241平面向量数量积

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此,1aaa,处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,平面向量的数量积,2.4.1,平面向量数量积的物理背景及其含义,2.4.2,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角,定义：,一般地，实数,与向量,a,的,积,是一个,向,量,，记作,a,，,它的,长度,和,方向,规定如下：,(1)|,a,|=|,|,a,|,(2),当,0,时,a,的方向与,a,方向相同；,当,0,时,a,的方向与,a,方向相反；,特别地，当,=,0,或,a=0,时,a,=0,运算律：,设,a,b,为任意向量，,为,任意实数,，则有：,(,a,)=(,),a,(,+,),a=,a+,a,(,a+b,)=,a+,b,已知两个非零向量,a,和,b,，作,OA=,a,，,OB=,b,，,则,AOB=,（,0,180,）,叫做向量,a,与,b,的,夹角,。,O,B,A,向量的夹角,当,0,时，,a,与,b,同向；,O,A,B,当,180,时，,a,与,b,反向；,O,A,B,B,当,90,时，称,a,与,b,垂直，,记为,a,b,.,O,A,a,b,我们学过功的概念，即一个物体在力,F,的作用下产生位移,s,（,如图）,F,S,力,F,所做的功,W,可用下式计算,W,=|,F,|,S,|cos,其中,是,F,与,S,的夹角,从力所做的功出发，我们引入向量,“数量积”,的概念。,已知两个非零向量,a,与,b,，,它们的,夹角为,，,我们把数量,|,a,|,b,|cos,叫做,a,与,b,的,数量积,（或,内积,），记作,ab,ab,=|,a,|,b,|,cos,定,规定,:,零向量与任一向量的数量积为,0,。,|,a,|,cos,（,|,b,|,cos,）叫做向量,a,在,b,方向上（向量,b,在,a,方向上）的,投影,。,注意：向量的数量积是一个数量。,向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？,思考：,ab,=|,a,|,b,|,cos,当,0,90,时,ab,为正；,当,9,0,180,时,ab,为负。,当,=90,时,ab,为零。,重要性质:,设,是非零向量，,方向相同的,单位向量，,的,夹角，则,特别地,O,A,B,a,b,B,1,解：,ab,=|a|,b|cos,=54cos120,=54,（,-1/2,）,=,10,例,2,已知,|a|=5,，,|b|=4,，,a,与,b,的夹角,=120,，求,a,b,。,例,3,已知,a=(1,1),b=(2,0),求,ab,。,解：,|a|=2,|b|=2,=45,ab=|a|,b|cos,=22cos45,=,2,ab的几何意义：,O,A,B,|,b|cos,a,b,B,1,等于,的,长度,与,的,乘积。,O,投影,O,O,练习：,1,若,a,=,0,，,则对任一向量,b,，有,a,b,=,0,2,若,a,0,，,则对任一非零向量,b,有,a,b,0,3若,a,0，,a,b,=,0,，则,b,=,0,4,若,a,b,=,0,，则,a,b,中至少有一个为,0,5,若,a,0,，,a,b,=,b,c,，则,a,=,c,6,若,a,b,=,a,c,则,b,c,当且仅当,a,=,0,时成立,7,对任意向量,a,有,二、,平面向量的数量积的运算律,：,数量积的运算律：,其中，,是,任意三个向量，,注：,则,(,a+b,),c,=,ON,|,c,|,=(,OM,+,MN,)|,c,|,=OM|,c,|+MN|,c,|,=,ac+bc,.,O,N,M,a+b,b,a,c,向量,a,、,b,、,a,+,b,在,c,上的射影的数量分别是,OM,、,MN,、,ON,证明运算律,(3),例,3,：求证：,（1）(,a,b,),2,a,2,2,a,b,b,2,；,（2）(,a,b,),(,a,b,),a,2,b,2,.,证明：,（,1,）,(,a,b,),2,(,a,b,),(,a,b,),(,a,b,),a,(,a,b,),b,a,a,b,a,a,b,b,b,a,2,2,a,b,b,2,.,例,3,：求证：,（1）(,a,b,),2,a,2,2,a,b,b,2,；,（2）(,a,b,),(,a,b,),a,2,b,2,.,证明：,（,2,）,(,a,b,),(,a,b,),(,a,b,),a,(,a,b,),b,a,a,b,a,a,b,b,b,a,2,b,2,.,P116,例,4,例,4,小结：,1.,2.,可用来求向量的模,3.,投影,作业：,4,、,已知,a,、,b,都是非零向量,，,且,a+3 b,与,7 a 5 b,垂直,，,a 4 b,与,7 a 2 b,垂直,，,求,a,与,b,的夹角,。,解：,（,a+,3,b,）,（,7,a,5,b,）,（,a,4,b,）,（,7,a,2,b,）,（,a+,3,b,）,（,7,a,5,b,）,=,0,且,（,a,4,b,）,（,7,a,2,b,）,=0,即,7,a,a+,16,a b,15,b b,=0,7,a a-,30,a b+,8,b b,=0,两式相减得：,2,a b=,b,2,，,代入其中任一式中得,:,a,2,=,b,2,cos,=,