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第,8,章,整式乘法与因式分解,8.4,因式分解,第,1,课时,学习目标,1.,理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区,别和联系,.,（重点）,2.,理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式,法分解因式,.,（难点）,问题引入,如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？,a,b,c,m,方法一：,m,(,a,+,b,+,c,),方法二：,ma,+,mb,+,mc,m,(,a,+,b,+,c,)=,ma,+,mb,+,mc,整式乘法,?,1.,运用整式乘法法则或公式填空：,(1),m,(,a+b+c,)=,；,(2)(,x,+1)(,x,-1)=,；,(3)(,a+b,),2,=,.,ma+mb+mc,x,2,-1,a,2,+2,ab,+,b,2,因式分解,一,2.,根据等式的性质填空：,(1),ma+mb+mc,=()(),(2),x,2,-1=()(),(3),a,2,+2,ab,+,b,2,=(),2,m a+b+c,x+,1,x-,1,a+b,都是多项式化为几个整式的积的形式,比一比，这些式子有什么共同点？,定义：,把,一个,多项式化为,几个,整式,的,乘积,的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式,因式分解,，也叫做把这个多项式,分解因式,.,概念学习,x,2,-1 (,x,+1)(,x,-1),因式分解,整式乘法,x,2,-1=(,x,+1)(,x,-1),等式的特征：左边是,多项式,，右边是,几个整式的乘积,想一想：,整式乘法与因式分解有什么关系？,是互为相反的变形，,即,典例精析,例,1,下列从左到右的变形中是因式分解的有,(,),x,2,y,2,1,(,x,y,)(,x,y,),1,；,x,3,x,x,(,x,2,1),；,(,x,y,),2,x,2,2,xy,y,2,；,x,2,9,y,2,(,x,3,y,)(,x,3,y,),A1个 B2个 C3个 D4个,B,方法总结：,因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式,在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有,，不是的，请说明为什么？,辨一辨：,am+bm+c,=,m,(,a+b,)+,c,24,x,2,y,=3,x,8,xy,x,2,-1=(,x,+1)(,x,-1),(2,x,+1),2,=4,x,2,+4,x,+1,x,2,+,x,=,x,2,(1+),2,x,+4,y,+6,z,=2(,x,+2,y,+3,z,),最后不是积的运算,因式分解的对象是多项式，,是整式乘法,每个因式必须是整式,pa+,p,b+,p,c,用提公因式法分解因式,二,多项式中,各项,都含有的,相同因式,，叫作这个多项式的,公因式,.,相同因式,p,问题,1,观察下列多项式，它们有什么共同特点？,x,2,x,相同因式,x,一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做,提公因式法,.,(,a+b+c,),pa+,p,b+,p,c,p,=,找,3,x,2,6,xy,的公因式,.,系数：最大公约数,3,字母：相同的字母,x,所以公因式是,3,x,指数：相同字母的最低次数,1,问题,2,如何确定一个多项式的公因式？,正确找出多项式的公因式的步骤,：,3.,定指数,：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数,.,1.,定系数,：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数,.,2.,定,字母,：字母取多项式各项中都含有的相同的字母,.,找一找,:,下列各多项式的,公因式,是什么？,3,a,a,2,2(,m+n,),3,mn,-2,xy,(1)3,x,+6,y,(2),ab,-2,ac,(3),a,2,-,a,3,(4)4(,m+n,),2,+2(,m+n,),(5)9,m,2,n,-6,mn,(6)-6,x,2,y,-8,xy,2,典例精析,(1)8,a,3,b,2,+12,ab,3,c,；,例,2,把下列各式分解因式,分析：,提公因式法步骤（,分两步,）,第一步,:,找出公因式；,第二步,:,提取公因式,，即将多项式化为两个因式的乘积,.,(2)2,a,(,b,+,c,)-3(,b,+,c,).,公因式,既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式,.,整体思想,是数学中一种重要而且常用的思想方法,.,解：,（,1,）,8,a,3,b,2,+12ab,3,c,=4,ab,2,2,a,2,+4,ab,2,3,bc,=4,ab,2,(2,a,2,+3,bc,),；,如果提出公因式,4,ab,另一个因式是否还有公式？,另一个因式将是,2,a,2,b,+3,b,2,c,它还有公因式是,b,.,（,2,）,2,a,(,b,+,c,)-3(,b,+,c,),=(,b,+,c,)(2,a,-3).,如何检查因式分解是否正确？