高阶导数与隐函数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.3,高阶导数、高阶偏导数,一、高阶导数,二、高阶偏导数,一、高阶导数的定义,问题,:,变速直线运动的加速度,.,定义,瞬时速度为路程,对时间的变化率,记作,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为,高阶导数,.,二阶导数的导数称为三阶导数,二、高阶导数求导法则,例,解,直接法,:,由,高阶导数的定义,逐步求高阶导数,.,例,设,求,例,设,例,设,求,求,例,解,求,n,阶导数时,求出,1-3,或,4,阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出,n,阶导数,.(,数学归纳法,),注意,:,三、几个初等函数的,n,阶导数公式,例,解,同理可得,例,解,二、高阶偏导数的概念与计算,设,z=f,(,x,y,),在域,D,内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是,z=f,(,x,y,),的,二阶偏导数,.,按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导,数,:,类似可以定义更高阶的偏导数,.,例如，,z=f,(,x,y,),关于,x,的三阶偏导数为,则,定理,.,本定理对,n,元函数的高阶混合导数也成立,.,(,证明略,),例如,对三元函数,u=f,(,x,y,z,),当三阶混合偏导数,在点,(,x,y,z,),连续,时,有,例,.,求函数,解,:,的二阶偏导数及,说明,:,函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序,.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数,而初等,注意,:,但这一情形并不总成立,.,例,.,证明函数,满足拉普拉斯,证：,利用对称性,有,方程,思考,:,设,二阶偏导数连续,证明下列表达式在极坐标,系下的形式,:,3.4,参数方程与隐函数方程微分法,一、参数方程确定的函数求导,二、隐函数确定的函数求导,一、由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个,y,与,x,之间的函数,可导,且,则,时,有,时,有,(,此时看成,x,是,y,的函数,),关系,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数,.,利用新的参数方程,可得,例,1:,解,:,求,例,.,设,且,求,解,:,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为,相关变化率,二、隐函数方程确定的函数求导,若由方程,可确定,y,是,x,的函数,由,表示的函数,称为,显函数,.,例如,可确定显函数,可确定,y,是,x,的函数,但此隐函数不能显化,.,函数为,隐函数,.,则称此,隐函数,求导方法,:,两边对,x,求导,(,含导数 的方程,),例,.,求由方程,在,x,=0,处的导数,解,:,方程两边对,x,求导,得,因,x,=0,时,y,=0,故,确定的隐函数,例,.,求椭圆,在点,处的切线方程,.,解,:,椭圆方程两边对,x,求导,故切线方程为,即,例,对,x,求导,两边取对数,解,:,求导函数,?,下面利用偏导数来考虑隐函数方程确定的函数求导问题,.,定理,1.,设函数,则方程,单值连续函数,y=f,(,x,),并有连续,(,隐函数求导公式,),定理证明从略,.,具有连续的偏导数,;,的,某邻域内,可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,导数,例,.,验证方程,在点,(0,0),某邻域,可,确定一个,单值可导隐函数,解,:,令,连续,由 定理,1,可知,导的隐函数,则,在,x=,0,的某邻域内方程存在单值可,且,求,两边对,x,求导,两边再对,x,求导,令,x,=0,注意此时,导数的另一求法,利用隐函数求导,定理,2.,若函数,的某邻域内具有,连续偏导数,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数,z=f,(,x,y,),定理证明从略,.,满足,在点,满足,:,某一邻域内可唯一确,例,.,设,解法,1,利用隐函数求导,再对,x,求导,解法,2,利用公式,设,则,两边对,x,求偏导,作业,P95-96 18(2)(4),19(1),20,21(2),22,;,23(1)(2),24(2)(4)(5),25,27;,