多元函数的基本概念（精品）

单击此处编辑母版标题样式,上页,下页,铃,结束,返回,首页,上页,下页,铃,结束,返回,首页,8.1 多元函数的基本概念,一、平面点集,n,维空间,二、多元函数概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,上页,下页,铃,结束,返回,首页,提示：,一、平面点集,n,维空间,下页,1.平面点集,坐标平面上具有某种性质,P,的点的集合,称为平面点集,记作,E,(,x,y,)|(,x,y,)具有性质,P,集合,R,2,R,R,(,x,y,)|,x,y,R,表示坐标平面,一、平面点集,n,维空间,下页,1.平面点集,坐标平面上具有某种性质,P,的点的集合,称为平面点集,记作,E,(,x,y,)|(,x,y,)具有性质,P,例如,平面上以原点为中心、,r,为半径的圆内所有点的集合是,C,(,x,y,)|,x,2,y,2,r,2,或,C,P,|,OP,|,r,其中,P,表示坐标为(,x,y,)的点,|,OP,|表示点,P,到原点,O,的距离,注：,设,P,0,(,x,0,y,0,)是,xOy,平面上的一个点,是某一正数,点,P,0,的,邻域记为,U,(,P,0,),它是如下点集,邻域,如果不需要强调邻域的半径,则用,U,(,P,0,)表示点,P,0,的某个邻域,点,P,0,的某个去心邻域记作,下页,下页,任意一点,P,R,2,与任意一个点集,E,R,2,之间必有以下三种关系中的一种,点与点集之间的关系,内点,如果存在点,P,的某一邻域,U,(,P,),使得,U,(,P,),E,则称,P,为,E,的内点,外点,如果存在点,P,的某个邻域,U,(,P,),使得,U,(,P,),E,则称,P,为,E,的外点,边界点,如果点,P,的任一邻域内既有属于,E,的点,也有不属于,E,的点,则称,P,点为,E,的边点,边界点,内点,外点,提问,E,的内点、外点、边界点是否都必属于,E,？,E,的边界点的全体,称为,E,的边界,记作,E,聚点,有,E,中的点,则称,P,是,E,的聚点,点集,E,的聚点,P,本身,可以属于,E,也可能不属于,E,例如,设平面点集,E,(,x,y,)|1,x,2,y,2,2,满足1,x,2,y,2,2的一切点(,x,y,)都是,E,的内点,满足,x,2,y,2,1的一切点(,x,y,)都是,E,的边界点,它们都不属于,E,满足,x,2,y,2,2的一切点(,x,y,)也是,E,的边界点,它们都属于,E,点集,E,以及它的界边,E,上的一切点都是,E,的聚点,下页,开集,如果点集,E,的点都是内点,则称,E,为开集,.,下页,闭集,如果点集的余集,E,c,为开集,则称,E,为闭集,举例,点集,E,(,x,y,)|1,x,2,y,2,连通性,有界集,对于平面点集,E,如果存在某一正数,r,使得,E,U,(,O,r,),其中,O,是坐标原点,则称,E,为有界点集,无界集,一个集合如果不是有界集,就称这集合为无界集,点集(,x,y,)|,x,y,1是无界闭区域,点集(,x,y,)|,x,y,1是无界开区域,举例,点集(,x,y,)|1,x,2,y,2,4是有界闭区域,下页,我们把,n,元有序实数组(,x,1,x,2,x,n,)的全体所构成的集合记为,R,n,即,R,n,R,R,R,(,x,1,x,2,x,n,)|,x,i,R,i,1,2,n,2.,n,维空间,x,(,x,1,x,2,x,n,)称为,R,n,中的一个点或一个,n,维向量,x,i,称为点,x,的第,i,个坐标或,n,维向量,x,的第,i,个分量,0,(0,0,0)称为,R,n,中的原点或,n,维零向量,下页,我们把,n,元有序实数组(,x,1,x,2,x,n,)的全体所构成的集合记为,R,n,即,R,n,R,R,R,(,x,1,x,2,x,n,)|,x,i,R,i,1,2,n,线性运算,设,x,(,x,1,x,2,x,n,),y,(,y,1,y,2,y,n,)为,R,n,中任意两个元素,R,规定,x,y,(,x,1,y,1,x,2,y,2,x,n,y,n,),x,(,x,1,x,