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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,3.4,圆心角,圆心角 所对,的弧为,AB,，,过点,O,作弦,AB,的垂线,垂足,为,M,O,A,B,M,顶点在圆心的角,叫,圆心角,，,如,所对的弦为,AB,；,图,1,OM,是唯一的。,则垂线段,OM,的长度,即圆,心到弦的距离，叫,弦心距,图,1,中，,OM,为,AB,弦的弦心距。,1,、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。,2,、下列图中弦心距做对了的是（）,由上分析，任意给圆心角，对应出现,四个量：,圆心角,弧,弦 弦心距,猜 想：,图,2,也就是在 图,2,中研究不同的圆,心角 、，以及它们,所对的弧,弦,弦的弦心距,OM,、,之间的关,系。,?,?,?,圆的旋转不变性：,圆绕圆心旋转任意角,，都能,够与原来的圆重合。,注：,=180,O,旋转，,说明圆是以圆心为对称中,心的中心对称图形。,图,3,1.,射线,OB,与射线,OB,重合吗,?,为什么,?,2.,点,A,与,A,，点,B,与,B,重合吗？,为什么？,4.,OM,与,OM,呢？为什么？,于是，若,AOB=A,OB,，,则,AB=A,B,AB=A,B,OM=OM,.,3.,AB,与,A,B,弦,AB,与弦,A,B,重合吗？为什么？,将,AOB,连同,AB,绕圆心,O,旋转，,使射线,OA,与射线,OA,重合,则：,图,4,如图，,O,和,O,是等圆，,如果,AOB,=,A,O,B,那么,AB=A,B,、,AB=A,B,、,OM=O,M,为什么？,圆心角定理,:,在同圆或等圆中，相等的圆心角 所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。,已知：如图,5,AOB=A,OB,OM,、,OM,分别是弦,AB,、弦,A,B,的弦心距,.,求证：,AB=A,B,AB=A,B,OM=OM,证明：,将,AOB,连同,AB,绕圆心,O,旋转，,使射线,OA,与射线,OA,重合,.,又根据弦心距的唯一性，得,OM=OM,图,5,另外，对于等圆的情况 ，因为两个等圆可,叠合成同圆，所以等圆问题可转化为同圆问题，,命题成立。,条件,结论,在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么,圆心角所对的弧相等,圆心角所对的弦相等,圆心角所对的弦的弦心距相等,在同圆或等圆中,如果弦相等,那么,弦所对的圆心角相等,弦所对的弧（指劣弧）相等,弦的弦心距相等,在同圆或等圆中,如果弦心距相等,那么,弦心距所对应的圆心角相等,弦心距所对应的弧相等,弦心距所对应的弦相等,在同圆或等圆中,如果弧相等,那么,弧所对的圆心角相等,弧所对的弦相等,弧所对的弦的弦心距相等,推论：,(,圆心角定理的逆定理,),在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都分别相等。,例,1,如图，已知点,O,是,EPF,的平分线上一点，,P,点在圆外，,以,O,为圆心的圆与,EPF,的两边分别相交于,A,、,B,和,C,、,D,。,求证：,AB=CD.,分析：联想到“角平分线的性质”，作弦心距,OM,、,ON,，,证明,:,作,垂足分别为,M,、,N,.,OM=ON,AB=CD.,.,P,A,B,E,C,M,N,D,F,要证,AB=CD,，只需证,OM=ON.,O,.,P,B,E,D,F,O,A,C,.,如图，,P,点在圆上，,PB=PD,吗？,P,点在圆内，,AB=CD,吗？,思考：,P,B,E,M,N,D,F,O,M,N,温故知新,直线与圆的位置关系有下面的性质:,如果O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么,(1)dr 直线l与O相交,(2)d=r 直线l与O相切,(3)d,r,直线l与O相离,新课引入,请按照下述步骤作图:,如图,在O上任取一点A,连结OA,过点A作直线lOA,O,A,思考以下问题:,(1)圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么关系?,(2)直线l和O的位置有什么关系?根据什么?,(3)由此你发现了什么?,相等,d=r,相切,特征一：直线L经过半径OA,的外端点A,特征二：直线L垂直于半径OA,知识要点,一般地,有以下直线与圆相切的判定定理:,经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线,O,A,l,OA是O,的半径,lOA,于A,l是O的切线,经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。,判断下图中的,l,是否为O的切线,半径,外端,垂直,证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：过半径外端,垂直于这条半径。,例题分析,例1.已知:如图A是O外一点,AO的延长线交O于点C,点B在圆上,且AB=BC,A=30.求证:直线AB是O的切线,A,B,C,O,证明：连结OB,OB=OC，AB=BC，A=30,OBC=C=A=30,AOB=C+OBC=60,ABO=180-（AOB+A）,=180-（60+30）,=90,ABOB,AB为O的切线,做一做：,如图是的直径，请分别过，作的切线,O,B,一般情况下，要证明一条直线为圆的切线，它过半径外端（即一点已在圆上）是已知给出时，只需证明直线垂直于这条半径。