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第一讲,数列,的概念与简单表示法,第六章,数,列,第一讲 数列的概念与简单表示法第六章数列,考点帮,必备知识通关,考点,1,数列,的有关,概念,考点,2,数列,的函数特性,考点,3,数列,的,前,n,项和,S,n,与通项,a,n,的,关系,考点帮必备知识通关,考法帮,解题能力提升,考法,1,求,数列的通项公式,考法,2,数列,的性质及其,应用,考法帮解题能力提升,考情解读,考点,内容,课标,要求,考题取样,情境,载体,对应,考法,预测,热度,核心,素养,数列的有关概念及表示,了解,2017,全国,T17,探索创新,考法,1,逻辑推理,数学运算,命题分,析预测,从近几年的高考命题情况分析,本讲是高考的热点,主要考查,:,(,1),已知递推关系求通项公式,;(2),由,a,n,与,S,n,的关系求通项公式,;(3),利用数列的性质求最值等,.,主要以填空题、解答题的形式呈现,难度中等,.,考情解读考点课标考题取样情境对应预测核心数列的有关概念及,考点,1,数列的有关概念,考点,2,数列的函数特性,考点,3,数列,的前,n,项和,S,n,与通项,a,n,的关系,考点帮,必备知识通关,考点帮必备知识通关,考点,1,数列,的有关概念,1,.,数列的有关概念,名称,概念,数列,按照一定顺序排列的一列数,.,数列的项,数列中的每一个数,.,数列,的通项,数列,a,n,的第,n,项,a,n,.,考点1 数列的有关概念1.数列的有关概念名称概念数列,考点,1,数列,的有关概念,名称,概念,通项,公式,如果数列,a,n,的第,n,项,a,n,与序号,n,之间的关系能用一个式子,a,n,=,f,(,n,)(,n,N,*,),表示,这个式子叫作这个数列的通项公式,.,递,推,公式,如果已知数列,a,n,的第一项,(,或前几项,),且任一项,a,n,(,n,2),与它的前一项,a,n,-1,(,或前几项,),间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫作数列,a,n,的递推公式,.,考点1 数列的有关概念名称概念通项如果数列an的,考点,1,数列,的有关概念,注意,(,1),并不是所有的数列都有通项公式,;,(2),同一个数列的通项公式在形式上未必唯一,;,(3),对于一个数列,如果只知道它的前几项,而没有指出它的变化规律,是不能确定这个数列的,;,(4),a,n,与,a,n,是不一样的,a,n,表示数列,a,1,a,2,a,n,是数列的一种简记形式,;,而,a,n,只表示数列,a,n,的第,n,项,a,n,与,a,n,是,“,个体,”,与,“,整体,”,的从属关系,.,考点1 数列的有关概念注意 (1)并不是所有的数,考点,1,数列,的有关概念,2,.,数列的表示,方法,列表法,列表格表达,n,与,a,n,的对应关系,.,图象法,把点,(,n,a,n,),画在平面直角坐标系中,.,公,式,法,通项公式,把数列的通项,a,n,用公式表达,.,递,推公式,使用初始值,a,1,和,a,n,+1,=,f,(,a,n,),或,a,1,a,2,和,a,n,+1,=,f,(,a,n,a,n,-1,),等表达数列,.,考点1 数列的有关概念2.数列的表示方法列表法列表格,考点,1,数列,的有关概念,辨析,比较,通项,公式和递推公式的异同,点,不同点,相同点,通项,公式,可根据某项的序号,n,的值,直接代入求出,a,n,.,都可确定一个数列,也都可求出数列的任意一项,.,递推,公式,可根据第一项,(,或前几项,),的值,通过一次,(,或多次,),赋值,逐项求出数列的项,直至求出所需的,a,n,.,也可通过变形转化,直接求出,a,n,.,考点1 数列的有关概念辨析比较,考点,2,数列,的函数特性,1,.,数列与函数的关系,数列可以看成一类特殊的函数,a,n,=,f,(,n,),它的定义域是正整数集,N,*,或正整数集,N,*,的有限子集,1,2,3,4,n,所以它的图象是一系列孤立的点,而不是连续的曲线,.,2,.,数列的性质,由于数列可以看作一个关于,n,(,n,N,*,),的函数,因此它具备函数的某些性质,:,(1),单调性,若,a,n,+1,a,n,则,a,n,为递增数列,;,若,a,n,+1,a,n,则,a,n,为递减数列,.,否则为摆动数列或常数列,(,a,n,+1,=,a,n,),.,(2),周期性,若,a,n,+,k,=,a,n,(,k,为非零常数,),则,a,n,为周期数列,k,为,a,n,的一个周期,.,考点2 数列的函数特性1.数列与函数的关系,考点,3,数列,的前,n,项和,S,n,与通项,a,n,的关系,考点3 数列的前n项和Sn与通项an的关系,考法,1,求数列的通项公式,考法,2,数列的性质及其,应用,考法帮,解题能力提升,考法1 求数列的通项公式考法帮解题能力提升,考,法,1,求,数列的通项公式,考法1 求数列的通项公式,考,法,1,求,数列的通项公式,考法1 求数列的通项公式,考,法,1,求,数列的通项公式,方法,技巧,由,前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体,策略,常用方法,观察,(,观察规律,),、比较,(,比较已知数列,),、归纳、转化,(,转化为特殊数列,),、联想,(,联想常见的数列,),等方法,.,具体策略,分式中分子、分母的特征,;,相邻项的变化特征,;,各项的符号特征和绝对值特征,;,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系,;,对于符号交替出现的情况,可用,(-1),k,或,(-1),k,+1,k,N,*,处理,.,考法1 