2,x,n,),这样定义了线性运算的集合,R,n,称为,n,维空间,2.,n,维空间,下页,注：,R,n,中点,x,(,x,1,x,2,x,n,)和点,y,(,y,1,y,2,y,n,)间的距离,记作,(,x,y,),规定,两点间的距离,R,n,中元素,x,(,x,1,x,2,x,n,)与零元,0,之间的距离,(,x,0,)记作|,x,|,即,在,R,1,、,R,2,、,R,3,中,通常将|,x,|记作|,x,|,.,显然,下页,设,x,(,x,1,x,2,x,n,),a,(,a,1,a,2,a,n,),R,n,如果,|,x,a,|,0,则称变元,x,在,R,n,中趋于固定元,a,记作,x,a,显然,x,a,x,1,a,1,x,2,a,2,x,n,a,n,R,n,中变元的极限,平面点集中各种概念的推广,平面点集的一系列概念,可以方便地引入到,n,(,n,3)维空间中来,例如,设,a,R,n,是某一正数,则,n,维空间内的点集,U,(,a,),x,|,x,R,n,(,x,a,),就定义为,R,n,中点,a,的,邻域,首页,注：,二、多元函数概念,下页,举例,二元函数的定义,设,D,是,R,2,的一个非空子集,称映射,f,D,R,为定义在,D,上的二元函数,通常记为,z,f,(,x,y,),(,x,y,),D,(或,z,f,(,P,),P,D,),其中,D,称为该函数的定义域,x,y,称为自变量,z,称为因变量,函数值,与自变量,x,、,y,的一对值(,x,y,)相对应的因变量,z,的值称为,f,在点(,x,y,)处的函数值,记作,f,(,x,y,),即,z,f,(,x,y,),值域,f,(,D,),z,|,z,f,(,x,y,),(,x,y,),D,函数也可以用其它符号,如,z,z,(,x,y,),z,g,(,x,y,)等,把上述定义中的平面点集,D,换成,n,维空间,R,n,内的点集,D,映射,f,D,R,就称为定义在,D,上的,n,元函数,通常记为,u,f,(,x,1,x,2,x,n,),(,x,1,x,2,x,n,),D,或,u,f,(,x,),x,(,x,1,x,2,x,n,),D,或,u,f,(,P,),P,(,x,1,x,2,x,n,),D,二、多元函数概念,二元函数的定义,设,D,是,R,2,的一个非空子集,称映射,f,D,R,为定义在,D,上的二元函数,通常记为,z,f,(,x,y,),(,x,y,),D,(或,z,f,(,P,),P,D,),其中,D,称为该函数的定义域,x,y,称为自变量,z,称为因变量,n,元函数,下页,在一般地讨论用算式表达的多元函数,u,f,(,x,)时,以使这个算式有意义的变元,x,的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域,对这类函数,它的定义域不再特别标出,多元函数的定义域,函数,z,ln(,x,y,)的定义域为,(,x,y,)|,x,y,0,函数,z,arcsin(,x,2,y,2,)的定义域为,(,x,y,)|,x,2,y,2,1,举例,下页,z,=,ax,+,by,+,c,二元函数的图形,点集(,x,y,z,)|,z,=,f,(,x,y,),(,x,y,),D,称为二元函数,z,f,(,x,y,)的图形,.,二元函数的图形是一张曲面,.,z,=,ax,+,by,+,c,表示一张平面,.,举例,方程,x,2,+,y,2,+,z,2,a,2,确定两个二元函数,分别表示上半球面和下半球面,其定义域均为,D,=,(,x,y,)|,x,2,+,y,2,a,2,.,首页,三、多元函数的极限,二重极限的定义,下页,设二元函数,f,(,P,),f,(,x,y,)的定义域为,D,P,0,(,x,0,y,0,)是,D,的聚点,如果存在常数,A,对于任意给定的正数,e,总存在正数,使得当,|,f,(,P,),A,|,|,f,(,x,y,),A,|,成立,则称常数,A,为函数,f,(,x,y,)当(,x,y,),(,x,0,y,0,)时的极限,记为,也记作,注,上述定义的极限也称为二重极限,二重极限概念可以推广到多元函数的极限,.,三