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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,角平分线的性质,已知,:AOB,求作：,AOB,的平分线,（,1,）以,O,为圆心，适当长为半径作弧，交,OA,于,M,，交,OB,于,N,。,（,2,）分别以,M,、,N,为圆心，大于,1,2MN,的长为半径作弧，两弧在,AOB,的内部交于点,C,。,（,3,）作射线,OC,。射线,OC,即为所求。,A,0,B,M,N,C,做法：,A,O,仔细观察步骤,A,B,O,A,O,E,B,C,P,D,将,AOB,对折,再折出一个直角三角形,(,使第一条折痕为斜边,),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论,?,可以看一看,第一条折痕是,AOB,的平分线,OC,第二次折叠形成的两条折痕,PD,PE,是角的平分线上一点到,AOB,两边的,距离,这两个距离相等,.,折一折,探究,2,：,按照,做一做,的顺序画,AOB,的折痕,OC,过点,P,的垂线段,PD,、,PE,，并度量所画,PD,、,PE,是否等长？,画一画,同学甲,、,乙谁的画法是正确的,?,角平分线上的点到角的两边的距离相等,议一议：由折一折和画一画你可得到什么猜想？,能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话请填下表：,PD=PE,OC,平分,AOB,，,PDOA,PEOB,D,、,E,为垂足,于是我们得角的平分线的性质：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,角平分线的性质定理：,定理,1,角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,B,A,D,O,P,E,C,定理应用所具备的,条件,：,（,1,）角的平分线；,（,2,）点在该平分线上；,（,3,）垂直距离。,定理的作用：,证明线段相等。,应用定理的书写格式：,OP,是 的平分线,PD=PE,（,在角的平分线上的点,到这个角的两边的距离相等。,）,推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。,如图，,AD,平分,BAC,（已知）,=,，,(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（,）,练习：,AD,平分,BAC,DCAC,，,DBAB,（已知）,=,，（）,DB,DC,在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,不必再证全等,如图，,DCAC,，,DBAB,（已知）,=,，,(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（,）,反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？,已知：如图,QDOA,，,QEOB,，,点,D,、,E,为垂足，,QD,QE,求证：点,Q,在,AOB,的平分线上,思考,证明,:,QD,OA,，,QE,OB,（已知），,QDO,QEO,90,（垂直的定义）在,Rt,QDO,和,Rt,QEO,中,QO,QO,（公共边）,QD=QE,Rt,QDO,Rt,QEO,（,HL,）,QOD,QOE,点,Q,在,AOB,的平分线上,已知：如图,QDOA,，,QEOB,，,点,D,、,E,为垂足，,QD,QE,求证：点,Q,在,AOB,的平分线上,这样，我们又可以得到一个结论：,到角的两边距离相等的点在角的平分线上。,例,已知：如图，,ABC,的角平分线,BM,、,CN,相交于点,P.,求证：点,P,到三边,AB,、,BC,、,CA,的距离相等,.,A,B,C,P,M,N,A,B,C,P,M,N,例,已知：如图，,ABC,的角平分线,BM,、,CN,相交于点,P.,求证：点,P,到三边,AB,、,BC,、,CA,的距离相等,.,证明：,过点,P,作,PD,、,PE,、,PF,分别垂直于,AB,、,BC,、,CA,，垂足分别为,D,、,E,、,F,F,D,E,D,E,BM,是,ABC,的角平分线，点,P,在,BM,上,PD=PE,（,在角平分线上的点到角的两边,的距离相等）,同理,PE=PF.,PD=PE=PF.,即点,P,到边,AB,、,BC,、,CA,的距离相等,想一想，点,P,在,A,的 平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？,，,1,、在,RtABC,中，,BD,是角平分线，,DEAB,，垂足为,E,，,DE,与,DC,相等吗？为什么？,A,B,C,D,E,2,、如图,OC,是,AOB,的平分线,点,P,在,OC,上,PDOA,PEOB,垂足分别是,D,、,E,PD=4cm,则,PE=_cm.,A,D,O,B,E,P,C,知识应用,B,思考：,如图所示,OC,是,AOB,的平分线,P,是,OC,上任意一点,问,PE=PD?,为什么,?,O,A,E,D,C,P,PD,PE,没有垂直,OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等,.,思考：,要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺,1,：,20 000,）,公路,铁路,如图，已知,ABC,的外角,CBD,和,BCE,的平分线相交于点,F,，,求证：点,F,在,DAE,的平分线上,证明：,过点,F,作,FGAE,于,G,，,FHAD,于,H,，,FMBC,于,M,G,H,M,点,F,在,BCE,的平分线上，,FGAE,，,FMBC,FG,FM,又点,F,在,CBD,的平分线上，,FHAD,，,FMBC,FM,FH,FG,FH,点,F,在,DAE,的平分线上,利用结论，解决问题,练一练,1,、,如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村,.,要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建,?,拓展与延伸,2,、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有,:,(),A.,一处,B.,两处,C.,三处,D.,四处,分析,:,由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。,练习,2,：,如图,求作一点,P,使,PC=PD,并且点,P,到,AOB,的两边的距离相等,.,C,D,A,B,O,
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