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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.3求二次函数解析式,用待定系数法求二次函数的解析式,一、,一般式：y=ax+bx+c(a,b,c为常数,a 0),求二次函数,y=ax,2,+bx+c,的解析式，关键是求出待定系数,a,，,b,，,c,的值。,由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于,a,，,b,，,c,的方程组，并求出,a,，,b,，,c,，,就可以写出二次函数的解析式。,例1,已知:抛物线y=ax,2,+bx+c过点（2，1）、（1，-2）（0，5）三点，求抛物线的解析式,解：由题意可得：,2,2,a+2b+c=1,a+b+c=-2,c=5,解之得：,a=5,b=-12,c=5,所以抛物线的解析式是：y=5x,2,-12x+5.,例,2,已知一个二次函数的图象过点（1,10）、,（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的表达式？,o,x,y,解：,设所求的二次函数为y=ax,2,+bx+c,由条件得：,a-b+c=10,a+b+c=4,4a+2b+c=7,解方程得：,a=2,b=-3,c=5,所以所求二次函数是：,y=2x,2,-3x+5,二、,顶点式y=a(x-h),2,+k(a、h、k为常数a,0,),.,1.若已知抛物线的,顶点坐标,和抛物线上的另,一个点,的坐标时，通过设函数的解析式为顶点式y=a(x-h),2,+k.,2.特别地，当抛物线的顶点为原点是，h=0,k=0,可设函数的解析式为y=ax,2,.,3.当抛物线的对称轴为y轴时，h=0,可设函数的解析式为y=ax,2,+k.,4.当抛物线的顶点在x轴上时，k=0，可设函数的解析式为y=a(x-h),2,.,解：,1.,已知抛物线的顶点为（1，3），与y轴交点为（0，5）,求该抛物线的解析式？,y,o,x,所以设所求的二次函数解析式为：y=a(x1),2,-3,因为已知抛物线的顶点为（1，3）,又点(0,-5)在抛物线上,a-3=-5,解得a=-2,故所求的抛物线解析式为 y=2(x1),2,-3,即：y=2x,2,-4x5,2,.,已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次函数的解析式。,解法1：（,利用一般式,）,设二次函数解析式为：y=ax,2,+bx+c(a0),由题意知,16a+4b+c=-3,-b/2a=3,(4ac-b,2,)/4a=4,解方程组得：,a=-7,b=42,c=-59,二次函数的解析式为：y=-7x,2,+42x-59,解法2：,（利用顶点式）,当x=3时，有最大值4 顶点坐标为(3,4),设二次函数解析式为：,y=a(x-,3,),2,+,4,函数图象过点（4，-3）,a(4-3),2,+4=-3,a=-7,二次函数的解析式为：,y=-7(x-3),2,+4,3,.,二次函数y=ax,2,+bx+c的图象过点A(0,5),B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数的解析式。,解:二次函数的对称轴为直线x=3,设二次函数表达式为,y=a(x-,3,),2,+k,图象过点A(0,5),B(5,0)两点,5=a(0-,3,),2,+k,0=a(5-,3,),2,+k,解得：,a=1 k=-4,二次函数的,表达式,:y=(x-3),2,-4,即 y =x,2,-6x+5,小结:,已知顶点坐标（h,k）或对称轴方程x=h时优先选用顶点式,。,三、,交点式y=a(x-x,1,)(x-x,2,).（a、x,1,、x,2,为常数a0）,当抛物线与,x,轴有两个交点为（,x,1,0,）,(x,2,0),时，,二次函数,y=ax,2,+bx+c,可以转化为交点式,y=a(x-x,1,)(x-x,2,).,因此当抛物线与,x,轴有两个交点为,（,x,1,0,）,(x,2,0),时，可设函数的解析式为,y=a(x-x,1,)(x-x,2,),，在把另,一个点,的坐标代入其中，即可解得,a,，求出抛物线的解析式。,交点式,y=a(x-x,1,)(x-x,2,).x,1,和,x,2,分别是抛物线与,x,轴的两个交点的横坐标，这两个交点关于抛物线的对称轴对称，则直线 就是抛物线的对称轴,.,1,：,已知二次函数与x 轴的交点坐标为（-1，0）,（1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。,解：,设所求的解析式为,抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0）,又点（0，1）在图像上，,a=-1,即：,解：（,交点式,）,二次函数图象经过点 (3,0),(-1,0),设二次函数表达式为：,y=a(x-3)(x+1),函数图象过点(1,4),4=a(1-3)(1+1)得 a=-1,函数的表达式为：,y=-(x+1)(x-3),=-x,2,+2x+3,2,：,已知二次函数图象经过点(1,4),(-1,0)和(3,0)三点，求二次函数的表达式。