、多元函数的极限,二重极限的定义,设二元函数,f,(,P,),f,(,x,y,)的定义域为,D,P,0,(,x,0,y,0,)是,D,的聚点,如果存在常数,A,对于任意给定的正数,e,总存在正数,使得当,|,f,(,P,),A,|,|,f,(,x,y,),A,|,成立,则称常数,A,为函数,f,(,x,y,)当(,x,y,),(,x,0,y,0,)时的极限,记为,也记作,下页,证明,因为,下页,例1,|,f,(,x,y,),0|,必须注意,(1)二重极限存在,是指,P,以任何方式趋于,P,0,时,函数都无限接近于,A,.,(2)如果当,P,以两种不同方式趋于,P,0,时,函数趋于不同的值,则函数的极限不存在,.,提示,讨论,下页,多元函数的极限运算法则,与一元函数的情况类似,.,解,首页,例2,四、多元函数的连续性,二元函数连续性定义,二元函数的连续性概念可相应地推广到,n,元函数,f,(,P,)上去,.,下页,设二元函数,f,(,P,),f,(,x,y,)的定义域为,D,P,0,(,x,0,y,0,)为,D,的聚,点,且,P,0,D,如果,则称函数,f,(,x,y,)在点,P,0,(,x,0,y,0,)连续,如果函数,f,(,x,y,)在,D,的每一点都连续,那么就称函数,f,(,x,y,)在,D,上连续,或者称,f,(,x,y,)是,D,上的连续函数,所以,f,(,x,y,),sin,x,在点,P,0,(,x,0,y,0,)连续,由,P,0,的任意性知,sin,x,作为,x,y,的二元函数在,R,2,上连续,例3,设,f,(,x,y,),sin,x,证明,f,(,x,y,)是,R,2,上的连续函数,证,对于任意的,P,0,(,x,0,y,0,),R,2,因为,类似的讨论可知,一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时,它们在各自的定义域内都是连续的,例3,下页,有洞曲面,有缝曲面,设函数,f,(,x,y,)的定义域为,D,P,0,(,x,0,y,0,)是,D,的聚点,如果函数,f,(,x,y,)在点,P,0,不连续,则称,P,0,为函数,f,(,x,y,)的间断点,函数的间断点,间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点,间断点举例,下页,提示,多元连续函数的和、差、积仍为连续函数,连续函数的商在分母不为零处仍连续,多元连续函数的复合函数也是连续函数,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,多元初等函数的连续性,多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数,这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的,提示,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,下页,根据连续性求极限,如果,f,(,P,)是初等函数,且,P,0,是,f,(,P,)的定义域的内点,则,例4,解,因为,P,0,(1,2)为,D,的内点,所以,D,(,x,y,)|,x,0,y,0,下页,根据连续性求极限,如果,f,(,P,)是初等函数,且,P,0,是,f,(,P,)的定义域的内点,则,例5,解,下页,注,性质1(有界性与最大值最小值定理),在有界闭区域,D,上的多元连续函数,必定在,D,上有界,且能取得它的最大值和最小值,多元连续函数的性质,根据性质1,若,f,(,P,)在有界闭区域,D,上连续,则必定存在常数,M,0,使得对一切,P,D,有|,f,(,P,)|,M,且存在,P,1,、,P,2,D,使得,f,(,P,1,),max,f,(,P,)|,P,D,f,(,P,2,),min,f,(,P,)|,P,D,性质2(介值定理),在有界闭区域,D,上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值,结束,