中学数学歌诀集

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,中学数学歌诀集,之教学应用,1,汇,报,演,示,2,中学数学歌诀集,六,大,特,点,3,1,、,依据,中学数学教学大纲,及课程标准，紧扣教材，结合学生实际，将初、高中现行教材中的重难点内容、概念、方法、定理、公式、以及解法技巧等,编集为歌诀。内容丰富、题材新颖、顺口易记、通俗易懂。为加强记忆、巩固知识有着非常良好的帮助,；,2,、通过,歌诀,形式充分调动和 激发学生学习数学的兴趣。不拘形式，可以利用任何课余时间、饭前饭后、排队、行进等场合顺便记忆，应用时迅速准确地将相关知识联系来开拓思维，理清思路，确定出方法，得出结果。,4,5,3,、在目前的数学辅导教材中采用,歌诀,这种独特形式的,题材是没有的，不可多得的；,4,、将,神奇算法,通过,歌诀,的形式传授于学生，使学生感到神秘，体会到神奇，激发学生勇于探索奥秘,，寻求规律的兴趣。有效地提高运算速度和解题技巧；,6,7,5,、,古题今解,将数学知识与文言文有机的结合起来，进一步培养了学生的分析问题和解决问题的能力，同时感受到中华民族的高超智慧和算法遗产。并用现代的数学思想和方法，解答古典题型。使学生好奇、好问、想学，爱学；,8,6,、通过在学习数学知识的过程中，无形地培养了学生的语言表达力,，文字组织能力，逻辑推断能力，文理结合能力以及社会实践能力。,9,第一部分,初一至高三数学,概念,方法技巧,例,1,b+c-d,第,1,节 去（添）括号法则,歌诀：,去添括号要分辩，,前边符号是关键。,“,正”号里边不变号,；,“负”号里边项项变。,（,1,）,a,（,b,c,d,）,=a+,（,2,）,a,（,b,c,d,）,=a,b,c,d,10,解：原式,=,-(a+2a-1),例,2,+2(2a,+a-1),+(a,+a+1)-2,=,-(,a+2a-1,),+4a,+2a-2,+a,+a+1,-2,-a-2a+1,=,+4a,+2a-2+a+a+1-2,4a,+a-2,.,化简：,=,11,12,歌诀：,合并同类项，,法则不能忘，,只求系数代数和，,字母指数不变样。,同类项：在一个多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数,也相同的项叫作同类项。,第,2,节 合并同类项,法则,例,1,化简下列各式,13,3x-5y-6x-7y+9x-2y,=6x-14y.,（,2,）原式,=,解,：,（,1,）,原式,=,(2),.,（1）（3x-5y)-(6x+7y)+(9x-2y),;,+,(-5y-7y-2y),(3x-6x+9x),=,.,=,+,（,2a+3a),解：,原式,=,=,-3x+,=6,通过上面的例子我们可以看出：合并同项就是求同类项系数的代数和,.,例,2,其中,求,值,.,14,=,+,第,3,节 有理数乘积（不为零）符号的确定,歌诀：,15,有理数，要相乘，,符号当家起作用。,同号积正异为负，,一数为零积为零。,两个以上若连乘，,几正几负要分清。,符号全正积为正，,符号全负分情形：,负号个数若为偶，,积的符号仍为正；,负号个数若为奇，,积的符号必为负；,有正有负数负号，,奇为负来偶为正。,上述方法可推广，,实数连乘也适用。,例,2,例,1,（,3,）,-153=-45.,计算下列各题,（,1,）,153;,（,2,）（,-15,）,（,-3,）,;,（,3,）,-153.,（,2,）（,-15,）,（,-3,）,=45;,计算下列各题,（,1,）,34108,（,2,）（,-3,）,（,-4,）,（,-10,）,（,-8,）,解：,（,1,）,34108=96,（,2,）（,-3,）,（,-4,）,（,-10,）,（,-8,）,=96.,解：,（,1,）,153=45,;,16,第,4,节 一元一次方程的解法,去括号、,歌诀：,一元一次方程要求根，,五个步骤记在心。