理论力学第十五章

第十五章,虚位移原理,理论力学（）,东北大学 应用力学研究所,李 永 强,15-1 约束 虚位移虚功,15-2虚位移原理,第十五章 虚位移原理,15-1 约束 虚位移虚功,1 约束及其分类,限制质点或质点系运动的条件称为,约束,，,限制条件的数学方程称为,约束方程,.,限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为,几何约束,.,（1）几何约束和运动约束,如,15-1 约束 虚位移虚功,限制质点系运动情况的运动学条件称,运动约束,.,15-1 约束 虚位移虚功,2 定常约束和非定常约束,约束条件随时间变化的称,非定常约束,否则,称定常约束,.,15-1 约束 虚位移虚功,（3）其它分类,约束方程中包含坐标对时间的导数,且不可能积分为有限形式的约束称,非完整约束,否则为,完整约束,.,约束方程是等式的，称,双侧约束,（或称,固执约束,），约束方程为不等式的，称,单侧约束,（或称,非固执单侧约束,）。本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束；,n,为质点系数，,S,为约束方程数,15-1 约束 虚位移虚功,2 虚位移,在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何无限小的位移称为,虚位移,.,虚位移,等,实位移,等,虚功,4 理想约束,如果在质点系的任何虚位移中,所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为,理想约束,.,力在虚位移中作的功称虚功,.,15-1 约束 虚位移虚功,即,设质点系处于平衡,有,或记为,此方程称,虚功方程,其表达的原理称,虚位移原理,或,虚功原理,:,15-2 虚位移原理,对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是:作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零.,解析式为,例15-1 如图所示,在螺旋压榨机的手柄,AB,上作用一在水平面内的力偶(),其力矩 ,螺杆的螺距为.,求:机构平衡时加在被压物体上的力.,15-2 虚位移原理,解:给虚位移,满足如下关系：,，,故,例15-2图中所示结构,各杆自重不计,在,点作用一铅直向上的力,求:支座,的水平约束力.,15-2 虚位移原理,解:解除,B,端水平约束,以力,F,BX,代替：,代入虚功方程:,解得,如图在,CG,间加一弹簧,刚度,K,且已有伸长量,0,仍求,F,BX,.,在弹簧处也代之以力,如图,其中：,例15-3图所示椭圆规机构中,连杆,AB,长为,L,滑块,与杆重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示位置平衡.,求：主动力 之间的关系。,15-2 虚位移原理,解:,(1)几何法：给虚位移,代入虚功方程,有,即,由,(在,A,B,连线上投影相等),(2)用解析法.建立坐标系,由：,有,得,代入到,由速度投影定理,有,代入上式,得,(3)虚速度法,定义:,为虚速度,例15-4如图所示机构,不计各构件自重与各处摩擦,求机构在图示位置平衡时,主动力偶矩,与主动力,之间的关系,.,15-2 虚位移原理,解:给虚位移,由图中关系有,代入虚功方程得,用虚速度法:,代入到,用建立坐标,取变分的方法,有,解得,求:,例15-5求图所示无重组合梁支座,的约束力.,解：解除,A,处约束，代之 ，给虚位移，如图：,代入虚功方程,得,r,E,O,A,B,D,4m,5m,E,M,3m,r,B,r,A,例156 已知：,M,，忽略各杆自重，问：平衡时弹簧受力,F,解：,去掉弹簧支座以反力代替,并给出虚位移：,列虚功方程：,AB,杆瞬时平动,A,B,D,P,1,P,1,P,2,C,F,E,例157 均质杆长AB=BC=,L,，杆重皆为,P,1,，滑块,C重,P,2,，滑轨倾角为,，,求：平衡时角,为多大。,y,x,A,B,D,P,1,P,1,P,2,C,F,E,解：建立如图坐标系，,各力作用点坐标,及其变分为：,列虚功方程：,代入各坐标变分后解得：,y,x,A,B,D,P,1,P,1,P,2,C,F,E,