复数及其运算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,复变函数,2,“,复变函数论,”,是研究自变量为复数的函数的基本理论及应用的数学分支,.,世界著名数学家,M.Kline,指出：,19,世纪最独特的创造是,复变函数理论,。象微积分的直接扩展统治了,18,世纪那样，该数学分支几乎统治了,19,世纪。它曾被称为这个世纪的数学享受，也曾作为,抽象科学中最和谐,的理论。,3,16,世纪,，解代数方程时引入复数,(,笛卡尔，韦塞尔，阿尔冈,),17,世纪,，实变初等函数推广到复变数情形,18,世纪,，逐步阐明复数的几何、物理意义。,（,达朗贝尔，欧拉,）,20,世纪,19,18,17,16,历史背景,4,19,世纪,，奠定理论基础。,A.L.Cauchy,、维尔斯特拉斯,分别用积分和级数研究复变函数，,黎曼,研究复变函数的映射性质,20,世纪,，发展为数学分支,在解析性质、映射性质、多值性质、随机性质、函数空间及多复变函数等方面有重要成果。,5,空气动力学,流体力学,电学,热学,复变函数论,在空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等领域有重要应用（,“,*,”,内容）。,复变函数论,6,第一章 复数与复变函数,1-1,复数及其运算,1-2,复平面上的点集,1-3,复变函数及其极限和连续,1-4,复球面与无穷远点,7,1-1,复数及其运算,主要介绍关于复数的基本概念，包括复数的定义、表示方法、运算法则、基本不等式的应用,8,一 复数,的概念及表示法,则,复数相等,两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等（,求解复方程的基础,）,9,实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为,共轭复数,共轭复数,10,（,1,）两个复数的和与差,（,2,）两个复数的积,（,3,）两个复数的商,全体复数并引进上述运算后就称为复数域，,常用,C,表示。,推导运算（,3,）,复数系关于加法,乘法,除法是自封闭的,11,复数运算的性质,恒为正整数或,0,它的非负平方根称为,z,的模或绝对值,12,例,1,解,13,复数的幂的计算,-,三角形式,指数形式,解,:n=0,原式,=2,n=1,原式,=2,n=2,原式,=2i-2i=0,n=3,原式,=-4,.,14,二、复数的表示方法,（,1,）定义表示形式,15,（,2,）复数的平面表示法,16,显然成立：,（,3,）复数的向量表示法,注意：复数与向量的一一对,应使复数的加减运算与向量,的加减运算保持一致,17,（,3,）复数的向量表示法,注意：复数与向量的一一对,应使复数的加减运算与向量,的加减运算保持一致,18,共轭复数的几何性质,19,和与差的模的性质,20,注意,1,辐角不确定，没有辐角,.,注意,2,复数辐角的定义,辐角主值的定义,21,例,2,求下列复数的幅角,22,即,注,：,非实数的复数不能比较大小，但模可以比较大小。,定义,:,设复数 复数,则,两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等,23,利用直角坐标与极坐标的关系,复数可以表示成,（,4,）复数的三角表示法,24,利用,Euler,公式,:,（,5,）复数的指数表示法,例,3,将下列复数化为三角表示式与指数表示式,:,25,例,3,将下列复数化为三角表示式与指数表示式,:,解,故,26,故,27,乘幂与方根,积的模等于各因子的模的乘积,;,积的辐角等于各因子辐角的和,.,28,n,个复数相乘的情况,:,29,n,次幂,de Moivr,公式,30,同样，,于是,31,例,解,32,例,解,3,cos,3,sin,),3,1,(,2,1,2,1,p,p,i,z,i,z,-,=,-,=,已知,33,使用复数的语言，任何平面几何问题都能以清晰的面貌重新呈现。,两边平方得,34,两边平方得,另证,：,35,使用复数的语言，复杂的几何结果通常会有一个简洁优雅的复变量表达。例如,要条件是：它们的交比是一个实数。,的重心（各顶点与其对边中点连线的交点）在点,36,37,可以推得,:,n,次方根,38,从几何上看,39,例,解,40,例,解,故原方程可写成,41,故原方程的根为,42,第一次练习,第一章,P42-45 2,，,3,，,4,