资源描述
第二讲,古典概型与几何概型,第十二章 概 率,考点帮,必备知识通关,考点,1,古典概型,考点,2,几何概型,考点3,随机模拟,考法帮,解题能力提升,考法,1,古典概型的求法,考法,2,几何概型的求法,考,法,3,随机模拟的应用,高分帮,“,双一流,”,名校冲刺,提素养 数学文化,数学文化 概率与数学文化,考情解读,考点内容,课标,要求,考题取样,情境,载体,对应,考法,预测,热度,核心,素养,1.,古典概型,理解,20,19,全国,T,6,周易,考法1,数学建模,数学运算,2.,几何概型,了解,2018,全国,T10,生活,实践,考法,2,数学建模,数学运算,3.,随机模拟,了解,2020全国,T2,2020山东,T1,课程,学习,考法,3,数学建模,数学运算,考情解读,命题分,析预测,本讲是高考的热点,常以选择题、填空题的形式呈现,主要考查古典概型及与长度、面积、体积有关的几何概型,古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、数列、解析几何、统计等知识交汇命题,命题角度及背景新颖,考查知识全面,能力要求较高,.,本部分内容重点考查数学建模与数学运算素养,.,几何概型是新课程标准,(2017,年版,),删除内容,预测,2022,年高考对几何概型的考查相对会弱化,会重点考查古典概型的内容,.,在备考过程中要注意本讲知识与数学文化、实际生活密切联系的问题,要加强实际应用问题的训练,.,考点,1,古典概型,考点,2,几何概型,考点,3,随机模拟,考点帮,必备知识通关,考点,1,古典概型,1,.,基本事件的特点,(1),任何两个基本事件都是互斥的,.,(2),任何事件,(,除不可能事件,),都可以表示成基本事件的和,.,2,.,古典概型的特点,3,.,古典概型的概率计算公式,P,(,A,)=,.,考点,1,古典概型,注意,1,.,下列三类试验不是古典概型,:(1),基本事件的个数有限,但非等可能,;(2),基本事件的个数无限,但等可能,;(3),基本事件的个数无限,也非等可能,.,2,.,古典概型中任何两个基本事件都是互斥的,确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法,.,考点,2,几何概型,1,.,几何概型的定义,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度,(,面积或体积,),成比例,那么称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型,.,2,.,几何概型的两个基本特点,考点,2,几何概型,3,.,几何概型的概率公式,P,(,A,)=,注意,1,.,几何概型的基本事件的个数是无限的,几何概型的概率计算与基本事件的区域的长度,(,面积或体积,),有关,而与形状和位置无关,.,2,.,几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事件对应的区域内不影响所求结果,.,考点,3,随机模拟,用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟法或蒙特卡罗法,.,这种方法的基本步骤是,:(1),用计算机或计算器产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义,;(2),统计代表某意义的随机数的个数,M,和总的随机数的个数,N,;(3),计算频率,f,n,(,A,)=,将其作为所求概率的近似值,.,考法,1,古典概型的求法,考法,2,几何概型的求法,考法,3,随机模拟的应用,考法帮,解题能力提升,考法,1,古典概型的求法,示例,1,(1)2017,全国卷,11,5,分,从分别写有,1,2,3,4,5,的,5,张卡片中随机抽取,1,张,放回后再随机抽取,1,张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为,A.,B.,C.,D.,(2)2018,全国卷,8,5,分,理,我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,.,哥德巴赫猜想是,“,每个大于,2,的偶数可以表示为两个素数的和,”,如,30=7+23,.,在不超过,30,的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于,30,的概率是,A.,B.,C.,D.,考法,1,古典概型的求法,思维导引,(1),先用列举法或画树状图法求出基本事件个数,然后利用古典概型的概率计算公式求解,.,(2),先写出不超过,30,的素数所含的基本事件数,然后求出两个不同的数的和等于,30,所含的基本事件数,再利用古典概型的概率公式求解即可,.,解析,(1),解法一,(,列举法,),依题意,记两次取的卡片上的数字依次为,a,b,则一共有,25,个不同的数组,(,a,b,),其中满足,a,b,的数组共有,10,个,分别为,(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),.,(,按顺序列举,不重不漏,),因此所求的概率为,.,考法,1,古典概型的求法,解法二,(,画树状图法,),画出树状图如图,12-2-2,所示,.,由图,12-2-2,可知,所有的基本事件共有,25,个,满足题意的基本事件有,10,个,故所求概率为,.,图,12-2-2,考法,1,古典概型的求法,(2),(,排列、组合法,),不超过,30,的素数有,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共,10,个,从中随机选取两个不同的数,有,种不同的取法,其中两个不同的数的和等于,30,的有,3,对,所以所求概率,P,=,.,答案,(1)D,(2)C,考法,1,古典概型的求法,方法技巧,1,.,求古典概型概率的步骤,2,.,对于较为复杂的古典概型的概率问题的处理方法,转化为几个互斥事件的和,利用互斥事件的概率加法公式求解,;,采用间接法,先求事件,A,的对立事件,发生的概率,再由,P,(,A,)=1-,P,(,),求事件,A,发生的概率,.,考法,1,古典概型的求法,3,.,基本事件个数的确定方法,注意,求解基本事件的个数时,应注意两个方面,:,一是基本事件是否具有顺序性,;,二是注意元素的选取是否为有放回的抽取,.,方法,适用条件,列举法,此法适合