(14工)第六章统计物理学基础课件

,*,*,*,第六章,统计物理学基础,从,物质的微观结构出发,用统计的观点和,方法,求出微观量的统计平均值,以了解宏,观规律的本质,.,6-1,物质的微观结构,热力学系统,：,大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏观体系。,外界,：热力学系统以外的物体。,微观粒子体系的基本特征,(1),分子,(,或原子,),非常微小。,(2,),热力学系统所包含的微观粒子数非常巨大,.,(3),分子之间存在相互作用力分子力,.,(4),分子或原子的运动是杂乱无章的。,宏观量,描,述,热力学系统宏观整体的特征和状态的参量。,如 压强,p,、,体积,V,、,温度,T,等。,微观量,描述单个微观粒子特征和运动状态的物理量。,如分子的质量、,直径,、,速度,、,动量,、,能量,等。,微观量与宏观量有一定的内在联系。,一、系统状态的描,述,6-2,理想气体分子的动理论,在这过程中，各点密度、温度等均不相同，这就是,非平衡态,。但随着时间的推移，各处的密度、压强,、温度,等都达到了均匀，无外界影响，状态保持不变，就是,平衡态,。,设一容器，用隔板将其隔开,，,当隔板右移时，分子向右边扩散,平衡态,:,在,无外界的影响,下，系统所有可观察的宏观性质不随时间改变的稳定状态。,两点说明,：,平衡态是一种,理想状态,处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞， 每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间改变。,平衡态是一种,热动平衡,若系统所受外界影响可以忽略，宏观性质只有很小变化时，可近似看作是平衡态。,物态方程（状态方程）,理想气体,当,系统处于平衡态时，三个状态参量存在一定的函数关系：,例,：氧气瓶的压强降到,10,6,P,a,即应重新充气，以免混入其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为,32,L,，,压强为,1.3,10,7,P,a,，,若每天用,10,5,P,a,的氧气,400,L,，,问此瓶氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。,解,:,根据题意，可确定研究对象为原来气体、用去气体和剩余气体，设这三部分气体的状态参量分别为,使用时的温度为,T,设可供,x,天使用,原有,每天用量,剩余,分别对它们列出状态方程，有,二、分子热运动的无序性和统计规律性,什么是统计规律性？,大量偶然性,从,整体上,所体现出来的,必然性,。,分子热运动,无序性,统计性,单个分子运动情况具有很大的偶然性。,大量分子的集体表现存在一定规律性。,从入口投入小球,与钉碰撞,落入狭槽,(,偶然,),隔板,铁钉,伽尔顿板实验,再投入小球：,经一定段时间后,大量小球落入狭槽。,分布情况：,中间多，两边少。,重复几次 ，结果相似。,单个小球运动是随机的,大量小球运动分布是确定的。,小球数按空间,位置 分布曲线,伽尔顿板实验,统计规律特点,:,(1),只对大量偶然的事件才有意义,.,(2),它是不同于个体规律的整体规律,.,(3),大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。,统计物理学的任务,:,对平衡态下的热现象进行微观描述，然后运用统计的方法求得：,(1),宏观量与微观量的统计平均值的关系，揭示宏观量的微观本质；,(2),平衡态下微观量的统计分布。,三、 统计的基本概念,1.,概率,如果,N,次试验中出现,A,事件的次数为,N,A,当,N,时，比值,N,A,/N,称为出现,A,事件的,概率,。,(2),各种可能发生的事件的概率总和等于,1.,概率归一化条件,概率的性质,:,(1),概率取值域为,2.,概率分布函数,随机变量,在确定条件下，一个变量以确定的不相同的概率取各种不同的值，称这个变量为随机变量。,(1),离散型随机变量,取值有限、分立,表示方式,随机变量,x,的,概率密度,变量取值在,x,x,+d,x,间隔内的概率,概率密度等于随机变量取值在单位间隔内的概率。,(2),连续型随机变量,取值无限、连续,又称为,概率分布函数,（简称分布函数）。,3.,统计平均值,算术平均值,统计平均值,对于离散型随机变量,随机变量的统计平均值等于一切可能状态的概率与其相应的取值 乘积的总和。