《角的平分线的性质》课件1_002

第,2,课时,12.3 角,的,平分线的性质,九年级上册,RJ,初中数学,角平分线的性质：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,.,几何表示：,如图，,OC,是,AOB,的平分线，点,P,是,OC,上一点，,PD,OA,，,PE,OB,，垂足分别为,D,，,E,.,PD,=,PE,.,O,A,B,C,P,D,E,知识回顾,1.,探究并证明角的平分线的判定,.,2.,会用角的平分线的判定解决实际问题,.,3.,熟练掌握,角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用,.,学习目标,思考：如图,，要在,S,区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处,500,m,.,这个集贸市场应建于何处？,课堂导入,作出公路和铁路相交的角的平分线，按照比例尺的比例在该平分线上选取离交叉口处,500,m,的位置即可建集贸市场,.,到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上,？,课堂导入,APB-APD=CPD-APD，即APC=BPD.,证明：PDOA，PEOB，,DEAB，DFAC，DE=DF.,如图，MON=60，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），在MON的内部，AOB的外部有一点P，且AP=BP，APB=120，,在RtPEO和RtPDO中，,3 角的平分线的性质,OB，OC分别平分ABC和ACB.,思考：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.,分别画出以下三角形的三个内角的角平分线，从位置的角度看你能得出什么结论？,(角的内部)点到角的两边的距离相等,PO=PO，RtPEORtPDO（HL）.,DEAB，DFAC，DE=DF.,如图，B=C=90，E是BC的中点，DE平分ADC.,AD是BAC的平分线.,点在角的平分线上,CEAD，CFAB，CED=CFB=90.,BE为ABC的角平分线，,反之，三角形内部到三边距离相等的点是该,DB=DC，,角的平分线的判定定理：,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上,.,注意,:,使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部,.,O,A,B,C,P,D,E,知识点,1,角的平分线的判定,新知探究,几何表示：,如图，点,P,是,AOB,内的一点，,PD,OA,，,PE,OB,，垂足分别为,D,，,E,，且,PD,=,PE,，,点,P,在,AOB,的平分线,OC,上,.,O,A,B,C,P,D,E,证明：,PD,OA,，,PE,OB,，,PEO,=,PDO,=90,.,在,Rt,PEO,和,Rt,PDO,中,，,PE,=,PD,，,PO,=,PO,，,Rt,PEO,Rt,PDO,（,HL,）,.,AOC,=,BOC,.,点,P,在,AOB,的平分线,OC,上,.,例,如图，点,P,是,AOB,内的一点，,PD,OA,，,PE,OB,，垂足分别为,D,，,E,，且,PD,=,PE,.,求证：点,P,在,AOB,的平分线,OC,上,.,O,A,B,C,P,D,E,角的平分线的性质定理与判定定理的关系,.,点在角的平分线上,(,角的内部,),点到角的两边的距离相等,性质定理,判定定理,性质定理是证明两条线段相等的依据，判定定理是证明两个角相等的依据,.,知识点,2,角的平分线的性质定理与判定定理的关系,新知探究,求证：点P到ABC三边AB，BC，CA的距离相等.,如图，B=C=90，E是BC的中点，DE平分ADC.,分别画出以下三角形的三个内角的角平分线，从位置的角度看你能得出什么结论？