教育专题：111平均变化率

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,高中数学,选,修,-,1.1.1,平均变化率,问题情境,法国,队报,网站的文章称刘翔以不可思议,的速度统治了赛场这名,21,岁的中国人跑的几乎比,炮弹还快赛道上显示的,12.94,秒的成绩已经打破了,12.95,秒的奥运会纪录，但经过验证他是以,12.91,秒,的成绩追平了世界纪录，他的平均速度达到了,8.52m/s,t/,s,20,30,34,2,10,20,30,A,(1,，,3.5),B,(32,，,18.6),O,S/,m,2,10,某人走路的第,1,秒到第,34,秒的位移时间图象如图所示：,C(34,，,33.4),t/,s,20,30,34,2,10,20,30,A,(1,，,3.5),B,(32,，,18.6),O,2,10,S/,m,14.8,15.1,C,(34,，,33.4),问题,1,从,A,到,B,的位移是多少？从,B,到,C,的位移是多少？,问题,2,从,A,到,B,这一段与从,B,到,C,这一段，你感觉哪一段的位移变化得较快？,AB,段位移增加得,平缓,，,BC,段位移则是,陡然增加,（,3,）,曲线上,BC,之间一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程度？,（,1,）的大小能否作为量化,BC,段陡峭的程度的量？,在考察 的同时必须考察,学生活动,（,2,）还必须考察什么量？,案例中，从,B,到,C,位移,“,陡增,”,，这是我们从图像中的直观感觉，那么如何,量化,陡峭程度呢？,t,(s,),20,30,34,2,20,30,A,B,O,C,s,(m),2,10,t,/s,20,30,34,2,10,20,30,A,(1,，,3.5),B,(32,，,18.6),O,C,(34,，,33.4),S/,m,2,10,联想到用斜率来量化直线的倾斜程度，我们用比值：,来,近似地量化,B,，,C,之间这一段曲线的陡峭程度，,并称该比值为,位移在区间,32,，,34,上的平均变化率,20,30,34,2,10,20,30,A,(1,3.5),B,(32,18.6),O,C,(34,33.4),S/m,2,10,位移在区间,1,，,32,上的平均变化率为：,位移在区间,32,，,34,上的平均变化率为：,虽然点,A,，,B,之间的位移差与点,B,，,C,之间的位移差几乎相同，但它们的平均变化率却相差很大,t,/s,一般地，函数,f,(,x,),在区间,x,1,，,x,2,上的平均变化率为,曲线陡峭程度是平均变化率的,“,视觉化,”,平均变化率是曲线陡峭程度的,“,数量化,”,，,建构数学,注意：不能脱离区间而言,则,平均变化率,即为,若设,即将 看作是对于 的一个“增量”,一般地，函数,f,(,x,),在区间,x,1,，,x,2,上的平均变化率为,O,A,B,x,y,y=,f(x,),x,1,x,2,f,(,x,1,),f,(,x,2,),x,2,x,1,x,f,(,x,2,),f,(,x,1,),y,直线,AB,的斜率,观察函数,f,(,x,),的图象,，,平均变化率,表示直线,AB,的什么,?,思考：,一般地，函数,f,(,x,),在区间,x,1,，,x,2,上的平均变化率为,例,1,某婴儿从出生到第,12,个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第,3,个月与第,6,个月到第,12,个月该婴儿体重的平均变化率,t,/,月,W,/kg,6,3,9,12,3.5,6.5,8.6,11,数学运用,t,/,月,W,/kg,6,3,9,12,3.5,6.5,8.6,11,解从出生到第,3,个月，婴儿体重平均变化率为,从第,6,个月到第,12,个月，婴儿体重平均变化率为,如何解释从出生到第,3,个月，婴儿体重平均变化率为,1,（,kg/,月）,？,不同的区间上平均变化率可能不同,本题中两个不同平均变化率的实际意义是什么？,(kg,/,月,),(kg,/,月,),例,2,水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，,t,s,后容器甲中水的体积,V,(,t,),52,0.1,t,（单位：,cm,3,），,试计,算第一个,10s,内,V,的平均变化率,问题,1,例,2,中的平均变化率的实际意义是什么？,解在第一个,10s,内，体积,V,的平均变化率为,平均变化率可正可负,问题,2,负号表示容器甲中的水在减少，但是否表示,10,秒内每一时刻容器甲中水的体积减少的速度呢？,甲,乙,问题,3,乙容器中水的体积平均变化率为多少？,甲,乙,解在第一个,10s,内，体积,V,的平均变化率为,例,2,水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，,t,s,后容器甲中水的体积,V,(,t,),52,0.1,t,（单位：,cm,3,），,试计,算第一个,10s,内,V,的平均变化率,例,3,已知函数,f,(,x,),2,x,1,，,g,(,x,),2x,分别计算在区间,3,，,1,，,0,，,5,上,f,(,x,),及,g,(,x,),的平均变化率,你在解本题的过程中有没有发现什么？,一次函数,y,kx,b,在区间,m,，,n,上的平均变化率等于斜率,k,A,B,O,x,y,y,=,f,(,x,),x,1,x,2,f,(,x,1,),f,(,x,2,),x,y,你能解释为什么会出现这一现象吗？,例,4,已知函数 ，分别计算 在下列区间上的平均变化率：,（,1,）,1,，,3,；,（,2,）,1,，,2,；,（,3,）,1,，,1.1,；,（,4,）,1,，,1.001,；,x,y,1,3,o,2,1.1,函数在 的平均变化率：,多算几次，找找规律,你在解本题的过程中有没有发现什么？,练习,1,在寓言龟兔赛跑中，从比赛开始到结束的这一段时间,(,规定有一方到达终点则比赛结束,),，是乌龟的位移平均变化率大还是兔子的位移平均变化率大？为什么？,课堂练习,练习,2,下图中白线是一天内某个股票的走势图，试从平均变化率的角度分析这支股票在下列时间段的涨跌情况,09:30,至,11:00,11:00,至,11:30 14:00,至,14:07,14:07,至,15:00,09:30,至,11:00,价格的平均变化率为,11:00,至,11:30,价格的平均变化率为,14:00,至,14:07,价格的平均变化率为,14:07,至,15:00,价格的平均变化率为,解,(,元,/,小时,),(,元,/,小时,),(,元,/,小时,),(,元,/,小时,),1,.,平均变化率,一般的，函数,f,(,x,),在区间上,x,1,，,x,2,的平均变化率为,回顾反思,平均变化率,近似,的刻画了曲线在某,区间,上的变化趋势，那么，,2.,反思,如何精确的刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？,平均变化率不能脱离区间而言，不同区间上平均变化率可能不同,平均变化率可正可负可为零，,正负号,分别表示变化量的增加或减少,平均变化率的绝对值的大小,反映变化量变化的快慢程度,平均变化率的几何意义：连接区间两端点直线的斜率,课外作业,预习第,1.1.2,节瞬时变化率,-,导数,2.,课本,P7,练习,2,；,P16,习题,1.1,第,1,题,3.,下图中记载着刘翔在雅典奥运会,110,米栏中的比赛数据，试计算各个阶段刘翔位移的平均变化率,2.421s,0.959s,1.004s,0.994s,0.981s,1.021s,0.962s,0.999s,1.507s,1.038s,1.024s,50.28m,59.72m,6.,362s,6.,548s,9.14m,9.14m,13.72m,14.02m,32.00m,4.379s,45.70m,4.962s,32.30m,3.569s,