：实对称矩阵 A 正定的充要条件是存在非奇特矩阵 C，使得 A=CC,推论：正定矩阵的行列式大于零。,推论：正定矩阵是可逆的，且其逆矩阵仍为正定矩阵。,二次型,4 正定二次型,直接利用矩阵的元素来判别它的正定性。,定义：n 阶实对称矩阵 A=(aij)的左上角的 k 阶子式,称为矩阵 A 的 k 阶顺序主子式。,定理：实二次型,正定的充要条件是矩阵 A 的各阶,顺序主子式全大于零。,二次型,4 正定二次型,例题,1、判别二次型,能否正定。,2、当 t 取什么值时，二次型,是正定的。,3、判别二次型,能否正定。,二次型,4 正定二次型,4、假设矩阵 A 是列满秩的，那么 AA 为正定矩阵。,5、设 A 为 n 阶正定矩阵，证明：,(1)对恣意 n 阶矩阵 B，秩(BAB)=秩(B)。,(2)假设 B 是 nm 阶实矩阵，且 B 是列满秩的，那么 BAB 也是正定的。,二次型,4 正定二次型,二次型的分类,定义：设实二次型,，假设对于恣意一组不全为零的实数,都有,(1),，那么称,是正定的。,(2),，那么称,是半正定的。,(3),，那么称,是负定的。,(4),，那么称,是半负定的。,(5),不确定，那么称,是不定的。,二次型,4 正定二次型,定理：设实二次型,，以下命题等价：,(1),是半正定的，,(2)它的负惯性指数与秩相等，,(3)有可逆实矩阵 C，使得,(4)有实矩阵 C，使得 A=CC，,(5)矩阵 A 的一切主子式大于或等于零。,
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