角平分线的性质与判定课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.4,角平分线的性质与判定,A,D,B,C,E,杨 平,不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？,A,O,B,C,活,动,1,再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？,（对折）,情境问题,1,、如图，是一个角平分仪，其中,AB=AD,BC=DC,。,将点,A,放在角的顶点,AB,和,AD,沿着角的两边放下,沿,AC,画一条射线,AE,AE,就是角平分线，你能说明它的道理吗,?,活,动,2,情境问题,A,D,B,C,E,如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？,2,、,证明：,在,ACD,和,ACB,中,AD=AB,（已知）,DC=BC,（已知）,CA=CA,（公共边）,ACD ACB,（,SSS,）,CAD=CAB,（全等三角形的,对应边相等）,AC,平分,DAB,（角平分线的定义）,A,D,B,C,E,根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）,O,A,B,C,E,探究新知,活,动,3,N,O,M,C,E,N,M,分别以，为圆心大于 的长为半径作弧两弧在,AOB,的内部交于,演示,如何用尺规作角的平分线？,A,作法：,以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交,于,作射线,OC,则射线即为所求,探究角平分线的性质,(1),实验,：将,AOB,对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？,活,动,4,(2),猜想,:,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,.,题设：一个点在一个角的平分线上,结论：它到角的两边的距离相等,证明：,OC,平分,AOB,（已知）,1=2,（角平分线的定义）,PD OA,，,PE OB,（已知）,PDO=PEO=,90,（垂直的定义）,在,PDO,和,PEO,中,PDO=PEO,（已证）,1=2,（已证）,OP=OP,（公共边）,PDO PEO,（,AAS,）,PD=PE,（全等三角形的对应边相等）,P,A,O,B,C,E,D,1,2,已知：如图，,OC,平分,AOB,，点,P,在,OC,上，,PD,OA,于点,D,，,PEOB,于点,E,求证,:PD=PE,探究角平分线的性质,活,动,4,(3),验证,猜想,角平分线上的点到角两边的距离相等。,(4),得到,角平分线的性质：,活,动,4,利用此性质怎样书写推理过程,?,1=2,PD,OA,，,PE,OB,（已知）,PD=PE,（全等三角形的对应边相等）,P,A,O,B,C,E,D,1,2,如图，,AD,平分,BAC,（已知）,=,，,(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（,）,判断：,练习,如图，,DCAC,，,DBAB,（已知）,=,，,(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（,）,AD,平分,BAC,DCAC,，,DBAB,（已知）,=,，（）,DB,DC,在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,不必再证全等,，,O,A,B,E,D,思考：,如图所示,OC,是,AOB,的平分线,P,是,OC,上任意一点,问,PE=PD?,为 什么,?,C,P,PD,PE,没有垂直,OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等,思考：,要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺,1,：,20 000,）,公路,铁路,活,动,5,如图：在,ABC,中，,C=90 AD,是,BAC,的平分线，,DEAB,于,E,，,F,在,AC,上，,BD=DF,；求证：,CF=EB,A,C,D,E,B,F,实践应用,分析,:,要证,CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即,RtCDF,RtEDB.,现已有一个条件,BD=DF(,斜边相等,),还需要我们找什么条件,DC=DE(,因为角的平分线的性质,),再用,HL,证明,.,试试自己写证明。你一定行！,做一做,驶向胜利的彼岸,已知,:,如图,在,ABC,中,AD,是它的角平分线,且,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是,E,F.,求证,:EB=FC.,老师期望,:,做完题目后,一定要,“,悟,”,到点东西,纳入到自己的认知结构中去,.,B,A,E,D,C,F,例 已知：如图，,ABC,的角平分线,BM,、,CN,相交于点,P.,求证：点,P,到三边,AB,、,BC,、,CA,的距离相等,.,证明：过点,P,作,PD,、,PE,、,PF,分别,垂直于,AB,、,BC,、,CA,，垂足为,D,、,E,、,F,BM,是,ABC,的角平分线，点,P,在,BM,上（已知）,PD=PE,（,在角平分线上的点到角的两边的距离相等）,同理,PE=PF.,PD=PE,=PF.,即点,P,到边,AB,、,BC,、,CA,的距离相等,D,E,F,A,B,C,P,M,N,变式：,如图，,的的外角的平分线与的外角的平分线相交于点求证：点到三边，所在直线的距离相等,F,G,H,小结与作业,一、过程小结：,情境,观察,作图,应用,探究,再应用,二、知识小结：,本节课学习了那些知识？有哪些运用？你学了吗？做了吗？用了吗？,回味无穷,定理,角平分线上的点到这个角的两边距离相等,.,OC,是,AOB,的平分线,P,是,OC,上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是,D,E(,已知,),PD=PE(,角平分线上的点到这个角的两边距离相等,).,用尺规作角的平分线,.,小结 拓展,O,C,B,1,A,2,P,D,E,到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。,已知：,PD OA,，,PE OB,，垂足分别是,D,、,E,，,PD=PE.,求证：点,P,在,AOB,的平分线上。,角平分线的判定定理,A,O,B,P,D,E,C,用符号语言表示为：,PD=PE,PD OA,，,PE OB,1=2.,由上面两个定理可知：到角的两边的距离相等的点，都在这个角平分线上；反过来，角平分线上的点到角的两边的距离相等。,角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合,.,练一练,填空：,(1).1=2,DCAC,DEAB,_,(_),(1).DCAC,DEAB,DC=DE,_,(_ _),A,C,D,E,B,1,2,1=2,DC=DE,到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。,在角平分线上的点到角的两边的距离相等,2.,已知：如图，,C=C=90 AC=AC,求证,（,1,）,ABC=,ABC,；,（,2,）,BC=BC,.,（要求不用三角形全等的判定）,B,C,A,C,例,1,已知：在等腰,RtABC,中，,AC,BC,C,90,，,AD,平分,BAC,，,DEAB,于点,E,。,求证：,BD,DE,AC,变式 已知,AB,15cm,求,DBE,的周长,E,D,C,B,A,利用结论，解决问题,练一练,1,、,如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村,.,要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建,?,想一想,在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗,?,你是怎样思考的,?,你是如何证明的,?,拓展与延伸,2,、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有,:,(),A.,一处,B.,两处,C.,三处,D.,四处,分析,:,由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。,拓展与延伸,3,、已知,:BDAM,于点,D,CEAN,于点,E,BD,CE,交点,F,CF=BF,求证,:,点,F,在,A,的平分线上,.,A,A,A,A,A,A,A,D,N,E,B,F,M,C,A,