,PO=PO，RtPEORtPDO（HL）.,求证：AD是BAC的平分线.,PO=PO，RtPEORtPDO（HL）.,若PAO=90，则PBO=360-APB-PAO-AOB=90,BE为ABC的角平分线，,证明：PDOA，PEOB，,又EFAD，EBAB，,即AD是BAC的平分线.,APCBPD（AAS）.,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上,判定定理,OF AB,且OF=OD=OE，,3 角的平分线的性质,反之，三角形内部到三边距离相等的点是该,知识点1 角的平分线的判定,(角的内部)点到角的两边的距离相等,点P在BAC的平分线上.,分别,画出以下三角形的三个内角的角平分线，从位置,的角度看,你能,得,出什么结论？,三角形三个内角的,角,平分线的交点位于三角形的内部,.,A,B,C,A,B,C,A,B,C,知识点,3,三角形三个内角平分线的性质,新知探究,过交点,分别,作三角形三边的垂线，测量一下每一组垂线段，从大小上你能观察出什么结论？,过交点作三角形三边的垂线段相等,.,A,B,C,A,B,B,C,A,C,PA=PB,点P在MON的平分线上.,PE=PD，,三角形三个内角的平分线的性质,0 B.,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上,熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.,例 如图，ABC的角平分线AD，BE，CF相交于点P.,学会用添加辅助线的方法解题,分别画出以下三角形的三个内角的角平分线，从位置的角度看你能得出什么结论？,若PAO=90，则PBO=360-APB-PAO-AOB=90,（直角三角形全等（HL）,求证：点P到ABC三边AB，BC，CA的距离相等.,CEAD，CFAB，CED=CFB=90.,求证：点P到ABC三边AB，BC，CA的距离相等.,证明：PDOA，PEOB，,CF=CE，即AC平分BAD.,如图，B=C=90，E是BC的中点，DE平分ADC.,熟练掌握角的平分线的判定定理是解题的关键,如图，MON=60，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），在MON的内部，AOB的外部有一点P，且AP=BP，APB=120，,只需从要证的线上的某一点向角的两边作（找）垂线段，再证明垂线段相等即可.,例 如图，,ABC,的角平分线,AD,，,BE,，,CF,相交于点,P,.,求证：点,P,到,ABC,三边,AB,，,BC,，,CA,的距离相等,.,B,C,P,D,E,F,M,N,O,证明：过点,P,作,PM,BC,，,PN,AC,，,PO,AB,，,垂足分别为点,M,，,N,，,O,.,A,可多次利用角平分线的性质证得,AD,为,ABC,的角平分线，,PN,=,PO,.,BE,为,ABC,的角平分线，,PM,=,PO,.,CF,为,ABC,的角平分线，,PM,=,PN,.,PM,=,PN,=,PO,，,即点,P,到,ABC,三边,AB,，,BC,，,CA,的距离相等,.,B,C,P,D,E,F,M,N,O,A,三角形三个内角的平分线的性质,三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等,.,反之，三角形内部到三边距离相等的点是该,三角形三条角平分线的交点,.,A,B,C,P,判断题,:(1),如图,1,，若,QM,=,QN,，则,OQ,平分,AOB,.(),(2),如图,2,，若,QM,OA,于点,M,，,QN,OB,于点,N,，则,OQ,平分,AOB,.(),Q,O,B,A,M,图,2,N,O,B,A,Q,M,图,1,N,跟踪训练,新知探究,角的平分线的判定定理：,角的内部到角的两边的,距离相等,的点在角的平分线上,.,1.,如图，,P,是,ABC,外部一点，,PD,AB,，交,AB,的延长线于点,D,，,PE,AC,，交,AC,的延长线于点,E,，,PF,BC,于点,F,，且,PD,=,PE,=,PF,.,关于点,P,有下列三种说法：点,P,在,DBC,的平分线上；点,P,在,BCE,的平分线上；点,P,在,BAC,的平分线上,.,其中说法正确,的个数为（）,A.0 B.1 C.2 