,括号分母先去掉，,移项谨记变符号。,同类项，合并了，,ax=b,便得到。,两边除,a,值算准,，,17,注：五个步骤：,去分母、,移项、,合并同类项、,a,分之,b,就是根。,等号的两边同除以未知数的系数得,x=.,例 解方程,解：去分母：,3,（,3x+1,）,-2,（,2x-2,）,=6,（,x-1,）,去括号：,9x+3-4x+4=6x-6,移项：,9x-4x-6x=-6-3-4,合并同类项：,-x=13,两边同除以,-1,：,x=-13.,18,第,5,节 二元一次方程组的解法,19,歌诀,:,二元一次方程组，,“消元”思想突破口。,解题方法有两种，,代入、加减依题定。,若用代入看两元，,系数简单就代换。,消去其中一个元，,化为一次求答案；,系数相同或相反，,选定方法加或减；,同理消去一个元，,方法简单解显然。,几何意义更直观，,两条直线相交点。,二元一次方程组解法的基本思路：消元；方法,:,二元化一元,.,例,1,解二元一次方程组,解：（用代消元入法）,把代入,得,X=-,把代入得,这个方程组的解为,20,由得,y=x+3,例,2,解二元一次方程组,2,得,6x+8y=40,-,得,3y=15,即,y=5,把代入 得,x=0,这个方程组的解为,21,解：（用加减消元法）,答：有,3,个老头；,4,个梨,.,22,解得,例,3,应用题,：,依题意，得,解：设有,x,个老头，,y,个梨,.,几个老头去赶集，,半路买了一堆梨。,一人一个多一个；,一人两个少两梨；,请君认真算一算，,几个老头几个梨？,第,6,节 因式分解一般方法,歌诀,：,乘法公式常联系。,23,因式分解细审题，,相同因式先提取。,观察特征要详细，,分解二次三项式，,十字相乘心上记。,十字相乘难确定，,求根公式即采用。,四项以上分成组，,根据特征巧应用。,因式分解：,把一个多项式化成几个整式之积的形式，,叫作把这个多项式因式分解,.,因式分解与整式乘法是互逆过程,.,常用的乘法公式有：,24,25,=,=,分解因式,例,1,将,例,2,分解因式,将,解,：,原式,=,解：原式,=,x,2,3,-,-,例,4,将,分解因式,26,x,分解因式,.,例,3,把多项式,=,解：原式,=,（如右图）,=,解,：,原式,=,一元二次方程的解法,歌诀：,一元二次方程，,基本解法四种：,“二次”“常数”两项，,采用直接开方；,三项不能直开，,即可采用配方；,左边倘能分解，,“降次”就是妙方。,分解难以确定，,求根公式即用。,具体采用何方？,依据特征确定。,四种解法：,公式法,.,配方法；,直接开平方法；,因式分解法；,形如,叫做一元二次方程,.,的方程,27,28,例 解下列一元二次方程,解（,1,）,(,用直接开平方法,),即,（,3,）,（,1,）,（,2,）,（,4,）,.,（用配方法）,即,x+4=,（,2,）,29,（因式分解法）,（,x+3,）（,x-2,）,=0,解得,（,公式法,),a=1 b=2 c=-4.,30,（,4,）,（,3,）,31,歌诀,韦达定理要牢记，,韦达定理,根与系数有关系。,a,分之,b,相反数，,两根之和信无疑。,要求方程两根积，,a,分之,b,就是的。,韦达定理,:,就是一元二次方程根与系的关系,.,（,a0,）的两根分别,为,设一元二次方程,则,第,8,节 一次不等式组取解,方法：设实数,b,a,，分下面四种情形：,（,2,）,（,1,）,歌诀：,a,b,a,b,a,b,32,异向取中间，,同向小取小；,（,4,）,a,b,同向大取大；,谨记要交叉；,如果不交叉，,无解满足它。,可将图像画，,数轴去观察。