三重积分的变量代换

首页,上页,返回,下页,结束,三重积分的变量代换,柱面坐标代换 球面坐标代换,三重积分的对称性,一、三重积分的换元法,例1.求由下面方程表示的曲面所围立体的体积:,其中,解:令,则,1.利用柱坐标计算三重积分,就称为点,M,的柱坐标.,直角坐标与柱面坐标的关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,因此,适用范围:,1),积分域,是圆,柱或它在某坐标面上的投影为圆(或一部分),;,2),被积函数,中含有,x,2,+y,2,(,相应地,y,2,+z,2,x,2,+z,2,),形式,.,其中,为由,例2.,计算三重积分,所围,解:,在柱面坐标系下,及平面,柱面,成半圆柱体.,例3.,计算三重积分,解:,在柱面坐标系下,所围成.,与平面,其中,由抛物面,原式=,2.利用球坐标计算三重积分,就称为点,M,的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,球面,半平面,锥面,因此有,适用范围:,1),积分域,表面是球面或顶点在原点的圆锥面;,2),被积函数,含,x,2,+y,2,+z,2,一类式子.,例4.,计算三重积分,解:,在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,3.广义球坐标变换,直角坐标与广义球坐标的关系,例13.3.9.椭球 的体积,内容小结,积分区域,多由坐标面,被积函数,形式简洁,或,坐标系 体积元素 适用情况,直角坐标系,柱面坐标系,球面坐标系,*说明,:,三重积分也有类似二重积分的,换元积分公式:,对应雅可比行列式为,变量可分离.,围成;,二、利用对称性化简三重积分计算,使用对称性时应注意：,.积分区域关于坐标面的对称性；,.被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的,奇偶性,解,积分域关于三个坐标面都对称，,被积函数是 的,奇函数,解,例7.,求曲面,所围立体体积.,解:,由曲面方程可知,立体位于,xoy,面上部,利用对称性,所求立体体积为,yoz,面对称,并与,xoy,面相切,故在球坐标系下所围立体为,且关于,xoz,轮换对称性,：,若积分区域,的表达式中将,x,y,z,依次轮换,表达式不变,则称,关于,x,y,z,轮换对称.此时有,例8.,设,是由平面,x+y+z=1,和三个坐标面所围成的,区域,求,解:由轮换对称性,说明,：二重积分也有轮换对称性.,若积分区域,D,的表达式中将,x,y,依次轮换,表达式不变,则称,D,关于,x,y,轮换对称.此时有,例9.,设,证:由轮换对称性,1.,将,用三次积分表示,其中,由,所,提示:,综合例子,六个平面,围成,2.,设,由锥面,和球面,所围成,计算,提示:,利用对称性,用球坐标,3.,计算,所围成.,其中,由,分析：,若用“先二后一”,则有,计算较繁!,采用“,先一后二,”较好.,所围,故可,表为,解:,4.,计算,其中,解:,利用对称性,思考题,练 习 题,练习题答案,