,对于连续型随机变量,统计平均值,比较！,四、,理想气体的微观模型和,统计假设,1.,理想气体微观模型,分子本身的大小比起它们之间的平均距离可忽略不计。,除,碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。,分子间的碰撞是完全弹性的。,分子所受重力忽略不计。,理想气体分子是弹性的自由运动的质点。,2 .,统计假设,容器内任一位置附近单位体积内的分子数不比其他位置占优势；,分子沿任一方向的运动不比其他方向的运动占优势。,分子数密度处处相等；,分子速度在各方向上的分量的各种平均值相等。,五理想气体的压强公式,一定质量的处于平衡态的某种理想气体。,(,V,N,m,),平衡态下器壁各处压强相同，选,A,1,面求其所受压强。,i,分子与器壁碰撞一次动量增量,i,分子对器壁的冲量,i,分子相继与,A,1,面碰撞的时间间隔,单位时间内,i,分子对,A,1,面的碰撞次数,单位时间内,i,分子对,A,1,面的冲量,i,分子对,A,1,面的平均冲力,所有分子对,A,1,面的平均作用力,压强,分子的平均平动动能,平衡态下,六、,分子的平均平动动能与温度的关系,温度是气体分子平均平动动能大小的量度,气体分子的,方均根速率,大量分子速率的平方平均值的平方根,气体分子的方均根速率与气体的热力学温度的平方根成正比，与气体的摩尔质量的平方根成反比。,例,:,在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加热，使它的温度从,27,0,C,升到,177,0,C,，,体积减少一半，这时气体分子的平均平动动能变化多少？,解：,1.,自由度,确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。,以,刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例,七、,能量按自由度均分定理,单,原子分子,平动自由度,t,=3,双原子分子,平动自由度,t,=3,转动自由度,r,=2,三原子或三原子以上的分子,平动自由度,t,=3,转动自由度,r,=3,实际气体不能看成刚性分子，因原子之间还有振动,.,2.,能量按自由度均分定理,气体分子沿,x,y,z,三个方向运动的,平均平动动能完全相等,，可以认为分子的平均平动动能,均匀分配,在每个平动自由度上。,平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可能自由度的平均动能都是,.,能量按自由度均分定理,如果某种气体的分子有个,t,个平动自由度,r,个转动自由度,s,个振动自由度,.,则分子具有：,平均,平动,动能,平均,转动,动能,平均,振动,动能,常温下，,气体分子,振动动能可忽略,，则分子的平均动能为,八、理想气体的内能,分子间相互作用可以忽略不计,分子间相互作用的势能,=0,理想气体的内能,=,所有分子的热运动动能之总和,1,mol,理想气体的内能为,一定质量理想气体的内能为,温度改变，内能改变量为,例,就质量而言，空气是由,76%,的,N,2,，,23%,的,O,2,和,1%,的,Ar,三种气体组成，它们的分子量分别为,28,、,32,、,40,。空气的摩尔质量为,28.9,10,-3,kg,，,试计算,1,mol,空气在标准状态下的内能。,解,： 在,1,摩尔空气中,N,2,质量,摩尔数,O,2,质量,摩尔数,1,mol,空气在标准状态下的内能,A,r,质量,摩尔数,麦克斯韦,速率,分布律,麦克斯韦,速率,分布函数,一、麦克斯韦速率分布律,1859,年由麦克斯韦应用统计概念从理论上推导出理想气体速率分布定律。,6-3,麦克斯韦,分子速率分布律,f,(,v,),f,(,v,p,),v,v,p,v,1,v,2,分子出现在,v,1,v,2,区间内的概率,曲线下的总面积恒等于,1,归一化条件,下列各表达式的物理意义：,？,思考,f(v,),v,速率分布曲线从原点出发，经一极大值后，随速率的增加而渐近于横坐标轴。即速率很大和很小的分子所占比率实际上都很小，具有中等速率的分子所占比率较大。,1,、最概然速率,与,分布函数,f,(,v,),的极大值相对应的速率,极值条件,分子速率的三个统计值,2,、平均速率,大量分子速率的统计平均值,速率是连续型随机变量,3,、方均根速率,大量分子速率的平方平均值的平方根,M,mol,RT,m,kT,v,3,3,2,=,=,f(v),v,都与 成正比，,与 （或 ）成反比,1,、温度与分子速率,温度越高，分布曲线中的最,概然,速率,v,p,增大，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线宽度增大，高度降低。