,（,3,）,xa,x,b,b,x3,.,变式,1,解不等式组,解得,这个不等式组的解集为,x2.,变式,2,解不等式组,解得,33,这个不等式组的解集为,2x0,图像开口上,35,原不等式的解集为,R.,为奇不等式，,0,型,=,b-,4,ac,=(-1),-,4,13,例,1,：解不等式,0,；,0,恒成立,.,没有交点,.,的图像与轴,函,f(x)=,图像与,x,轴有一个公共点,a=10,图像开口向上,.,又,原不等式的解为,x|x4,例,2,解不等式,0,；,解：,=,当,x=4,时,，,y,=0.,x,y,o,36,X=4,如右图：,当,x4,时，,y0,.,设,y=x-8x+16,即,x,x4 ,解,：,解得,又,x3.,故原不等式的解集为,xx3.,37,例,3,解不等式,=,方程有二不等实根,.,令,第,10,节 一元,n,次不等式的解法,分成的区间反轴向。,歌诀,：,标准式：（,x+a,）（,x+b,）,（,x+k,）,0,或,0,型为奇不式，,f(x)0.,令（,x-2,）（,x+3,）（,x-5,）,=0,解得,原不等式是奇不等式,.,-3,2,5,三,二,四,原不等式的解集在奇区间,.,故原不等式的解集为,x,-3x5,39,解：,一,x,第,11,节 绝对值不等式的解法,40,绝对值，不等式，,存在奇偶两形式。,歌诀,:,要取解，抓关键，,首先来把,a,值辩。,倘若,a,值小于零，,实数奇式都能行；,偶式无解要记清，,绝对值永不小于零；,倘若,a,值等于零，,奇式除零都能行。,偶式仍是没有解，,道理与上全相同。,倘若,a,值大于零，,正负,a,点数轴定。,取解奇偶要分清,，,奇在两边偶在中。,例,1,解下列不等式,41,a0,，无解,.,解：,原不等式的解集为,R.,（,2,）,-3,;,（,1,）,a,（,a0,）,知：,（,1,）由,任何数的绝对值恒大于负数,.,原不等式的解集为空集,.,（,2,）,由,|x|a(a0,）,得,-3,3,x,如右图：,a,（,a0,）,得,由,43,二次函数要作图，,先求顶点对称轴。,X,为零算,y,值，,就在,y,轴把点求。,再找这点对称点，,不偏不倚放两边。,令,y,为零解方程，,一定要分清。,0,，,这个方程解不成。,图和横轴没交点，,这个道理很明显。,=0,，,方程两根必相重。,图像顶点切横轴，,三点描绘定图形,。,0,方程两根不相同。,横轴找出这两点，,五点描图就方便,再找几个特殊点，,作图不必发熬煎。,第,12,节 二次函数的图像与性质,歌诀,作图步骤：,44,对称轴,:,（,1,）求顶点、对称轴；,顶点,:,（,2,）求,y,截距,:,当,x=0,时,y=6,即,c,（,0,6,）,c,（,3,）找这点关于对称轴的对称点,F(5,6).,F,(4),令,y=0,解方程，得,（,5,）画图；,单调性,.,为例,以,如右图：,x,y,o,于是抛物线与,x,轴有两交点,(2,0),(3,0).,（,6,）讨论性质：,开口方向；,最值；,第,13,节 三角函数的定义,歌诀,：,（,1,）锐角三角函数定义,:,RtABC,中,角,A,、,B,、,C,的对边分别是,a,、,b,、,c,sinA,=,cosA=,tanA,=,cotA=,三角函数下定义，,角,放入坐标系。,角,终边取一点，,X,、,y,、,r,很明显。,然后写出四个比，,二弦二切记心里。,45,如图,:,A,B,C,a,b,c,则,我们把,sinA,、,cosA,、,tanA,、,cotA,分别称把角,A,的,把它们统称角,A,的三角函数,.,正切、,余切,.,正弦、,余弦,、,（,2,）任意角的三角函数：,已知一个,，,以,的顶点为原点，,以它的始边为,x,轴的非负半轴，,o,在,的终边上任取一点,p,，其坐标为（,x,，,y).,p(x,y),P,到原点的距离为,r,r,过,P,作,pMx,轴,垂足为,M,，,则,PM=y.oM=x,M,然后写出四个比：,cot=,sin=,cos=,tan=,建立直角,坐标系,.,y,x,y,x,我们把它们统称角,A,的三角函数,.,46,47,始边为,x,轴的非负半轴，,形成任意正角,;,当,的终边绕着原点旋转时，,将角的概念由锐角推广到任意角,.,当,的终边绕着原点逆时针旋转时,（,1,）,（,2,）,当,的终边绕着原点顺时针旋转时,