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单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,7.7,不变子空间,2 线性变换的运算,3 线性变换的矩阵,4 特征值与特征向量,1 线性变换的定义,6线性变换的值域与核,8 假设当标准形简介,9 最小多项式,7不变子空间,小结与习题,第七章 线性变换,5 对角矩阵,一、不变子空间的概念,二、线性变换在不变子空间上的限制,7.7 线性变换的定义,三、不变子空间与线性变换的矩阵化简,四、线性空间的直和分解,7.7 不变子空间,设 是数域,P,上线性空间,V,的线性变换，,W是V的,的子空间，若 有,则称,W,是,的不变子空间,，简称为,子空间,.,V的平凡子空间V及零子空间对于V的任意一,个变换 来说，都是 子空间.,一、不变子空间,1,、定义,注：,7.7 不变子空间,1）,两个子空间的交与和仍是子空间.,2）,设 则,W,是 子空间,证：显然成立.,任取 设,则,故,W,为 的不变子空间.,2,、不变子空间的简单性质,由于,7.7 不变子空间,1）,线性变换 的值域 与核 都是 的,不变子空间.,证：,有,故 为 的不变子空间.,又任取 有,3,、一些重要不变子空间,也为 的不变子空间.,7.7 不变子空间,2）,若 则 与 都是 子空间.,证：,对存在,使,于是有，,为 的不变子空间.,其次，由,对 有,7.7 不变子空间,于是,故 为的不变子空间.,的多项式 的值域与核都是 的不变子空间.,这里为 中任一多项式.,注：,7.7 不变子空间,4）,线性变换 的特征子空间 是 的不变子空间.,有,5）,由 的特征向量生成的子空间是 的不变子空间.,证：设 是的分别属于特征值,的特征向量.,3）,任何子空间都是数乘变换的不变子空间.,任取,设,那么,为 的不变子空间.,7.7 不变子空间,事实上，若,则 为 的一组基.,因为,W,为 子空间,，,即必存在 使,是 的特征向量.,特别地，由的一个特征向量生成的子空间是一,个一维 子空间.,反过来，一个一维 子空间,必可看成是的一个特征向量生成的子空间.,注：,7.7 不变子空间,二、在不变子空间,W,引起的线性变换,定义：,不变子空间,W,上的限制,.,记作,在不变子空间,W,上引起的线性变换,，或称作在,设是线性空间,V,的线性变换，,W,是,V的,一个的,不变子空间.把 看作,W,上的一个线性变换，称作,7.7 不变子空间,当 时，,任一线性变换在它核上引起的线性变换是零,变换，即,即有,注：,当 时，无意义.,在特征子空间 上引起的线性变换是数乘变换，,7.7 不变子空间,1,、,设是维线性空间,V,的线性变换，,W是V,的,子空间，为,W,的一组基，把它扩允为,V,的一组基：,若 在基 下的矩阵为 ，则,在基 下的矩阵具有下列形状:,三、不变子空间与线性变换的矩阵化简,7.7 不变子空间,反之，若,则由 生成的子空间必为 的,不变子空间.,事实上，因为,W是V,的不变子空间.,即，均可被,线性表出.,7.7 不变子空间,从而，,设,7.7 不变子空间,在这组基下的矩阵为,若 ，则,为,V,的一组基，且在这组基下 的矩阵为准对角阵,2,、,设 是 维线性空间,V的,线性变换，都是,的不变子空间，而 是 的一组基，且,1,7.7 不变子空间,的子空间 为 的不变子空间，且,V,具有直和分解：,由此即得：,下的矩阵为准对角矩阵,(1),则由生成,V,的线性变换在某组基下的矩阵为准对角形,V,可分解为一些的不变子空间的直和.,反之，若 在基,7.7 不变子空间,定理,12,：设 为线性空间,V,的线性变换，是,四、线性空间的直和分解,是 的特征多项式.若 具有分解式：,再设,则都是的不变,子空间；且,V,具有直和分解,：,7.7 不变子空间,证：令,则 是 的值域，,是 的不变子空间.,又,2,7.7 不变子空间,下证分三步：,证明,存在多项式 使,于是,对 有,证明是直和.,证明,7.7 不变子空间,这里,7.7 不变子空间,其中,（也即，），,则,存在 使,于是,(3),即证，若,证明是直和,.,7.7 不变子空间,用 作用,（3）,的两端，得,又,7.7 不变子空间,从而,所以是直和,.,有多项式 ，使,7.7 不变子空间,证明,:,首先由,(2)，,有,即,其次，任取设,即,令,7.7 不变子空间,由,（2）,有,从而有,又,又,由 ，是直和，它的零向量分解式,即,唯一.,7.7 不变子空间,综合 ，即有,于是,故,即有,是 的不变子空间，且,7.7 不变子空间,练习：,设,3,维线性空间,V,的线性变换在基,下的矩阵为,证明：是的不变子空间.,证：令,由,7.7 不变子空间,有,7.7 不变子空间,即,故,W,为的不变子空间.,7.7 不变子空间,
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