,知道抛物线与x轴的两个交点的坐标，选用交点式比较简便,其它解法,：（,一般式,）,设二次函数解析式为,y=ax,2,+bx+c,二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0),a+b+c=4 ,a-b+c=0 ,9a+3b+c=0 ,解得：,a=-1,b=2,c=3,函数的解析式为：,y=-x,2,+2x+3,（顶点式）,解：,抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0)，,(-1+3)/2=1,点(1,4)为抛物线的顶点,可设二次函数解析式为：y=a(x-,1,),2,+,4,抛物线过点(-1,0),0=a(-1-1),2,+4 得 a=-1,函数的解析式为：,y=-(x-1),2,+4,3,已知二次函数的图象在,x,轴上截得的线段长是,4,，且当,x,1,，函数有最小值,-4,，求这个二次函数的解析式,(-1,0),(3,0),X=1,由题意,得,:,解,:,设图象与,x,轴的交点坐标为,(,0),(,0),把,(1,-4),代入上式得,:-4=a(1-3)(1+1),解得,:a=1,y=x,2,-2x-3,四、用平移式求二次函数的解析式,、,1.,将抛物线 向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。,解法：,将二次函数的解析式,转化为顶点式得：,(1)、由 向左平移4个单位得：,（左加右减）,（2）、再将 向下平移3个单位得,（上加下减）,即：所求的解析式为,一、求二次函数的解析式的一般步骤：,一设、二列、三解、四还原,.,二、二次函数常用的几种解析式的确定,1、一般式,已知抛物线上,三点的坐标,，,通常选择一般式。,已知抛物线上,顶点坐标（对称轴或最值），,通常选择顶点式。,已知抛物线,与x轴的交点坐标,，,选择交点式,。,2、顶点式,3、交点式,4、平移式,将抛物线平移，函数解析式中发生变化的只有,顶点坐标,，可将原函数先化为,顶点式,，再根据“,左加右减，上加下减,”的法则，即可得出所求新函数的解析式。,二次函数关系:,y=ax,2,(,a,0),y=ax,2,+k (,a,0),y=a(x-h),2,+k(,a,0),y=ax,2,+bx+c (,a,0),y=a(x-h),2,(,a,0),顶点式,一般式,y=a(x-x,1,)(x-x,2,)(a0),交点式,三、求二次函数解析式的思想方法,1、求二次函数解析式的常用方法：,2、求二次函数解析式的 常用思想：,3、二次函数解析式的最终形式：,待定系数法、配方法、数形结合等。,转化思想:解方程或方程组,无论采用哪一种解析式求解，最后结果最好化为一般式。,活学活用 加深理解,1.,某抛物线是将抛物线y=ax,2,向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度,得到的，且抛物线过点（3,-3），求该抛物线表达式。,顶点坐标（1 ，1）设,y=a(x-1),2,+1,2.,已知二次函数的,对称轴是直线x=1，图像上最低点P的纵坐标为-8，,图像还过点(-2,10)，求此函数的表达式。,顶点坐标（1，-8）设,y=a(x-1),2,-8,3.,已知二次函数的图象与x轴两交点间的距离为4，且当,x=1时，函数有最小值-4，,求此表达式。,顶点坐标（1 ，-4）设,y=a(x-1),2,-4,4.,某抛物线与,x轴两交点的横坐标为2，6，且函数的最大值为2，,求函数的表达式。,顶点坐标（4，2）设,y=a(x-4),2,+2,2、已知二次函数的图像过原点，当x=1时，y有最小值为,-1，求其解析式。,解：,设二次函数的解析式为,x=1,y=-1,顶点（1，-1）。,又（0，0）在抛物线上，,a =1,即：,解,：,设y=a(x,1,),2,-3,1.已知抛物线的,顶点,为,（1，3）,，与,x,轴,交点为（0，5）求抛物线的解析式？,y,o,x,(0,-5),-5=a-3,a=-2,y=2(x1),2,-3,即：y=-2x,2,4x5,练习,y,=-2,（x,2,2x 1）,-3,所以设所求的二次函数为,y=a(x,1)(x,1),3.已知抛物线与X轴交于A（1，0），B（1,0）,并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？,又,点M(0,1)在抛物线上,a(0+1)(0-1)=1,解得：a=-1,故所求的抛物线解析式为,y=-(x1)(x-1),即：,y=x,2,+1,解：因为抛物线与x轴的交点为A(1，0)，B(1，0)，,选择最优解法，求下列二次函数解析式,：,1、已知抛物线的图象经过点(1,4)、(-1,-1)、(2,-2)，设抛物线解析式为_.,2、已知抛物线的顶点坐标(-2,3)，且经过点(1,4),设抛物线解析式为_.,3、已知二次函数有最大值6，且经过点(2,3)，(-4,5)，设抛物线解析式为_.,4、已知抛物线的对称轴是直线x=-2，且经过点(1,3)，(5,6)，设抛物线解析式为_.,5、已知抛物线与x轴交于点A(1，0)、B(1，0)，且经过点(2,-3),设抛物线解析式为_.,做一做,题组训练,1、,已知二次函数的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6），求二次函数的解析式.,2、,已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，求这条抛物线的解析式。,3、,已知抛物线过A（2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点。求这条抛物线的解析式。,4、根据下列条件，求二次函数的解析式。,(1)、图象经过(0，0)，(1，-2)，(2，3)三点；,(2)、图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1)；,(3)、图象经过(-1，0)，(3，0)，（0,3）。,议一议,通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数表达式采用的一般方法是什么?,（待定系数法）,你能否总结出上述解题的一般步骤?,1.若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系;,2.设抛物线的表达式;,3.写出相关点的坐标;,4.列方程(或方程组);,5.解方程或方程组,求待定系数;,6.写出函数的表达式;,
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