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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,章末整合提升,热点一 一元二次方程的解法,一元二次方程的常用解法有四种：直接开平方降次法；,配方法；因式分解法；公式法对给定的一元二次方程，,依据其特点，应首先判断能否使用直接开平方降次法，利用该,方法所解的方程类型有,(,ax,b,),2,c,(,c,0),与,(,ax,b,),2,(,cx,d,),2,两种；其次是因式分解法，方程的右边化为,0,后，判断左边能,否进行因式分解，常用的因式分解方法是提公因式法和公式法；,最后是公式法，将方程化为一般形式,ax,2,bx,c,0(,a,0),后，,当,b,2,4,ac,0,时，代入求根公式,x,求得方程的,两个实数根；如果没有特殊说明，一般不用配方法求解,【,例,1,】,我们知道，一元二次方程主要有四种解法，分别,是：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法请在以下,四个方程中任选一个，并用合适的方法解方程,(1)2,x,2,7,x,5,0; (2)3,x,2,12,x,0,；,(3)2(,x,6),2,72;,(4),x,2,4,x,5.,解：,(,以下任答出,1,个即可,),(1)2,x,2,7,x,5,0,(2,x,5)(,x,1),0,，,(2)3,x,2,12,x,0,，,3,x,(,x,4),0,，,解得,x,1,0,，,x,2,4.,(3)2(,x,6),2,72,，,(,x,6),2,36,，,x,6,6.,即,x,1,12,，,x,2,0.,(4),x,2,4,x,5,，,(,x,2),2,9,，,x,2,3,，,x,23,，,即,x,1,5,，,x,2,1.,【,跟踪训练,】,1,一元二次方程,x,2,2,x,的根是,(,),C,A,x,2,C,x,1,0,，,x,2,2,B,x,0,D,x,1,0,，,x,2,2,2,方程,2,x,(,x,3),0,的解是,_,x,1,0,，,x,2,3,3,解方程：,x,2,4,x,1,0.,解：,x,2,4,x,1,0,，,x,2,4,x,1.,x,2,4,x,4,1,4.,(,x,2),2,5.,热点二,一元二次方程根的判别式,一元二次方程根的判别式：,当,b,2,4,ac,0,时，原方程有两个不相等的实数根；,当,b,2,4,ac,0,时，原方程有两个相等的实数根；,当,b,2,4,ac,0,时，原方程没有实数根,4(,m,2),2,4(,m,2,1)0,，解得,m, .,综上所述，,m,.,【,例,2,】,若关于,x,的方程,(,m,2,1),x,2,2(,m,2),x,1,0,有实,数根，求,m,的取值范围,解：,当,m,2,1,0,且,m,20,时，方程为一元一次方程，,有一个实数根；,当,m,2,10,时，原方程为一,元二次方程，依题意，判别式,【,跟踪训练,】,4,已知关于,x,的一元二次方程,(,a,1),x,2,2,x,1,0,有两个,不相等的实数根，则,a,的取值范围是,(,),C,A,a,2,C,a,2,且,a,1,B,a,2,D,a,2,5,当,k,_,时，关于,x,的一元二次方程,x,2,6,kx,3,k,2,6,0,有两个相等的,实数根,1,解析：,方程有两个相等的实数根，,b,2,4,ac,(6,k,),2,4(3,k,2,6),0.,24,k,2,24.,k,1.,6,已知关于,x,的一元二次方程,ax,2,bx,1,0(,a,0),有两个,相等的实数根，求,ab,2,(,a,2,),2,b,2,4,的值,解：,ax,2,bx,1,0(,a,0),有两个相等的实数根，,b,2,4,ac,0,，即,b,2,4,a,0.,热点三,运用一元二次方程解决实际问题,应用一元二次方程解决实际问题的思路是：,(1),分析题意；,(2),寻找等量关系，列一元二,次方程；,(3),解一元二次方程；,(4),检验方程的根是否符合实,际意义；,(5),写出答案,【,例,3,】,2009,年我市实现国民生产总值为,1376,亿元，计,划全市国民生产总值的以后,3,年都以相同的增长率实现，并且,2011,年全市国民生产总值要达到,1726,亿元,(1),求全市国民生产总值的年平均增长率,(,精确到,1%),；,(2),求,2010,年至,2012,年全市,3,年可实现国民生产总值多 少,亿元,(,精确到,1,亿元,)?,解：,(1),设全市国民生产总值的年平均增长率为,x,，,根据题意，得,1 376(1,x,),2,1 726.,(1,x,),2,1.25,，,1,x,1.1.,x,1,0.1,10%,，,x,2,2.1(,不合题意，舍去,),全市国民生产总值的年平均增长率约为,10%.,(2)1376(1,10%),1726,1726(1,10%),1513.6,1726,1898.6,5138(,亿元,),2010,年至,2012,年全市,3,年可实现国民生产总值约为,5138,亿元,【,跟踪训练,】,7,已知：,ABCD,的两边,AB,，,AD,的长是关于,x,的方程,(1),当,m,为何值时，四边形,ABCD,是菱形？求出这时菱形的,边长；,(2),若,AB,的长为,2,，那么,ABCD,的周长是多少？,解：,(1),四边形,ABCD,是菱形，,AB,AD,.,当,(,m,1),2,0,时，,即,m,1,时，四边形,ABCD,是菱形,.,8,(2010,年汕头,),某市,2007,年，,2009,年商品房每平方米平,均价格分别为,4000,元，,5760,元，假设,2007,年后的两年内，商,品房每平方米平均价格的年增长率都为,x,，试列出关于,x,的方,程：,_.,4000(1,x,),2,5760,*,热点四,根与系数的关系,若一元二次方程,ax,2,bx,c,0(,a,0),的根为,x,1,，,x,2,，则,x,1,【,例,4,】,已知关于,x,的方程,3,x,2,10,x,k,0,有实数根，,求满足下列条件的,k,的取值范围：,(1),有两个正数根；,(2),有一个正数根和一个负数根,【,跟踪训练,】,9,已知关于,x,的一元二次方程,x,2,6,x,k,2,0(,k,为常数,),(1),求证：方程有两个不相等的实数根；,(2),设,x,1,，,x,2,为方程的两个实数根，且,x,1,2,x,2,14,，试求出,方程的两个实数根和,k,的值,(1),证明：,b,2,4,ac,(,6),2,4,1,(,k,2,),36,4,k,2,0,恒,成立，,方程有两个不相等的实数根,10,已知,x,1,1,是方程,x,2,mx,5,0,的一个根，求,m,的,值及方程的另一根,x,2,.,解：,由题意，得,(,1),2,(,1),m,5,0,，解得,m,4.,当,m,4,时，方程为,x,2,4,x,5,0.,解得,x,1,1,，,x,2,5.,所以方程的另一根,x,2,5.,11,已知一元二次方程,x,2,2,x,m,0.,(1),若方程有两个实数根，求,m,的范围；,(2),若方程的两个实数根为,x,1,，,x,2,，且,x,1,3,x,2,3,，求,m,的值,解：,(1),方,程有两个不相等的实数根，,b,2,4,ac,(,2),2,4,m,0.,解得,m,1.,
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