于基本事件个数较少的古典概型,列举时要按某一顺序做到不重复、不遗漏,.,列表法,此法适合于从多个元素中对选定两个元素的试验,也可看成坐标法,.,画树状,图法,此法适合于有顺序的问题及较复杂问题中对基本事件数的探求,.,排列、,组合法,此法适合于基本事件数对应某排列数或组合数时的计数,.,示例,2,(1)2016,全国卷,4,5,分,理,某公司的班车在,7:30,8:00,8:30,发车,小明在,7:50,至,8:30,之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过,10,分钟的概率是,A.,B.,C.,D.,(2)2017,全国卷,2,5,分,理,如图,12-2-4,正方形,ABCD,内的图形来自中国古代的太极图,.,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分,关于正方形的中心成中心对称,.,在正方形内随机取一点,则,此点取自黑色部分的概率是,A.,B.,C.,D.,考法,2,几何概型的求法,图,12-2-4,解析,(1),如图,12-2-5,所示,考法,2,几何概型的求法,由图得等车时间不超过,10,分钟的概率为,.,(2),不妨设正方形的边长为,2,则正方形的面积为,4,正方形的内切圆的半径为,1,面积为,.,由于正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称,所以黑色部分的面积为,故此点取自黑色部分的概率为,.,答案,(1)B,(2)B,图,12-2-5,方法技巧,1,.,求解几何概型的常见题型及方法,(1),与长度有关的几何概型,设线段,l,是线段,L,的一部分,向线段,L,上任投一点,点落在线段,l,上的概率,P,=,;,注意,与时间、不等式有关的概率问题可依据转化与化归思想将其转化为与长度有关的几何概型,利用几何概型概率计算公式进行求解,.,考法,2,几何概型的求法,(2),与面积,(,体积,),有关的几何概型,求解与面积有关的几何概型的方法,求解与面积有关的几何概型的概率时,关键是弄清某事件对应的区域面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到全部试验结果构成的平面图形,以便求解,.,求解与体积有关的几何概型的方法,对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算问题对应的总体积,(,总空间,),以及事件对应的体积,(,事件空间,),对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解,.,考法,2,几何概型的求法,2,.,求解几何概型概率的步骤,(1),先求出满足条件,A,的基本事件对应的,“,几何度量,”,N,(,A,);,(2),然后求出总的基本事件对应的,“,几何度量,”,N,;,(3),再根据,P,(,A,)=,N,(,A,),N,求解,.,考法,2,几何概型的求法,考法,3,随机模拟的应用,示例,3,2016,全国卷,10,5,分,理,从区间,0,1,内随机抽取,2,n,个数,x,1,x,2,x,n,y,1,y,2,y,n,构成,n,个数对,(,x,1,y,1,),(,x,2,y,2,),(,x,n,y,n,),其中两数的平方和小于,1,的数对共有,m,个,则用随机模拟的方法得到的圆周率,的近似值为,A.,B.,C.,D.,解析,易知,表示的平面区域为正方形及其内部,设该正方形的面积为,S,由,1,构成的图形为,个圆,它的面积为,S,则,所以,.,答案,C,考法,3,随机模拟的应用,方法技巧,利用,随机模拟计算不规则图形面积的基本思路,利用随机模拟试验可以近似计算不规则图形,A,的面积,解题的依据是先根据随机模拟估计概率,P,(,A,)=,然后根据,P,(,A,)=,列等式求,A,的面积,.,为了方便解题,我们常常设计出一个规则的图形,(,面积为定值,),来表示随机取点的全部结果构成的区域,.,高分帮,“双一流”名校冲刺,提素养 数学文化,数学文化 概率与数学文化,数学文化 概率与数学文化,示例,4,(1)2019,全国卷,6,5,分,理,我国古代典籍周易用,“,卦,”,描述万物的变化,每一,“,重卦,”,由从下到上排列的,6,个爻组成,爻分为阳爻,”,”,和阴爻,“,“,.,如图,12-2-6,就是一重卦,.,在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有,3,个阳爻的概率是,A,.,B,.,C,.,D,.,图,12-2-6,数学文化 概率与数学文化,(2)2020,大同高三调研,我国古代数学家赵爽给出了勾股定理的绝妙证明,图,12-2-7,是赵爽的弦图,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实,图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成红,(,朱,),色、黄色,其面积称为朱实、黄实,利用,2,勾,股,+(,股,-,勾,),2,=,4,朱实,+,黄实,=,弦实,化简得勾,2,+,股,2,=,弦,2,设其中勾股,比为,1,若向弦图内随机抛掷,1 000,颗图钉,(,大小忽,略不计,),则落在黄色图形内的图钉数大约为,A.866 B.500 C.300 D.134,图,12-2-7,数学文化 概率与数学文化,思维导引,数学文化 概率与数学文化,解析,(1),由,6,个爻组成的重卦种数为,2,6,=64,在所有重卦中随机取一重卦,该重卦恰有,3,个阳爻的种数为,=20,.,根据古典概型的概率计算公式得,所求概率,P,=,.,(2),因为勾股比为,1,不妨设勾为,1,则股为,大正方形的边长为,2,小正方形的边长为,-1,.,设落在黄色图形内的图钉数为,n,则有,解得,n,134,.,答案,(1)A,(2)D,数学文化 概率与数学文化,考向指导,高考对数学文化的考查是一个很好的导向,说明高考更加注意数学的德育功能,注重数学文化价值,.,复习过程中要多了解有关数学文化,重视审题与分析,把握问题的实质,以便找到解题的突破口,.,素养探源,核心素养,考查途径,素养水平,数学建模,(1),确定所求为古典概型,;(2),确定所求为几何概型,.,二,数学运算,(1),由古典概型概率计算公式求出概率,;(2),由勾股比求出大小正方形的边长,并由几何概型的概率计算公式求出概率,.,一,
展开阅读全文