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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3 差商及,Newton,插值多项式,一、差商及其性质,Lagrange,插值多项式的优点是格式整齐规范，但其缺点是：当需要增加节点时，其基函数都要发生变化，需要重新计算，这在实际计算中会影响效率。下面介绍的,Newton,插值法会弥补这一不足,。,设,y=f,(,x,)在,n+,1,个互异点,x,0,x,1,x,n,处的函数值为,：,则称,为,f,(,x,),关于点,x,i,x,j,的一阶差商。,称,为,f,(,x,),关于点,x,i,x,j,x,k,的二阶差商。,一般地，称,k-,1,阶差商的一阶差商,为,f,(,x,),关于点 的,k,阶差商,。,例如，已知,f,(,x,),在,的函数值为：,可以求得,2.,差商的性质,性质1：,k,阶差商,是由函数值,的线性组合而成，即,其中,证明：以,k=,2,进行证明。由,得到,由,得到,从而,证明：以,k=,1,为例,性质2:差商具有对称性,即,k,阶差商,f,x,0,x,1,x,k,-1,x,k,中，任意调换,x,i,x,j,的次序，其值不变。,以,k=,2,为例,所以,性质3：若,f,(,x,),为,n,次多项式，则,f,x,x,0,为关于,x,的,n-,1,次多项式。,证明：已知,故,类似的可以得到：,也就是说，对多项式求一次差商，次数降低一次。,由于是的根，所以,为构造,Newton,插值多项式方便起见，计算差商时，采用列表的方式进行。,例 已知函数,y,=,f,(,x,),的如下离散数据,(1,0)、(2,2)、(4,12)、(5,20)、(6,70),，试求其各阶差商.,解：列差商表计算,x,y,一阶差商,二阶差商,三阶差商,四阶差商,1,0,2,2,4,12,5,20,6,70,2,5,8,50,1,1,21,0,5,1,二、,Newton,插值多项式,对于区间,a,b,内的离散点 及相应的函数值 ，计算如下差商：,可以求得：,因为Newton插值多项式与Lagrange插值多项式满足相同的插值条件，由插值多项式的存在唯一性知,例 已知函数 y=f(x)的如下离散数据(1,0)、(2,2)、(4,12)、(5,20)、(6,70)，试求其各阶差商.,因为Newton插值多项式与Lagrange插值多项式满足相同的插值条件，由插值多项式的存在唯一性知,如果，再增加一点(6,282),就在上表中增加一行计算差商。,Nn(x)=Ln(x),因为Newton插值多项式与Lagrange插值多项式满足相同的插值条件，由插值多项式的存在唯一性知,这个表达式给出了 n+1 阶差商与 n+1 阶导数之间的关系式。,为n次Newton插值多项式。,为f(x)关于点 的 k 阶差商。,由于是的根，所以,则可以将函数 f(x)表示成：,例4 已知f(x)的五组数据(1,0)、(2,2)、(3,12)、(4,42)、(5,116),求 N4(x)。,Newton插值多项式具有递推式,为f(x)关于点 的 k 阶差商。,掌握Newton插值多项式的误差结果,如果 f(x)Nn(x),则误差为：,依次类推得到：,令：,则可以将函数,f,(,x,),表示成：,容易验证,因此,N,n,(,x,),满足插值条件，是一个,n,次插值多项式。,并称,为,n,次,Newton,插值多项式。,如果,f,(,x,),N,n,(,x,),则误差为：,验证,由Newton公式的递推式得到：,则可以将函数 f(x)表示成：,为f(x)关于点 xi,xj,xk 的二阶差商。,为f(x)关于点 xi,xj 的一阶差商。,如果，再增加一点(6,282),就在上表中增加一行计算差商。,这个表达式给出了 n+1 阶差商与 n+1 阶导数之间的关系式。,由此可知：当求出n次插值多项式后，再增加一个节点时，只需要增加一项的计算即可。,如果，再增加一点(6,282),就在上表中增加一行计算差商。,因此，Newton插值多项式与Lagrange插值多项式的误差相同。,Nn(x)=Ln(x),证明：以k=2进行证明。,由Newton插值多项式的结构可以看出，在构造Newton插值多项式时，必须首先计算各阶差商。,因此 Nn(x)满足插值条件，是一个 n 次插值多项式。,也就是说，对多项式求一次差商，次数降低一次。,掌握Newton插值多项式的误差结果,由于是的根，所以,如何实现差商表和Newton插值多项式的程序设计。,验证,因,所以,依此类推,证毕,关于,Newton,插值多项式，有以下几个特点：,1,Newton,插值多项式与,同次Lagrange,插值多项式相同，因而误差相同,因为,Newton插值多项式与Lagrange,插值多项式满足相同的插值条件，由插值多项式的存在唯一性知,因此，,Newton插值多项式与Lagrange,插值多项式的误差相同。这样，由,N,n,(,x,)=,L,n,(,x,),得到,这个表达式给出了,n+,1,阶差商与,n+,1,阶导数之间的关系式。,例3 已知,，试求其如下差商,解：由差商与导数的关系式,得到,2.,Newton,插值多项式具有递推式,由,可知,所以，具有递推公式：,由此可知：当求出,n,次插值多项式后，再增加一个节点时，只需要增加一项的计算即可。,由,Newton插值多项式的结构可以看出，在构造Newton,插值多项式时，必须首先计算各阶差商。,3.,Newton,插值多项式的构造,例4 已知,f,(,x,),的五组数据(,1,0)、(2,2)、(3,12)、(4,42)、(5,116),求,N,4,(,x,),。如果再增加一个节点,(6,282),求出,N,5,(,x,),，并计算,N,4,(1.5),、N,5,(1.5).,解：先由前五组数据列差商表,1,0,2 2,3 12,4 42,5 116,2,10,30,74,4,10,22,2,4,得到：,如果，再增加一点,(6,282),就在上表中增加一行计算差商。,6 282,166,46,8,1,由,Newton,公式的递推式得到：,得到：,练习题：已知离散数据,(1,0)、(2,2)、(4，12）、(5,20),求三次,Newton,插值多项式，增加一点(6,70)后，,再求出四次,Newton,插值多项式。,Newton插值多项式：,因此 Nn(x)满足插值条件，是一个 n 次插值多项式。,由Newton公式的递推式得到：,这个表达式给出了 n+1 阶差商与 n+1 阶导数之间的关系式。,则可以将函数 f(x)表示成：,掌握Newton插值多项式的误差结果,Nn(x)=Ln(x),因此，Newton插值多项式与Lagrange插值多项式的误差相同。,练习题：已知离散数据(1,0)、(2,2)、(4，12）、(5,20),由此可知：当求出n次插值多项式后，再增加一个节点时，只需要增加一项的计算即可。,由此可知：当求出n次插值多项式后，再增加一个节点时，只需要增加一项的计算即可。,为f(x)关于点 xi,xj,xk 的二阶差商。,关于Newton插值多项式，有以下几个特点：,本节,(3),要点,1.,掌握差商及其性质，导数与差商的关系,2.,掌握,Newton,插值多项式的构造方法及具体结构,3.,掌握,Newton,插值多项式的误差结果,Newton,插值多项式计算程序进行实际计算,思考题：,如何实现差商表和,Newton,插值多项式的程序设计,。,关于离散数据：,构造了,lagrange,插值多项式：,Newton,插值多项式：,根据问题需要，有时还需要构造分段插值多项式，下面加以介绍,
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