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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,1,第九章 拉普拉斯变换,9.4 Laplace,变换的,应用及综合举例,9.4,Laplace,变换的应用及综合举例,三、,利用,Matlab,实现,Laplace,变换,一、求解常微分方程,(组),二、,综合举例,*,第1页，共26页。,一、求解常微分方程,(组),步骤,得到象函数,求,解,微分方程(组),象函数的,代数方程(组),Laplace,正变换,微分方程(组),的解,Laplace,逆变换,(1)将,微分方程(组)化为象函数的代数方程(组)；,(2)求解代数方程得到象函数；,(3)求,Laplace,逆变换得到,微分方程(组)的,解。,工具,第2页，共26页。,对方程两边取,Laplace,变换，有,(2)求,Laplace,逆变换，得,解,(1)令,代入初值即得,P218 例9.6,第3页，共26页。,对方程两边取,Laplace,变换，并代入初值得,(2)求,Laplace,逆变换，得,解,(1)令,求解此方程得,第4页，共26页。,对方程组两边取,Laplace,变换，并代入初值得,解,(1)令,求,解得,整理得,P229 例9.19,第5页，共26页。,解,(1)令,求,解得,(2)求,Laplace,逆变换，,得,第6页，共26页。,对方程组两边取,Laplace,变换，并代入初值得,解,(1)令,求,解得,(2)求,Laplace,逆变换，,得,第7页，共26页。,如图，,解,由于,利用,线性性质,及,延迟性质,有,1,1,函数,可写为,二、,综合举例,P231 例9.21,第8页，共26页。,对方程两边取,Laplace,变换，并代入初值有,解,(1)令,(2)求,Laplace,逆变换，得,第9页，共26页。,对方程两边取,Laplace,变换有,(2)求,Laplace,逆变换，得,解,(1)令,第10页，共26页。,对方程两边取 Laplace 变换，并代入初值得,利用线性性质及延迟性质有,syms t;,(1)F=laplace(f),clear;,对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得,syms s;,位置 处开始运动，,其中，exp为指数函数。,(2)求 Laplace 逆变换，得,Matlab 程序,由 Kirchhoff 定律知，,(2)求 Laplace 逆变换，得,整理得,对方程组两边取,Laplace,变换，并代入初值得,解,(1)令,求解得,第11页，共26页。,解,(1)令,求解得,(2)求,Laplace,逆变换，,得,第12页，共26页。,对方程组两边取,Laplace,变换，并代入初值得,解,(1)令,第13页，共26页。,解,(1)令,(2)求,Laplace,逆变换，,得,第14页，共26页。,(2)令,(3)求,Laplace,逆变换，,得,解,(1)由于,因此原方程为,在方程两边取,Laplace,变换得,P232 例9.24,(跳过?),第15页，共26页。,求,Laplace,逆变换，得物体的运动方程为,根据,Newton,定律有,解,设物体的运动方程为,在方程两边取,Laplace,变换得,令,P230,例,9.20,第16页，共26页。,求解此方程得,求Laplace逆变换，得,设有如图所示的,R,和,L,串联电路，在 时刻接到直流,例,K,E,L,R,电势,E,上，求电流,由,Kirchhoff 定律知，,解,满足方程,在方程两边取,Laplace,变换得,令,P233 例9.25,第17页，共26页。,解,(1)由,Newton,定律及,Hooke,定律有,即物体运动的微分方程为,位置 处开始运动，,的外力为 。,例,质量为,m,的物体挂在弹簧系数为,k,的弹簧一端,(如图),若物体自静止平衡,求该物体,的运动规律,，作用在物体上,(跳过?),第18页，共26页。,的外力为 。,位置 处开始运动，,对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得,求函数 的 Laplace 变换。,对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得,对方程两边取 Laplace 变换，并代入初值有,Matlab 程序,在方程两边取 Laplace 变换得,对方程两边取 Laplace 变换，并代入初值得,Matlab 程序,syms s;,对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得,设物体的运动方程为,(2)求 Laplace 逆变换，得,设有如图所示的 R 和 L 串联电路，在 时刻接到直流,解,(1),对方程组两边取,Laplace,变换，并代入初值得,(2)令,记,有,当 具体给出时，即可以求的运动方程,并利用卷积定理有,(3)由,第19页，共26页。,解,利用卷积定理有,当 具体给出时，即可以求的运动方程,(3)由,此时,可见，在冲击力的作用下，运动为正弦振动，,振幅为,角频率为,称 为该系统的,自然频率,或,固有频率,。,设物体在,时受到冲击力,例如,A,为常数。,第20页，共26页。,在数学软件,Matlab,的符号演算工具箱中，提供了专用函数,来进行,Laplace,变换与,Laplace,逆变换。,(1),F,=,laplace,(,f,),对函数,f,(,t,),进行 Laplace 变换，,三、,利用,Matlab,实现,Laplace,变换,*,对并返回结果,F,(,s,),。,(2),f,=,ilaplace,(,F,),对函数,F,(,s,),进行 Laplace 逆变换，,对并返回结果,f,(,t,),。,补,(跳过?),第21页，共26页。,解,Matlab,程序,clear;,syms t;,f=t*exp(,-,3*t)*sin(2*t);,F=laplace(f)；,F=4/(s+3)2+4)2*(s+3),输出,求函数 的,Laplace,变换。,例,即,第22页，共26页。,解,Matlab,程序,clear;,syms t;,f=sin(t)/t;,F=laplace(f),;,其中，,atan,为,反正切函数。,F=atan(1/s),输出,求函数 的,Laplace,变换。,例,即,第23页，共26页。,解,Matlab,程序,clear;,syms s;,F=(s2+2*s+1)/(s2-2*s+5)/(s-3);,f=ilaplace(F),;,其中，,exp为,指数函数。,f=2*exp(3*t)-exp(t)*cos(2*t)+exp(t)*sin(2*t),输出,求函数 的,Laplace,逆变换。,例,即,第24页，共26页。,解,Matlab,程序,clear;,syms s;,F=exp(-s)/(s-1);,f=ilaplace(F),;,求函数 的,Laplace,逆变换。,例,f=Heaviside(t-1)*exp(t-1),输出,其中，,Heaviside为,单位阶跃函数,即,第25页，共26页。,休息一下,第26页，共26页。,
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