,巩固练习,1、如图，已知点B在O上。根据下列条件，能否判定直线AB和O相切？,OB=7,AO=12,AB=6,O=68.5,A=2130,？,2、,如图，AB是O的直径，AT=AB，ABT=45。,求证：AT是O的切线,巩固练习,？,例2.如图,台风P(100,200)沿北偏东30方向移动,受台风影响区域的半径为200km,那么下列城市A(200,380),B(600,480),C(550,300),D(370,540)中,哪些受到这次台风的影响,哪些不受到台风的影响?,0,100,400,500,600,700,300,200,X(km),y(km),600,500,400,300,200,100,30,P,A,B,C,D,课内练习,O,P,S,T,Q,2.,如图,OP是O的半径,POT=60,OT交O于S点.,(1)过点P作O的切线.,(2)过点P的切线交OT于Q,判断S是不是OQ的中点,并说明理由.,探究活动,请任意画一个圆,并在这个圆所在的平面内任意取一点P.,(1)过点P是否都能作这个圆的切线?,(2)点P在什么位置时,能作并且只能作一条切线?,(3)点P在什么位置时,能作两条切线?这两条切线有什么特性?,(4)能作多于2条的切线吗?,点在圆内不能作切线,点在圆上,点在圆外,相等,不能,补充例3,、如图已知直线AB过O上的点C，并且,OAOB，CACB 求证：直线是O的切线,B,A,C,证明：,连接OC,OA=OB，CA=CB,OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线,ABOC,直线经过半径的外端C，并且垂直于半径OC，所以AB是O的切线,已知ABC内接于O,直线EF过点A,（1）如图1，AB为直径，要使得EF是,O,的切线，还需添加的条件是,或,。,（2）如图2，AB为非直径弦，且CAE=B,求证：EF为,O,的切线。,例,F,E,C,B,A,O,C,B,E,F,A,O,一般情况下，要证明一条直线为圆的切线，它过半径外端（即一点已在圆上）是已知给出时，只需证明直线垂直于这条半径。,例5,、如图：点O为ABC平分线上一点，ODAB于D，以O为圆心，OD为半径作圆。求证：BC是O 的切线。,C,A,B,D,E,证明：,作OEBC于E,点O为ABC平分线上一点,ODAB于D,OEOD,又OD为O半径,圆心到直线BC的距离等于半径，所以BC与O相切,证明直线与圆相切，但无切点时，往往过圆心作切线的垂线，再证明d=r即可,切线的判定方法有：,、切线的判定定理。,、直线到圆心的距离等于圆的半径。,、直线与圆有唯一个公共点。,小结,切线的判定定理：经过半径外端,并且垂直于这条半径的直线是圆,的切线。,、经过半径外端的直线是圆的切线。,、垂直于半径的直线是圆的切线。,、过直径的外端并且垂直于这条直径的,直线是圆的切线。,、和圆只有一个公共点的直线是圆的切,线。,、以等腰三角形的顶点为圆心，底边上,的高为半径的圆与底边相切。,是非题：判断下列命题是否正确。,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,、填空：,在三角形OAB中,若OA=4,OB=4,圆O的半径是2,则当AOB=_时,直线AB与圆O相切。,、选择：下列直线能判定为圆的切线是（）,A、与圆有公共点的直线,B、垂直于圆的半径的直线,C、过圆的半径外端的直线,D、到圆心的距离等于该圆半径的直线,练习,D,120度,如图,已知AB是O的直径,O过BC的中点D,且DEAC.,(1)求证:DE是O的切线.,(2)若C=30,CD=10cm,求的半径,O,.证明题：,4、如图，AB是O的直径，弦AD平分BAC，,过A作ACDC，,求证：DC是O的切线。,巩固练习,？,5 如图，已知四边形ABCD是直角梯形，ADBC，ABBC，CDADBC。,求证：以CD为直径的O与AB相切,E,证明：过点O作OEAB,垂足为E。,ADBC,ABBC,ADAB,而OEAB ADOEBC,巩固练习,？,小结,经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线,切线的判定定理:,这个定理不仅可以用来,判定圆的切线,还可以依据它来,画切线.,在判定切线的时候,如果,已知点在圆上,则,连半径,是常用的辅助线,作OEBC于E,当已知条件中,没有明确,直线与圆是否有公共点时,辅助线：,是过圆心作这条直线的垂线段。,再证明这条垂线段的长等于半径。,连结OC,当已知条件中直线与圆,已有一个公共点,时,辅助线,：是,连结,圆心和这个公共点。,再证明这条半径与直线垂直。,例3,、如图已知直线AB过O上的点C，并且OAOB，CACB,求证：直线是O的切线,B,A,C,例5,、如图：点O为ABC平分线上一点，ODAB于D，以O为圆心，OD为半径作圆。求证：BC与作O相切。,C,A,B,D,E,作OEBC于E,当已知条件中,没有明确,直线与圆是否有公共点时,辅助线：,是过圆心作这条直线的垂线段。,再证明这条垂线段的长等于半径。,连结OC,当已知条件中直线与圆,已有一个公共点,时,辅助线,：是,连结,圆心和这个公共点。,再证明这条半径与直线垂直。,例3,、如图已知直线AB过O上的点C，并且OAOB，CACB,求证：直线是O的切线,B,A,C,例5,、如图：点O为ABC平分线上一点，ODAB于D，以O为圆心，OD为半径作圆。求证：BC与作O相切。,C,A,B,D,E,
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