,做整式乘法运算,.,因式分解：,(1)3,a,3,c,2,12,ab,3,c,；,(2)2,a,(,b,c,),3(,b,c,),；,(3)(,a,b,)(,a,b,),a,b,.,针对训练,(3),原式,(,a,b,)(,a,b,1),解：,(1),原式,3,ac,(,a,2,c,4,b,3,),；,(2),原式,(2,a,3)(,b,c,),；,把,12,x,2,y,+18,xy,2,分解因式,.,解：原式,=3,xy,(4,x,+6,y,).,错误,公因式没有提尽，还可以提出公因式,2,注意：,公因式要,提尽,.,正解：原式,=6,xy,(2,x,+3,y,).,小明,的,解法,有误吗？,当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是,1.,错误,注意：,某项提出莫漏,1,.,解：原式,=,x,(3,x,-6,y,).,把,3,x,2,-6,xy,+,x,分解因式,.,正确解：原式,=3,xx,-6,yx,+1,x,=,x,(3,x,-6,y,+1),小亮的,解法,有误吗？,提出负号时括号里的项没变号,错误,把,-,x,2,+,xy,-,xz,分解因式,.,解：原式,=,-,x,(,x,+,y,-,z,).,注意：,首项有负常,提负,.,正确解：原式,=-(,x,2,-,xy,+,xz,),=-,x,(,x,-,y,+,z,),小华,的,解法,有误吗？,例,3,计算：,(1)3937,1391,；,(2)2920.16,7220.16,1320.16,20.1614.,(2),原式,20.16(29,72,13,14),2 016.,1320,260,；,解：,(1),原式,31337,1391,13(337,91),方法总结：,在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便,例,4,已知,a,b,7,，,ab,4,，求,a,2,b,ab,2,的值,原式,ab,(,a,b,),47,28.,解：,a,b,7,，,ab,4,，,方法总结：,含,a,b,，,ab,的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用,a,b,和,ab,表示的式子，然后将,a,b,，,ab,的值整体带入即可,.,1.,多项式15,m,3,n,2,+5,m,2,n,-20,m,2,n,3,的公因式是（）,A5,mn,B5,m,2,n,2,C5,m,2,n,D 5,mn,2,2.,把多项式（,x,+2,）（,x,-2,）,+,（,x,-2,）提取公因式（,x,-2,）后，余下的部分是（）,A,x,+1 B,2,x,C,x,+2 D,x,+3,3.,下列多项式的分解因式，正确的是（）,A12,xyz,-9,x,2,y,2,=3,xyz,（4-3,xyz,）,B3,a,2,y,-3,ay,+6,y,=3,y,（,a,2,-,a,+2）,C-,x,2,+,xy,-,xz,=-,x,（,x,2,+,y,-,z,）,D,a,2,b,+5,ab,-,b,=,b,（,a,2,+5,a,）,B,当堂练习,C,D,4.,把下列各式分解因式：,(1)8,m,2,n,+2,mn=_,；,(2)12,xyz,-9,x,2,y,2,=_,；,(3),p,(,a,2,+,b,2,)-,q,(,a,2,+,b,2,),=_,；,(4)-,x,3,y,3,-,x,2,y,2,-,xy=_,；,2,mn,(4,m,+1),3,xy,(4,z,-3,xy,),(,a,2,+,b,2,)(,p,-,q,),-,xy,(,x,2,y,2,+,xy,+1),(5),(,x,-,y,),2,+,y,(,y,-,x,),=_,.,(,y,-,x,)(2,y,-,x,),5.,若,9,a,2,(,x,y,),2,3,a,(,y,x,),3,M,(3,a,x,y,),，则,M,等于,_.,3,a,(,x,y,),2,6.,简便计算：,(1),1.99,2,+1.990.01,;,(2),2 013,2,+2 013-2 014,2,;,(3)(,-2,),101,+,(,-2,),100,.,(2),原式,=,2 013,(,2 013+1,),-2 014,2,=2 0132 014-2 014,2,=2 014,(,2 013-2 014,),=-2 014,解：,(1),原式,=,1.99,(,1.99+0.01,),=3.98；,(3),原式,=,(,-2,),100,(,-2+1,),=2,100,(,-1,),=-2,100,.,解：,(1)2,x,2,y,+,xy,2,=,xy,(2,x,+,y,)=3 4=12.,(2),原式,=,(,2,x,+1,)(,2,x,+1,)-(,2,x,-1,),=,(2,x,+1)(2,x,+1-2,x,+1)=2(2,x,+1).,7.(1),已知,:2,x,+,y,=4,xy,=3,求代数式,2,x,2,y,+,xy,2,的值,.,(2)化简求值：,(,2,x,+1,),2,-,(,2,x,+1,)(,2,x,-1,),，其中,x,=.,将,x=,代入上式，得,原式,=4.,课堂小结,因式,分解,定义,am+bm+mc=m,(,a+b+c,),方法,提公因式法,公式法,确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数,分两步：,第一步找公因式；,第二步提公因式,（下节课学习）,注意,1.,分解因式是一种恒等变形；,2.,公因式：要提尽；,3.,不要漏项；,4.,提负号，要注意变号,
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