第四章 连续体的振动

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 连续体的振动,拉格朗日（,J.L.Lagrange):1762,年建立了离散系统振动的一般理论 ,对连续系统研究最早的是弦线的振动,达朗贝尔（,J.le,R.dAlembert)1746,年用偏微分方程得到弦线振动的波动方程，并求出行波解,伯努利（,D.Bernoulli)1753,年用无穷多个模态叠加的方法得到了弦线振动的驻波解,1759,年,拉格朗日（,J.L.Lagrange,):,从驻波解推得行波解,1811,年傅里叶提出函数的阶数展开理论，给出严格的数学证明,其它连续系统的振动问题也相继得到研究,伯努利（,D.Bernoulli)1744-1751,年研究了梁的横向振动，导出了自由,.,简支和固定端的频率方程和振型函数,奇拉尼（,E.F.F.Chladni):1802,年研究了杆的轴向和扭转振动,本章只讨论理想弹性体的振动,理想弹塑性体满足以下假设条件,各向同性；均质分布；服从虎克定律,4.1,弦的振动,讨论两端受到张力,拉紧的弦，弦上还受到横向干扰力,的作用,第四章 连续体的振动,设弦的密度为,（质量,/,单位体积）,假设小变形，弦力不随挠度变化。,则弦上的任意一点的位移,y,应为位置,x,与时间,t,的函数，即,沿,方向作用在微小区间,的外力之和为,根据牛顿第二定律，,弦的单元微段,ds,沿,方向的运动微分方程为：,代入,得：,设,代入得：,C,为波沿长度方向的传播速度,如无干扰力作用时，,称为波动方程,弹性体系统作某阶主振动时，其各点也应当作同样的频,率及相位运动，各点也应当同时通过静平衡位置和到达最,大偏离位置，即系统具有一定的与时间无关的振型,为振型函数,得,故,4,个待定常数，可由弦的边界条件及振动的两,个初始条件来确定。,由于两端固定，故有,得,则,得,强迫振动,对于长为,的两端固定受分布力,作用下的弦的强迫振动，其运动微分方程为：,振型函数,令,则有,设其解为,代入方程,将上式两边同乘以,并从,得：,整理后得到：,其通解为：,4.2,杆的纵向振动,设杆的横截面在振动时仍保持为平面并作整体运动。略去杆纵向伸缩而引起的横截面变形。,取杆的纵向作为,x,轴，各个截面的纵向位移表示为,u,(,x,t,),， 如图,所示。,杆的微元,dx,在自由振动中的受力图也在图,5-3,中给出。,设杆单位体积的质量为,，杆长为,l,，截面积为,A,，,材料的弹性模量为,E,。再设任一,x,截面处，纵向应变为,(,x,),，,纵向拉力表示为,N,(,x,),4.2,杆的纵向振动,由牛顿第二定律：,当杆为均质，等截面时,设,例,-1,：两端固定的等值杆,代入得,则有,各阶主振型,各阶主振动：,左端,：,右端：杆受到弹簧力,代入,由上式，根据不同的,值，可解出不同的固有频率,例,5.2,如图所示，一长为,的等截面均质直杆，左端固定，右端联结一刚度为,的弹簧，试求其纵向自由振动,的运动方程。,相当于自由端,主振型,即相当于固定端，其频率方程为,4.3,圆轴的扭转振动,取圆轴的轴心线作为,x,轴，图,示,轴任一,x,截面处的转角表示为,(,x,t,),。,设轴长为,l,，,单位体积的质量为,，,圆截面对其中心的极惯量矩为,J,p,，,材料的剪切弹性模量为,G,。,轴的扭转应变为 ，作用于微元,dx,两截面上的扭矩分别为 ，及 。,假设轴的横截面在扭转振动中仍保持为平面作整体转动。