第四课柯西不等式与排序不等式

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三讲,柯西不等式与排序不等式,一 二,维形式的柯西不等式,若,a,b,c,d,都是实数,则,(a,2,+b,2,)(c,2,+d,2,)(ac+bd),2,当且仅当,ad=,bc,时,等号成立,.,定理,1,（,二维形式的柯西不等式）,:,你能证明吗？,推论,向量形式：,设,是两个向量,则,当且仅当,是零,向量,或存在实数,k,使,=k,时,等号成立,.,定理,2:,（,柯西不等式的向量形式）,x,y,P,1,(x,1,y,1,),P,2,(x,2,y,2,),0,x,y,P,1,(x,1,y,1,),P,2,(x,2,y,2,),0,根据两点间距离公式以及三角形的边长关系,:,观察,定理,（二维形式的三角不等式）,设，那么,例题,例,1.,已知,a,b,为实数,证明：,(a,4,+b,4,)(a,2,+b,2,)(a,3,+b,3,),2,例,3.,设,a,bR,+,a+b=1,求证,练习：,作业,第,37,页,第,1,5,6,题,二 一般形式的 柯西不等式,(a,2,+b,2,)(c,2,+d,2,)(ac+bd),2,二维形式的柯西不等式）,:,三维形式的柯西不等式）,:,n,维形式的柯西不等式）,:,定理 设,是实数，则,当且仅当,(i=1,2,n),或 存在一个 数,k,使得,(i=1,2,n),时,等号成立。,以上不等式称为,一般形式的柯西不等式,。,一般形式的三角不等式,例,1,已知,都是实数，求证：,例,2,已知,a,b,c,d,是不全相等的正数，证明：,ab+bc+cd+da,.,例,3,已知,x+2y+3z=1,求,的最小值。,例,4,：设,a,、,b,、,c,为正数且各不相等。,求证：,又,a,、,b,、,c,各不相等，故等号不能成立 原不等式成立。,例,5,若,abc,求证：,例,6,：若,求证：,分析：左端变形,只需证此式 即可,三 排序不等式,反序和乱序和顺序和,例,1,：有,10,人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第,i(i,=1,2,10),个人的水桶需要,t,i,分，假定这些,t,i,各不相同。,问：只有一个水龙头时，应该如何安排,10,人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？,解：,总时间,(,分）是,10t,1,+9t,2,+,+2t,9,+t,10,根据排序不等式，当,t,1,t,2,t,9,t,10,时，,总时间取最小值。,即：按水桶的大小由小到大依次接水，,则,10,人等候的总时间最少。,最少的总时间是,:,10t,1,+9t,2,+,+2t,9,+t,10,例,2,设,a,1,a,2,a,n,是,n,个互不相等的正整数，,求证：,证明,：设,b,1,b,2,b,n,是,a,1,a,2,a,n,的一个排列，,且有,b,1,b,2,b,n,因为,b,1,b,2,b,n,是互不相等的正整数，,所以,b,1,1,b,2,2,b,n,n,.,又因,由排序不等式，得：,练习,练习,练习,练习,