矩阵的特征值与特征向量讲稿课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,矩阵的特征值与特征向量课件,2024/11/30,2,5.1.1,特征值和特征向量的基本概念,定义,设,A,为数域,F,上的,n,阶矩阵,如果存在数,l,F,和,非零,的,n,维列向量,X,使得,AX,=,l,X,就称,l,是矩阵,A,的,特征值,X,是,A,的属于,(,或对应于,),特征值,l,的,特征向量,.,注意,:,特征向量,X,0;,特征值问题是对方阵而言 的,本章的矩阵如不加说明,都是方阵,.,2024/11/30,3,AX,=,l,X,根据定义,n,阶矩阵,A,的特征值,就是齐次线性方程组,(,l,I,-,A,),X,=0,有非零解的,l,值,.,即满足方程,det(,l,I,-,A,)=0,即,的,l,都是矩阵,A,的特征值,.,因此,特征值是,l,的多项式,det(,l,I,-,A,),的根,.,2024/11/30,4,AX,=,l,X,det(,l,I,-,A,)=0(5.2),定义,设,n,阶矩阵,A,=(,a,ij,),则,称为矩阵,A,的,特征多项式,l,I,-,A,称为,A,的,特征矩阵,(5.2),式称为,A,的,特征方程,.,2024/11/30,5,显然,n,阶矩阵,A,的特征多项式是,l,的,n,次多项式,.,特征多项式的,k,重根也称为,k,重特征值,.,当,n,5,时,特征多项式没有一般的求根公式,即使是三阶矩阵的特征多项式,一般也难以求根,所以求矩阵的特征值一般是三阶行列式求特征值,一般用,0,1,-,1,2,-,2,进行尝试先得到一个根,则剩下的两个根可用解一元二次方程的办法解,.,2024/11/30,6,例,解,验证：是否为,A,的特征向量,2024/11/30,7,注1,注2,注,3,如果 是,A,对应于特征值,的特征向量，则 也是,A,对应于特征值,的特征向量,。,2024/11/30,8,注,5,矩阵,A,的任一特征向量所对应的特征值是唯一的,注,4,如果 是,A,对应于特征值,的线性无关特征向量，则 也是,A,对应于特征值,的特征向量。,2024/11/30,9,例 求下列矩阵的特征值和特征向量,解,A,的特征多项式为,A,的特征值为,即,对应的特征向量可取为,2024/11/30,10,对应的特征向量可取为,A,属于 的全部特征向量：,A,属于 的全部特征向量：,2024/11/30,11,例,求矩阵,的特征值和特征向量,.,解,矩阵,A,的特征多项式,为,A,的特征值为,l,1,=2,l,2,，,3,=1(,二重特征值,).,2024/11/30,12,当,l,1,=2,时,由,(,l,1,I,-,A,),X,=0,即,得其基础解系为,X,1,=(0,0,1),T,因此,k,1,X,1,(,k,1,0,为常数,),是,A,的对应于,l,1,=2,的特征向量,.,2024/11/30,13,当,l,2,=1,时,由,(,l,2,I,-,A,),X,=0,即,得其基础解系为,X,2,=(1,2,-,1),T,因此,k,2,X,2,(,k,2,0,为常数,),是,A,的对应于,l,2,=1,的特征向量,.,2024/11/30,14,例 求矩阵的特征值和特征向量,解,A,的特征多项式为,A,的特征值为,2024/11/30,15,得基础解系,得基础解系,2024/11/30,16,例,主对角元为,a,11,a,22,.,a,nn,的对角阵,A,或上,(,下,),三角阵,B,的特征多项式是,|,l,I,-,A,|=|,l,I,-,B,|=(,l,-,a,11,)(,l,-,a,22,).(,l,-,a,nn,),故,A,B,的,n,个特征值就是,n,个主对角元,.,2024/11/30,17,2,、,n,阶矩阵,A,=(,a,ij,),的,n,个特征值为,l,1,l,2,.,l,n,.,则,5.1.2,特征值和特征向量的性质,1,、,设,n,阶矩阵,A,可逆的充要条件是它的每一个特,征值均不为,0.,2024/11/30,18,矩阵的特征值和特征向量还有以下性质,:,3,、若,l,是矩阵,A,的特征值,X,是,A,属于,l,的特征向量,则,(i),k,l,+,a,是,kA+aI,的特征值,(,k,a,是任意常数,),(ii),l,m,是,A,m,的特征值,(,m,是正整数,);(iii),当,A,可逆时,l,-,1,是,A,-,1,的特征值,;(i,v,),当,A,可逆时,detA/,l,是,A,*,的特征值,.,且,X,仍是矩阵,kA+aI,A,m,A,-,1,A,*,的分别对应于特征值,k,l+a,l,m,1/,l,detA/,l,的特征向量,.,2024/11/30,19,证,已知,AX,=,l,X,(i),k,l,是,kA,的特征值,(,k,是任意常数,),这是因为,(,kA,),X,=,k,(,AX,)=,k,l,X,即,k,l,是,kA,的特征值,X,是,kA,的属于特征值,k,l,的特征向量,.,(ii),A,(,AX,)=,A,(,l,X,)=,l,(,AX,)=,l,(,l,X,),即,A,2,X,=,l,2,X,再继续上述步骤,m,-,2,次,就得,A,m,X,=,l,m,X,.,(iii),当,A,可逆时,l,0,由,AX,=,l,X,可得,A,-,1,(,AX,)=,A,-,1,(,l,X,)=,l,A,-,1,X,因此,A,-,1,X,=,l,-,1,X,故,l,-,1,是,A,-,1,的特征值,且,X,也是,A,-,1,对应于,l,-,1,的特征向量,2024/11/30,20,4,、,矩阵,A,和,A,T,的特征值相同,.,证 因为,(,l,I,-,A,),T,=(,l,I,),T,-,A,T,=,l,I,-,A,T,所以,det(,l,I,-,A,)=det(,l,I,-,A,T,),因此,A,和,A,T,有完全相同的特征值,.,2024/11/30,21,定理,设 阶方阵,A,有互不相同的特征值 ，,(,i,I A,),x,=0,的基础解系为,则 ；,；线性,无关,推论,6,、,设,A,为,n,阶方阵，,若,为,A,的特,征值，则 是,f,(,A,)的特征值,7,、,设,为,A,的,k,重特征值,A,关于,的线性无关的特征,向量的最大个数为,s,，则1,s,k,(,矩阵,A,对应于单特征值的线性无关的特征向量有且只有一个）,