,4.3,圆轴的扭转振动,杆的扭转振动，抗扭刚度,截面处的扭转角,由材料力学知识,微元段扭矩的增量为,极惯性矩：,圆截面极惯性矩：,密度,的转动惯量）,得：,设,则有：,:,表示剪切波在杆内的传播速度,它的解为,式中四个待定常数,由系统的边界条件和初始条件确定。,一般解为：,解：,边界条件：,对于圆盘的运动微分方程：,例,-3,：,上端固定，下端装有转动惯量为 的圆盘，圆轴的极惯性矩为,J,P,，其剪切弹性模量为,G,，试分析其扭转振动的频率方程。,J,P,I,P,J,J,由于边界条件得：,B=0,简化得：,得：,频率方程,代入得：,的物理意义为轴的转动惯量与圆盘转动惯量之比。,设,其中,(a,）,如近似地取 ，则（,a,）式化简为,下表给出对应于各个不同的,值时，基本,特征值,1,的值。,0.01,0.10,0.30,0.50,0.70,0.90,1.00,1.50,0.10,0.32,0.52,0.65,0.75,0.82,0.86,0.98,2.00,3.00,4.00,5.00,10.0,20.0,100,1.08,1.20,1.27,1.32,1.42,1.52,1.57,（,b,）,上式也就是略去轴的质量后所得单自由度系统的,固有频率公式,。,这时有,（,c,）,上式也就是将轴的转动惯量的三分之一加到圆盘上后所得单自由度扭振系统的固有频率公式。只要轴的转动惯量不大于圆盘的转动惯量，那么计算基频的近似式（,c,）在实用上已足够准确了。,综上所述，弦的横振、杆的纵振与轴的扭振都导致同一形式的波动方程。它们的运动具有共同的规律，如表,4-1,。,进一步的近似可取,弦的横振,杆的纵振,轴的扭振,物,理,参,数,弦的张力,弦的体密度,弹性模量,截面积,密度,剪切弹性模量,截面极惯性矩,密度,截面的,位移,横向位移,纵向位移,转 角,单位长度的质量或转动惯量,截面处力（或扭矩）,表,4-1,弦的横振、杆的纵振与轴的扭振对比表,弦的横振,杆的纵振,轴的扭振,波速,运动微,分方程,通解,边界条件,两端固定,两端自由,一端固定,一端自由,固有频率,振型函数,作业：,p228:4-1;4-5,4.4,梁的弯曲振动,梁的振动都在同一平面内，即在,xoy,平面之内,满足平截面假设,梁上各点的运动只需用轴线的横向位移来表示,建立运动微分方程：,按牛顿第二定律，微段,沿,方向的运动方程为：,.,（,1,）,由材料力学可知：,代入（,1,）式中得：,则有：,为梁弯曲振动的偏微分方程,梁自由振动的解,分离变量：,代入得：,设,则有，,代入,设,代入,的通解为：,则：,求固有频率和主振型,例,-5,因此有：,代入,B=D=0,则有：,例,-,6,：悬臂梁的情况,参见书上的例题。,4.5,主振型的正交性,对于等截面的均匀梁，其截面面积,，线密度,刚度分布,都是常数时，有,对于一般情况，,各阶主振型正交，表明各阶主振动之间没有耦合，各主,振动之间是独立无关的，它们之间没有能量交换，都可以,采用解耦分析法（振型分析法），简化为类似单自由度系,统那样的微分方程来求解。,作业：,p228:4-8,；,4-11,4.6,薄板的横向弯曲振动,基本假设：,1,直法线假设；,为主应力；,厚度变化不计；,板弯曲的中面不产生变形，即中面为中性面。,一、建模,矩形薄板的振动微分方程,惯性载荷：,二、求解,-,分离变量法,设：,得：,三、边界条件,1.,简支边：,2,固定边,3,自由边,四、四边简支板自由振动的解,设：,固有频率,结构动力学分析工程应用介绍,随着形形色色飞行器的出现，动力固有特性分析也出现许多特殊的问题。