D.3,D,C,A,E,B,D,F,P,随堂练习,2.,如图，,BE,=,CF,，,DE,AB,的延长线于点,E,，,DF,AC,于点,F,且,DB,=,DC,.,求证：,AD,是,BAC,的平分线,.,C,E,A,F,D,B,BE,=,CF,，,DB,=,DC,.,Rt,BDE,Rt,CDF,.,DE,AB,，,DF,AC,，,DE,=,DF,.,AD,是,BAC,的平分线,.,分析：,（直角三角形全等（,HL,）,（三角形全等的性质）,（角的平分线的判定）,证明：,DE,AB,，,DF,AC,，,BED,=,CFD,=90,.,在,Rt,BDE,和,Rt,CDF,中，,BE,=,CF,，,DB,=,DC,，,Rt,BDE,Rt,CDF,（,HL,）,.,DE,=,DF,.,点,D,在,BAC,的平分线上，,即,AD,是,BAC,的平分线,.,C,E,A,F,D,B,3.,如图，,O,是,ABC,内一点，,O,到三边,AB,，,BC,，,CA,的距离分别为,OF,，,OD,，,OE,，且,OF,=,OD,=,OE,，若,BAC,=70,，则,BOC,=,（）,.,证明：由题意，得,OD,BC,，,OE,AC,OF,AB,且,OF,=,OD,=,OE,，,OB,，,OC,分别平分,ABC,和,ACB,.,BAC,=70,，,ABC,+,ACB,=180,-,BAC,=110,.,BOC,=180,-,（,OBC,+,OCB,）,=125,.,OBC,+,OCB,=,（,ABC,+,ACB,）,=55,.,4.,如图，在四边形,ABCD,中，,ADC,+,ABC,=180,，,BC,=,DC,，,CE,AD,交,AD,的延长线于点,E,，,CF,AB,于点,F,.,求证：,AC,平分,BAD,.,E,A,B,C,D,F,熟练掌握角的平分线的判定定理是解题的关键,证明：,ADC,+,ABC,=180,，,ADC,+,EDC,=180,，,ABC,=,EDC,.,CE,AD,，,CF,AB,，,CED,=,CFB,=90,.,在,BCF,和,DCE,中，,CFB,=,CED,，,FBC,=,EDC,，,BC,=,DC,，,BCF,DCE,（,AAS,）,.,CF,=,CE,，即,AC,平分,BAD,.,E,A,B,C,D,F,角平分线的判定,学会用添加辅助线的方法解题,判定,定理,应用,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上,综合利用角的平分线的性质和判定来解决实际问题,课堂小结,1.,如图，,B,=,C,=90,，,E,是,BC,的中点，,DE,平分,ADC,.,求证：,AE,平分,DAB,.,A,B,C,E,D,拓展提升,证明：过点,E,作,EF,AD,于点,F,，,B,=,C,=90,，,DC,EC,，,EB,AB,.,DE,平分,ADC,，,EC,=,EF,.,证明角平分线的方法,只需从要证的线上的某一点向角的两边作（找）垂线段，再证明垂线段相等即可,.,E,是,BC,的中点，,EC,=,EB,=,EF,.,又,EF,AD,，,EB,AB,，,点,E,在,DAB,的平分线上，即,AE,平分,DAB.,F,A,B,C,E,D,2.,如图，,MON,=60,，点,A,，,B,为射线,OM,，,ON,上的动点（点,A,，,B,不与点,O,重合），在,MON,的内部，,AOB,的外部有一点,P,，且,AP,=,BP,，,APB,=120,，,求证：点,P,在,MON,的平分线上,.,C,D,A,B,P,O,M,N,证明：若,PAO,90,，如图，,过点,P,分别作,PC,OM,，,PD,ON,，垂足分别为,C,，,D,，,则,ACP,=,BDP,=90,.,在四边形,OCPD,中，,CPD,=360,-,OCP,-,COD,-,ODP,=120,，,APB,=,CPD,.,APB,-,APD,=,CPD,-,APD,，即,APC,=,BPD,.,在,APC,和,BPD,中，,APC,=,BPD,，,ACP,=,BDP,，,AP,=,BP,，,APC,BPD,（,AAS,）,.,PC,=,PD,，,点,P,在,MON,的平分线上,.,C,D,A,B,P,O,M,N,A,B,P,O,M,N,若,PAO,=90,，则,PB