求数列的通项公式方法技巧,考,法,1,求,数列的通项公式,考法1 求数列的通项公式,考,法,1,求,数列的通项公式,考法1 求数列的通项公式,考,法,1,求,数列的通项公式,考法1 求数列的通项公式,考,法,1,求,数列的通项公式,考法1 求数列的通项公式,考,法,1,求,数列的通项公式,方法技巧,1,.,已知,S,n,求,a,n,的一般步骤,(1),先利用,a,1,=,S,1,求出,a,1,;,(2),用,n,-1,替换,S,n,中的,n,得到一个新的关系,利用,a,n,=,S,n,-,S,n,-1,(,n,2),便可求出当,n,2,时,a,n,的表达式,;,(3),检验,a,1,是否满足,n,2,时,a,n,的表达式,若满足,则用一个式子表示,若不满足,则用分段形式表示,.,考法1 求数列的通项公式方法技巧,考,法,1,求,数列的通项公式,2,.,由,f,(,S,n,a,n,)=0,求,a,n,的解题思路,如果已知,f,(,S,n,a,n,)=0,那么我们可以利用,a,n,=,S,n,-,S,n,-1,(,n,2),将,f,(,S,n,a,n,)=0,向两个方向转化,:,一是消去,a,n,转化为只含,S,n,S,n,-1,的式子,求出,S,n,后,再利用,a,n,与,S,n,的关系求通项,a,n,;,二是利用公式,S,n,-,S,n,-1,=,a,n,(,n,2),消去,S,n,转化为只含,a,n,a,n,-1,的式子,再求解,.,考法1 求数列的通项公式2.由f(Sn,an)=0,考,法,1,求,数列的通项公式,考法1 求数列的通项公式,考,法,1,求,数列的通项公式,考法1 求数列的通项公式,考,法,1,求,数列的通项公式,考法1 求数列的通项公式,考,法,1,求,数列的通项公式,考法1 求数列的通项公式,考,法,1,求,数列的通项公式,考法1 求数列的通项公式,考,法,1,求,数列的通项公式,方法技巧,由,递推公式求通项公式的,方法,方法,适用类型,要点,累加法,a,n,+1,=,a,n,+,f,(,n,),变形,a,n,+1,a,n,=,f,(,n,),.,利用恒等式,a,n,=,a,1,+(,a,2,-,a,1,)+(,a,3,-,a,2,)+(,a,n,-,a,n,-1,)(,n,2,n,N,*,),求解,.,累乘法,考法1 求数列的通项公式方法技巧,考,法,1,求,数列的通项公式,构,造,法,a,n,+1,=,pa,n,+,q,(,p,0,且,p,1,q,0,n,N,*,),.,变形为,a,n,+1,+,t,=,p,(,a,n,+,t,)(,可用待定系数法求,t,),可得以,p,为公比的等比数列,a,n,+,t,的通项公式,进而可求,a,n,.,注意,求解时,注意新构造的数列的首项和最后要求的数列的通项分别是什么,.,取,倒,数,法,考法1 求数列的通项公式构an+1=pan+q(p,考,法,1,求,数列的通项公式,取,对数,法,将等式两边同时取对数后转化为,a,n,+1,=,sa,n,+,t,型,再利用构造法求解,.,赋值法,g,(1),a,1,+,g,(2),a,2,+,g,(,n,),a,n,=,f,(,n,),令,n,为,n,-1,则,g,(1),a,1,+,g,(2),a,2,+,g,(,n,-1),a,n,-1,=,f,(,n,-1),(,n,2,),由,-,可求得,a,n,(,注意对,n,=1,的情况进行讨论,),.,常见的具体类型有,a,1,+2,a,2,+3,a,3,+,na,n,=,f,(,n,),2,1,a,1,+2,2,a,2,+2,3,a,3,+2,n,a,n,=,f,(,n,),等,.,考法1 求数列的通项公式取对数法将等式两边同时取对,考,法,1,求,数列的通项公式,考法1 求数列的通项公式,考,法,1,求,数列的通项公式,(,2),求解满足形如,a,n,+2,=,pa,n,+1,+,qa,n,(,p,q,是常数,且,p,+,q,=1),的递推公式的数列的通项,可构造等比数列,将其变形为,a,n,+2,-,a,n,+1,=(-,q,),(,a,n,+1,-,a,n,),则,a,n,-,a,n,-1,(,n,2,n,N,*,),是等比数列,且公比为,-,q,可以求得,a,n,-,a,n,-1,=,f,(,n,),然后用累加法求得通项,.,(3),求解满足形如,a,n,+1,+,a,n,=,f,(,n,),的递推公式的数列的通项,可将原递推公式改写成,a,n,+2,+,a,n,+1,=,f,(,n,+1),两式相减即得,a,n,+2,-,a,n,=,f,(,n,+1)-,f,(,n,),然后分类讨论即可,.,考法1 求数列的通项公式(2)求解满足形如an+2,考,法,2,数列,的性质及其应用,考法2 数列的性质及其应用,考,法,2,数列,的性质及其应用,考法2 数列的性质及其应用,考,法,2,数列,的性质及其应用,考法2 数列的性质及其应用,考,法,2,数列,的性质及其应用,思维导引,(,1,),递减数列,a,n,+1,-,a,n,0,数列,a,n,是递增数列,;,a,n,+1,-,a,n,0,数列,a,n,是递减数列,;,a,n,+1,-,a,n,=0,数列,a,n,是常数列,.,作商比,较法,数形结,合法,结合相应函数的图象直观判断,.,注意数列的,“,自变量,”,为正整数,.,考法2 数列的性质及其应用方法技巧 1.解决数列单调,考,法,2,数列,的性质及其应用,考法2 数列的性质及其应用,
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