例如，火箭、导弹虽然基本上近似一个一维梁系统，但它们往往存在着级间连接与数目较多的分离面,(,接头,),这使得结构的刚度分布、阻尼分布发生变化，给固有特性的精确分析带来困难；大型液体燃料火箭广泛存在着液体晃动问题，它对固有特性有不可忽视的影响；人造卫星经常采用自旋稳定方案，并安装有柔度很大的附件，如太阳能帆板、天线等，构成具有转动的刚体及柔性体的复合结构，使它的固有特性分析更加复杂化。,本章对这些问题做一概括介绍。,一、 飞行器分离面（接头）对固有特性的影响,大部分火箭、导弹类型的飞行器都具有较多的接头，它们使全弹的刚度分布发生局部扰动，如图所示。,一、 飞行器分离面（接头）对固有特性的影响,导 弹 名 称,接 头 数,刚 度 损 失,K,注,“,响尾蛇”,4,13,近程攻击导弹,SRAM,6,31,中程攻击导弹,MR,7,31,远程标准导弹,ER,7,33,“不死鸟”,10,49,接头使刚度损失可达,(3040)%,如表,8,1,所示,表,8,1,一、 飞行器分离面（接头）对固有特性的影响,对弹体固有特性的影响,1.,使全弹的固有频率下降,由于接头削弱了附近弹体的刚度，同时接头处往往存在空隙，因而它们都使全弹的固有频率降低。影响程度与接头的数量、类型、位置相关。表,8-2,中列举了一些导弹的一阶频率由于接头而引起的下降情况。,导 弹 名 称,接 头 数,一阶固有频率下降,“,响尾蛇”,4,7,近程攻击导弹,SRAM,6,17,中程攻击导弹,MR,7,17,远程标准导弹,ER,7,18,“不死鸟”,10,33,表,8 - 2,一、 飞行器分离面（接头）对固有特性的影响,对弹体固有特性的影响,2.,使全弹的振动发生畸形,接头的存在，改变了刚度分布，必然使振型形状、节点位置发生变化。在控制系统的设计中节点位置是个重要参数，所以，为了精确确定振型，必须考虑接头的响应。图,8-2,所示为某弹前三阶振型受接头影响的变换情况。,图中,x,为弹体轴向坐标，坐标原点设在弹体头部理论顶点， 为振型幅值。应当注意，同样的接头，所处的位置不同影响也不同。一般来讲，在导弹弹体中部的接头影响更加突出。,一、 飞行器分离面（接头）对固有特性的影响,分析方法,精确地用纯分析方法考虑接头进行固有特性计算是困难的，一般都采用实验与分析结合的方法。全弹的计算模型可以选用一维梁式模型或三维壳体模型，接头则可分为处理为集中弯曲弹簧或沿分离面周线分布的弹性组件。处理这类模型的,关键是这些弹性件柔度的确定,。对于集中弯度弹簧，其柔度确定的方法有以下几种。,1.,类比法,参照已有的导弹接头的柔度数据，用相似类比方法，推测所设计的接头的柔度。,2.,经验公式法,Alley,和,Leadbetfer,根据大量实验的统计，归纳出以下经验公式,式中 第,i,个接头的弯曲柔度；,接头处弹身直径（英寸）,柔度系数，根据接头的不同类型已制成表格供查（表,8-3,）,一、 飞行器分离面（接头）对固有特性的影响,接头分类,A,i,额定值,范围,优,10,-10,310,-10,良,10,-9,310,-10,310,-9,中,10,-8,310,-9,310,-8,差,10,-7,310,-8,310,-7,表,9 - 3,此经验公式是以英制给出的，使用时应予注意。,3.,实验测定法,4.,其它方法,当已具有实体结构时，可通过静力实验或动力实验得到各个接头实际柔度。不过，实验中应注意消除弹性弯曲的影响。,也可采用有限元或最佳拟合的分析方法来确定接头的柔度，不过方法复杂而精度并不理想。,分析方法,一、 飞行器分离面（接头）对固有特性的影响,总之，随着飞行器对固有频率、振型、振型斜率的数量与精度要求日益提高，接头产生的影响必须予以考虑。