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,7.5,三角形,的内角和定理,/,7.5,三角形,的内角和定理,/,7.5,三角形,的内角和定理,/,7.5,三角形的,内角和定理,/,7.5 三角形的内角和定理,第1课时,北师,大,版,数学,八年级 上册,我的形状最小，那我的内角和最小,.,我的形状最大，那我的内角和最大,.,不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的,.,一天,，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧,.,情境引入,导入新知,1.,会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和,等于,180,2.,会运用三角形内角和定理进行,计算,.,素养目标,我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于,180,.,与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的,.,思考 除了度量以外，你还有什么方法可以验证三角形的内角和为180呢?,折叠,还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？,探究新知,知识点,1,三角形的内角和定理,剪拼,A,B,C,2,1,小组合作，讨论剪拼方法.各小组代表演式剪拼过程,探究新知,三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角,.,观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明,.,从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？,还有其他的拼接方法吗？,三角形的内角和定理的证明,在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起,.,探究新知,验证结论,三角形三个内角的和等于,180,.,求证：,A,+,B,+,C,=180.,：ABC.,证法,1,：,过点,A,作,lBC,，,B,=1.,(,两直线平行,内错角相等,),C,=2.,(,两直线平行,内错角相等,),2+1+,BAC,=180,，,B,+,C,+,BAC,=180,.,1,2,探究新知,证,法,2,：,延长,BC,到,D,，,过点,C,作,CEBA,，,A,=1,.,(,两直线平行，内错角相等,),B,=2,.,(,两直线平行，同位角相等,),又,1+2+,ACB,=180,，,A,+,B,+,ACB,=180.,C,B,A,E,D,1,2,探究新知,C,B,A,E,D,F,证法,3,：,过,D,作,DE,AC,作,DF,AB,.,C,=,EDB,B,=,FDC.,(,两直线平行，同位角相等,),A,+,AED,=180,AED,+,EDF,=180,，,(,两直线平行，同旁内角相补,),A=,EDF.,EDB,+,EDF,+,FDC,=180,，,A,+,B,+,C,=180.,想一想,同学们,还有其他的方法吗？,探究新知,思考,多种,方法证明三角形内角和等于,180,的核心是什么？,借助平行线的“移角的功能，将三个角转化成一个平角.,C,A,B,1,2,3,4,5,l,A,C,B,1,2,3,4,5,l,P,6,m,A,B,C,D,E,探究新知,C,2,4,A,B,3,E,Q,D,F,P,G,H,1,B,G,C,2,4,A,3,E,D,F,H,1,试一试,同学们,按照上图中的辅助线，给出证明步骤？,探究新知,知识要点,在,这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线,.,在平面几何里，辅助线通常画成虚线,.,思路总结,为了,证明三个角的和为,180,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法,.,作辅助线,探究新知,如下图，在ABC中，B=38，C=62，AD是ABC的角平分线，求ADB的度数.,A,B,C,D,探究新知,三角形内角,和的,应用,知识点,2,例,A,B,C,D,解：在ABC中，B+C+BAC=180三角形内角和定理.,B=38，C=62，,BAC=180-38-62=80等式的性质.,AD平分BAC,BAD=CAD,=,BAC,=,在 ADB中,B+BAD+ADB=180三角形内角和定理.,B=38,BAD=40已证,ADB=180-38-40=102等式的性质.,80=40 角平分线的定义,探究新知,如,图，在,ABC,中，,BAC,=40,B,=75,AD,是,ABC,的角平分线，求,ADB,的度数,.,A,B,C,D,解：,由,BAC,=40,AD,是,ABC,的角平分线，得,BAD,=,BAC,=20.,在,ABD,中,，,ADB,=180-,B,-,BAD,=180-75-20,=85.,巩固练习,例1 如图，ABC中，D在BC的延长线上，过D作DEAB于E，交AC于F.A30，FCD80，求D.,解：,DE,AB,，,FEA,90,在,AEF,中,，,FEA,90,，,A,30,，,AFE,180,FEA,A,60.,又,CFD,AFE,，,CFD,60.,在,CDF,中,，,CFD,60,，,FCD,80,，,D,180,CFD,FCD,40.,探究新知,素养考点,1,利用三角形的内角和定理求角的度数,直线l1l2，把一块含45角的直角三角尺如图放置，185，那么2_,40,变式训练,巩固练习,例,2,在,ABC,中，,A,的度数是,B,的度数的,3,倍，,C,比,B,大,15,，求,A,，,B,，,C,的度数,.,解:设B为x，那么A为(3x)，C为(x 15)，从而有,3,x,x,(,x,15),180.,解得,x,33.,所以,3,x,99,，,x,15,48.,答：,A,，,B,，,C,的度数分别为,99,，,33,，,48,.,几何问题借助方程来解,.,这是一个重要的数学思想,.,探究新知,素养考点,2,方程的思想与三角形内角和相结合的题目,在ABC中，A:B:C=1:2:3，那么ABC是,_三角形；,在ABC中，A=35，B=43，那么C=；,在ABC中，A=B+10,C=A+10,那么A=，B=，C=.,102,直角,60,50,70,巩固练习,完成以下各题：,变式训练,北,.,A,D,北,.,C,B,.,东,E,例,3,如图，,C,岛在,A,岛的北偏东,50,方向，,B,岛在,A,岛的北偏东,80,方向，,C,岛在,B,岛的北偏西,40,方向,.,从,B,岛看,A,C,两岛的视角,ABC,是多少度？