算法合集之由对称性解2-SAT问题

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,由对称性解2-SAT问题,2-SAT:,2-SAT就是2判定性问题，是一种特殊的逻辑判定问题。,2-SAT问题有何特殊性？该如何求解？,我们从一道例题来认识2-SAT问题，并提出对一类2-SAT问题通用的解法。,Poi 0106 Peaceful Commission,和平委员会,某国有n个党派，每个党派在议会中恰有2个代表。,现在要成立和平委员会，该会满足：,每个党派在和平委员会中有且只有一个代表,如果某两个代表不和，那么他们不能都属于委员会,代表的编号从1到2n，编号为2a-1、2a的代表属于第a个党派,输入n党派数，m不友好对数及m对两两不和的代表编号,其中1n8000，0m 20000,求和平委员会是否能创立。,假设能，求一种构成方式。,例：输入：3 2 输出：1,1 3 4,2 4 5,分析：,原题可描述为：,有n个组，第i个组里有两个节点Ai,Ai。需要从每个组中选出一个。而某些点不可以同时选出称之为不相容。任务是保证选出的n个点都能两两相容。,在这里把Ai,Ai 的定义稍稍放宽一些，它们同时表示属于同一个组的两个节点。也就是说，如果我们描述Ai，那么描述这个组的另一个节点就可以用Ai,初步构图,如果A,i,与A,j,不相容，那么如果选择了A,i,，必须选择A,j,；同样，如果选择了A,j,，就必须选择A,i,。,A,i,A,j,A,j,A,i,这样的两条边,对称,我们从一个例子来看：,假设4个组，不和的代表为：1和4，2和3，7和3，那么构图：,1,3,2,4,5,6,7,8,假设：,首先选1,3必须选，2不可选,8必须选，4、7不可选,5、6可以任选一个,矛盾,的情况为：,存在A,i,，使得A,i,既必须被选又不可选。,得到算法1：,枚举每一对尚未确定的Ai,Ai，任选1个，推导出相关的组，假设不矛盾，那么可选择；否那么选另1个，同样推导。假设矛盾，问题必定无解。,1,3,2,4,5,6,7,8,此算法正确性简要说明：,由于A,i,A,i,都是尚未确定的，它们不与之前的组相关联，前面的选择不会影响A,i,A,i,。,算法的时间复杂度在最坏的情况下为O(nm)。,在这个算法中，并没有很好的利用图中边的,对称,性,先看这样一个结构：,更一般的说：,在每个一个环里，任意一个点的选择代表将要选择此环里的每一个点。不妨把环收缩成一个子节点规定这样的环是极大强连通子图。新节点的选择表示选择这个节点所对应的环中的每一个节点。,此图中1和3构成一个,环,，这样1和3要么都被选择，要么都不被选。,2和4同样如此。,图的收缩,1,3,2,4,5,6,7,8,对于原图中的每条边Ai Aj设Ai属于环Si，Aj属于环Sj如果SiSj，那么在新图中连边：,Si Sj,这样构造出一个新的,有向无环图。,此图与原图,等价,。,1,3,2,4,5,6,7,8,S,1,S,1,S,2,S,2,S,3,S,3,图的收缩,通过求强连通分量，可以把图转换成新的有向无环图，在这个根底上，介绍一个新的算法。,新算法中，如果存在一对Ai,Ai属于同一个环，那么判无解，否那么将采用拓扑排序，以自底向上的顺序进行推导，一定能找到可行解。,至于这个算法的得来及正确性，将在下一段文字中进行详细分析。,新算法的提出,深入分析：,回忆构图的过程：,对于两个不相容的点 A,i,A,j,，构图方式为：,A,i,A,j,A,j,A,i,前面提到过，这样的两条边,对称,，也就是说：,如果存在A,i,A,j,，必定存在A,j,A,i,。,1,3,2,4,5,6,7,8,引理：原图具有,对称,传递性,等价于：Ai Ak,Ak Ai,方便起见，之后“代表这样一种传递关系,A,i,A,k,A,j,A,i,A,k,A,j,猜测1：图中的环分别对称,如果存在Ai,Aj，Ai,Aj属于同一个环记作Si，那么Ai,Aj 也必定属于一个环记作Si。,再根据前面的引理，不难推断出每个环分别对称。,A,i,A,j,A,i,A,j,1,3,2,4,5,6,7,8,推广1：新图中，同样具有,对称,传递性。,S,1,S,1,S,2,S,2,S,3,S,3,一个稍稍复杂点的结构,其中红、蓝色局部分别为两组对称的链结构,证明方式与引理相类似,S,1,S,1,S,2,S,2,S,3,S,3,分开来看，更加一般的情况，即以下图：,说明：此图中Si有可能为Si的后代节点,于是可以得到,推广2：对于任意一对S,i,S,i,，S,i,的后代节点与S,i,的前代节点相互,对称,。,继而提出,猜测2：假设问题无解，那么必然存在Ai,Ai，使得Ai,Ai 属于同一个环。,也就是，如果每一对Ai,Ai 都不属于同一个环，问题必定有解。下面给出简略证明：,问题的关键,先提出一个跟算法1相似的步骤：,如果选择Si，那么对于所有Si Sj，Sj都必须被选择。,而Si 必定不可选，这样Si的所有前代节点也必定不可选将这一过程称之为删除。,由推广2可以得到，这样的删除不会导致矛盾。,对称性的利用,每次找到一个未被确定的Si，使得不存在Si Si,选择Si及其后代节点而删除Si及Si的前代节点。,一定可以构造出一组可行解。,因此猜测2成立。,S,1,S,1,S,2,S,2,S,3,S,3,假设选择,S,3,选择,S,3,的后代节点,S,1,删除,S,3,删除,S,3,的前代节点,S,1,S,1,与,S,1,是,对称,的,另外，假设每次盲目的去找一个未被确定的Si，时间复杂度相当高。,以自底向上的顺序进行选择、删除，这样还可以免去“选择Si的后代节点这一步。,用拓扑排序实现自底向上的顺序。,S,1,S,1,S,2,S,2,S,3,S,3,一组可能的拓扑序列,(自底向上,S1 S2 S2 S3 S3 S1,算法2,的流程：,1构图,2求图的极大强连通子图,3把每个子图收缩成单个节点，根据原图关系构造一个有向无环图,4判断是否有解，无解那么输出退出,5对新图进行拓扑排序,6自底向上进行选择、删除,7输出,小结：,整个算法的时间复杂度大概是O(m)，解决此问题可以说是相当有效了。,在整个算法的构造、证明中反复提到了一个词：,对称,。发现、利用了这个图的特殊性质，我们才能够很好的解决问题。,并且，由2-SAT问题模型变换出的类似的题目都可以用上述方法解决。,全文总结：,充分挖掘图的性质，能够更好的解决问题。,不仅仅是对于图论，这种思想可以在很多问题中得到很好的应用。,希望我们能掌握此种解题的思想，在熟练根底算法的同时深入分析、灵活运用、大胆创新，从而解决更多更新的难题。,