由于接头类型较多，单纯的分析方法尚未完善，目前主要依靠实验来确定特性参数,柔度,。将所得柔度参量代入系统模型，即可计得较为精确得全弹固有特性。,分析方法,问题的特点,二、 贮箱内液体晃动对固有特性的影响,晃动频率及晃动激烈程度均与下列因素有关：,容器形状；,推进器性质；,阻尼隔板设置情况；,推进剂液面高度；,加速度场的情况。,在飞行过程中，随着燃料不断燃烧，推进剂液面情况不断发生变化，从而对系统固有特性的影响也随之变化。这是本问题的主要特点。一般说来，为了掌握整个飞行过程的固有特性情况，就要分析各个不同的推进剂燃烧阶段的频率与振型。,另外一个特点是，一般只需考虑低阶情况，特别是一阶情况。因为经研究指出，对于圆柱壳体，二阶晃动质量仅为一阶晃动质量的,3,，而且在高阶情况下液体内部将产生紊乱的扰动，使阻尼激增，故二阶以上可不予考虑。,推进剂晃动频率的确定,二、 贮箱内液体晃动对固有特性的影响,工程上常采用当量变换的方法，在对壳体壁作用的力与力矩相等、频率相当的条件下，将液体晃动模型等价代换为机械力学模型。一旦建立了当量机械模型，对于各种飞行器的液体晃动问题，可根据它们的液体参量、飞行状态参量、飞行器参量很容易地确定出当量机械模型参量，从而确定出晃动频率。一般采用的液体侧向晃动当量机械模型有两种。,1.,弹簧质量模型,根据壳体半径及液面高度，可按流体动力学分析导得的当量公式确定贮箱中液体固定质量,m,0,、晃动质量,m,1,。晃动质量的运动受到弹簧与阻尼器的约束，其模型如图,8-10,所示。,模型中阻尼系数,C,、弹簧刚度,K,1,都按流体动力学导得的当量公式确定。当阻尼较小时，阻尼的作用可以忽略。,推进剂晃动频率的确定,二、 贮箱内液体晃动对固有特性的影响,2.,自由摆模型,从晃动的物理现象来看，将它等价为一个当量摆是无可非议的。此模型如图,8-11,所示。其中 等参量也是由流体动力学分析得到的当量公式来确定。,进行这种模型代换后，液体晃动问题的处理就与结构系统的其它部件的处理方式完全相同。考虑到将它们并入全系统模型的方便性，在飞行器动态分析中更习惯与采用弹簧质量模型。由两种模型均取一个运动质量点,m,1,可知，模型中值考虑晃动的一阶模态。,并入全系统动态分析的两种方式,二、 贮箱内液体晃动对固有特性的影响,液体晃动的动态特征引入全系统的方式有以下两种。,(1),将它从基本模型中分离出来，单独拟定模型，导出其刚度、阻尼、惯性的等特性参量，然后以独立的广义坐标耦合到总系统中去构成总运动方程，联立求解。这样求解的优点是，可以形象地看到晃动的液体在整个系统动态特性中的地位与作用。,(2),将晃动液体的质量特性、刚度特性直接并入全系统模型对应位置上，如图,8-12,所示。对于流体晃动的影响，则在总系统中增加一个分支系统反映。这种考虑方式简单，但较为粗糙。有点飞行器在动态分析时，初始阶段采用此法处理，在最后分析阶段则改用第一种方式处理。“土星,V”,发射器就经历了这一过程。,并入全系统动态分析的两种方式,二、 贮箱内液体晃动对固有特性的影响,关于晃动液体对全系统动态固有特性的影响，其处理方法虽然基本上可以满足工程需求，但是，由于液体的晃动而使结构固有特性频带变宽，增加了发生耦合振动的可能性；另外，它提供了一个激励源，是导致系统动态失稳的渠道之一；同时，由于燃料量在整个飞行器中不断变化，从而使全系统固有频率与振型都成为时间的变化量；这些都给动力设计带来了附加困难。为此，工程上往往采用结构措施（如设计阻尼挡板，采用集束式贮箱）或系统化措施（燃料按程序转移，燃烧次序化等），尽量降低液体晃动所产生的动力影响。,作业：,