从,C,岛看,A,、,B,两岛的视角,ACB,是多少度？,探究新知,素养考点,3,利用三角形的内角和定理解决实际,问题,解：,CAB,=,BAD,-,CAD,=80-50=30.,由,AD,/,BE,得,BAD,+,ABE,=180.,所以,ABE,=180-,BAD,=180-80=100,ABC,=,ABE,-,EBC,=100-40=60.,在,ABC,中,，,ACB,=180-,ABC,-,CAB,=180-60-30,=90,答：,从,B,岛看,A,C,两岛的视角,ABC,是,60,从,C,岛看,A,B,两岛的视角,ACB,是,90.,北,.,A,D,北,.,C,B,.,东,E,探究新知,如图，一艘渔船在,B,处测得灯塔,A,在北偏东,60,的方向，另一艘货轮在,C,处测得灯塔,A,在北偏东,40,的方向，那么在灯塔,A,处观看,B,和,C,处时的视角,BAC,是多少度？,变式训练,巩固练习,解：,因为在,B,处测得灯塔,A,在北偏东,60,的,方向,所以,ABD,60.,又因为,DBE,90,，,所以,ABE,90,ABD,90,60,30.,因为在,C,处测得灯塔,A,在北偏东,40,的方向，,所以,ACE,90,40,50.,所以,BAC,ACE,ABE,50,30,20.,即在灯塔,A,处观看,B,和,C,处时的视角,BAC,是,20.,巩固练习,1.在ABC中，假设一个内角等于另外两个内角的差，那么,A必有一个内角等于30B必有一个内角等于45,C必有一个内角等于60D必有一个内角等于90,D,2.三角形的内角和等于,A90B180C270D360,B,连接中考,1.求出以下各图中的x值,x,=70,x,=60,x,=30,x,=50,基础巩固题,课堂检测,3.如图，那么1+2+3+4=_.,B,A,C,D,4,1,3,2,E,40,（,280,课堂检测,2.在ABC中，假设A=30，B=50，那么C=,基础巩固题,100,如,图，四边形,ABCD,中，点,E,在,BC,上,A,+,ADE,=,180,，,B,=,78,，,C,=,60,，求,EDC,的度数,解：A+ADE=180，,ABDE.,CED=B=78.,又C=60,EDC=180-CED+C,=180-78+60,=42,能力提升题,课堂检测,如图，在ABC中，BP平分ABC，CP平分ACB，假设BAC=60，求BPC的度数,解：ABC中，A=60,ABC+ACB=120.,BP平分ABC，CP平分ACB，,PBC+PCB=ABC+ACB=60.,PBC+PCB+BPC=180,BPC=180-60=120.,拓广探索题,课堂检测,通过本课时的学习，需要我们掌握：,求角度,证法,应用,转化为一个平角,或同旁内角互补,辅助线,三角形的,内角和等,于,180,作平行线,转化思想,课堂小结,课后作业,作业,内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,在同一平面内，两点之间,线段最短,从,行政楼,A,点走到教学楼,B,点怎样走最近？,教学楼,行政楼,B,A,你,能说出这样走的理由吗,？,导入,新知,1.,灵活,会用勾股定理求解立体图形上两点之间的,最短距离问题,.,2.,运用,勾股定理及其逆定理,解决简单的实际,问题,.,3.,培养学生的空间想象力，并增强数学知识的应用意识,.,素养目标,以,小组为单位,研究蚂蚁在圆柱体的,A,点沿侧面,爬行到,B,点的问题,.,讨论 1.蚂蚁怎样沿圆柱体侧面从A点爬行到B点？,2.有最短路径吗？假设有，哪条最短？你是怎样找到的？,B,A,我要从,A,点沿侧面爬行到,B,点，怎么爬呢？大家快帮我想想呀！,探究新知,知识点,1,利用,勾股定理解答最短路径问题,B,A,d,A,B,A,A,B,B,A,O,想一想,蚂蚁走哪一条路线最近？,A,蚂蚁,A,B,的路线,探究新知,假设圆柱体高为12 cm，底面周长为18 cm，那么:,B,A,r,O,12,侧面展开图,12,18,2,A,B,小结,：,立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形,展开成平面图形,，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线,.,A,A,AB,2,=,12,2,+(,18,2,),2,所以,AB,=,15,.,探究新知,例1 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米?(油罐的底面半径是2m，高AB是5m，取3,A,B,A,B,A,B,解：油罐的展开图如图，那么AB为梯子的最短距离.,因为AA=232=12,AB=5m,所以AB=13m.即梯子最短需13米.,素养考点,1,利用勾股定理解决圆柱体的最短路线问题,探究新知,数学思想：,立体图形,平面图形,转化,展开,探究新知,如图所示,一个圆柱体高,20cm,底面半径为,5cm,在圆柱体下底面的,A,点处有一只蜘蛛,它想吃到上底面与,A,点相对的,B,点处的一只已被粘住的苍蝇,这只蜘蛛从,A,点出发,沿着圆柱体的侧面爬到,B,点,最短路程是多少?(,取,3,),3,勾股定理的应用,变式训练,巩固练习,3,勾股定理的应用,巩固练习,B,牛奶盒,A,例,2,学习了最短问题，,小明灵机一动，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点,A,处，并在点,B,处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短,路程吗？,6cm,8cm,10cm,素养考点,2,利用勾股定理解决长方体的最短路线问题,探究新知,长,方,体,爬,行,路,径,A,B,F,E,H,G,A,B,C,D,E,F,G,H,前后,上下,A,B,C,D,E,F,G,H,B,C,G,F,E,H,A,B,C,D,E,F,G,H,右左,上下,前后,右左,B,C,A,E,F,G,分析,探究新知,B,B,1,8,A,B,2,6,10,B,3,AB12=102+6+82=296,AB22=82+10+62=320,AB32=62
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