,麦克斯韦分布曲线的性质,f,(,v,),f,(,v,p,3,),v,f,(,v,p,1,),f,(,v,p,2,),T,1,T,3,T,2,1273,K,273,K,73,K,f,(,v,),500,1000,1500,v,O,2,氧气分子分布函数和温度的关系,例,如图所示两条曲线分别表示同种理想气体分子在温度,T,1,、,T,2,时的麦克斯韦速率分布曲线。已知,T,1,T,2,，,阴影部分面积为,S,0,，,求曲线,1,对应的最概然速率为多少？温度分别为,T,1,、,T,2,时，分子速率小于,v,p,2,的分子的概率之差为多少？,f,(,v,),v,v,p,2,T,1,T,2,O,曲线,2,的最概然速率为,曲线,1,的最概然速率为,f,(,v,),v,v,p,2,T,1,T,2,O,温度分别为,T,1,、,T,2,时，分子速率小于,v,p,2,的分子的概率之差等于,v,p,2,之左，曲线,1,、,2,所夹的无阴影面积。,该无,阴影区面积为,1-,S,0,f,(,v,),v,v,p,2,T,1,T,2,O,2,、质量与分子速率,分子质量越大，分布曲线中的最概然速率,v,p,越小，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线宽度减小，高度升高。,f,(,v,),f,(,v,p,3,),v,f,(,v,p,1,),f,(,v,p,2,),M,1,mol,M,2,mol,M,3,mol,例：,有,N,个气体分子，其速率分布函数为,试求,: (1),常数,A,；,(2),最概然速率，平均速率和方均根速率；,(3),速率介于,0,v,0,/3,之间的分子数；,(4),速率介于,0,v,0,/3,之间的气体分子的平均速率。,解,：,(1),气体分子的分布曲线如图,由,归一化条件,(2),最概然速率由,决定，即,平均速率,方均根速率,(3),速率,介于,0,v,0,/3,之间的分子数,(4),速率,介于,0,v,0,/3,之间的气体分子平均速率为,讨论,速率,介于,v,1,v,2,之间的气体分子的平均速率的计算,对于,v,的某个函数,g,(,v,),，,一般地，其平均值可以表示为,氮气分子在,27,0,C,时的,平均速率为,476,m,.,s,-1,.,矛盾,气体分子热运动平均速率高，,但气体扩散过程进行得相当慢。,克劳修斯指出,：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。,气体分子平均速率,二、平均碰撞频率和平均自由程,在,相同的,t,时间内，分子由,A,到,B,的位移大小比它的路程小得多,扩散速率,(,位移量,/,时间,),平均速率,(,路程,/,时间,),分子,自由程,:,气体分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。,分子,碰撞频率,:,在单位时间内一个分子与其他分子碰撞的次数。,一秒钟内分子,A,经过路程为,一秒钟内,A,与其它分子发生碰撞的平均次数,平均自由程,与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比,.,当,温度恒定时,平均自由程与气体压强成反比,.,大量分子的分子自由程与每秒碰撞次数服从统计分布规律。可以求出平均自由程和平均碰撞,频率,。,例,计算空气分子在标准状态下的平均自由程和平均碰撞频率。取分子的有效直径,d=,3.5,10,-10,m,。,已知空气的平均分子量为,29,。,解,：,已知,空气摩尔质量为,29,10,-,3,kg,/,mol,空气分子在标准状态下的平均速率,若,气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中,气体分子在空间位置不再呈均匀分布,三、 玻耳兹曼能量分布定律,粒子数按势能分布,为势能等于零处的分子数密度,重力场中粒子按高度的分布,由,气体状态方程,重力场中粒子按高度的分布规律,等温气压公式,式中,p,0,为,h,=0,处的,大气压强，,p,为,h,处的大气压强，,m,是大气分子质量。,大气密度和压强随高度增加按指数规律减小（高空空气稀薄，气压低）,两边取对数,测知地面和高空处的压强与温度，可估算所在高空离地面的高度。,