必修4-1.1-任意角和弧度制课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,人教,A,版必修四第一章,三角函数,1.1,任意角和弧度制,任意角和弧度制,知识回顾,:,同学们,我们回顾一下学过的这些角,:,知识回顾,:,角的定义,1:,平面内从一个点出发引出的,两条射线,构成的几何图形,.,这种,静态定义,是从图形形状来定义角，因此角的范围是,0, 360,同学们现实生活中确定有存在不在学过范围的角,现状生活中：,体操、跳水、滑冰、转体,720,度,的高难度动作,直体后空翻转体,900,度及,以上的旋转,时钟的时针、分针转动和调准时间时顺时针、逆时针拨转角度,主从动轮转动角,车的轮子的转动角,风车,风扇叶片等转动,定义,2:,平面内,一条射线绕,着,端点,从,一个位置,旋转,到,另一个位置,所成的图形,.,射线,OA,、,OB,分别是角的始边和终边，端点,O,为角的顶点。,思考,：这些旋转形成的角该如何表示和区分,?,引入新的角定义,:,类比初中数的扩展学习，我们可以把这种运动形成的角推广到,任意角。,为了方便规定：,按逆时针方向旋转,所形成的角叫做,正角,按顺时针方向旋转,所形成的角叫做,负角,没有作任何旋转,形成的角叫做,零角,1.,任意角,:,含任意大小的正角，负角，零角。,O,A,（,B,）,在初中我们研究了锐角三角函数，为了研究任意角的三角函数，用角和长度定位点，实现几何问题代数化。我们常在直角坐标系内讨论角。把角的顶点重合于,坐标原点,，角的始边重合于,x,轴的正半轴。,角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角（包含,第一、 二、三、 四象限角,）,角的终边落在哪坐标轴上，就说这个角是哪坐标轴上角（包含,x,y,正负半轴上的角,）,2,象限角和坐标轴上角,x,y,o,始边,终边,终边,终边,终边,用旋转定义的任意角，需要注意三个要素：,旋转中心、旋转方向和旋转量,（当旋转超过一周时，旋转量即超过,360,，角度的绝对值可大于,360,。于是就有,720,， ,540,，第一象限的角也已经超越原来锐角的范畴,.,）,角,3,终边相同的角,观察：,330,，,750,角，它们的终边与,30,角的终边有何关系？,探究：与,30,终边相同的角（含,30,角本身）,集合用描述法如何表示？,330,=30,+(,1),360,(,k,=,1),30,=30,+0,360,(,k,=0), 750,=30,+2,360,(,k,=2),(3),结论：,思考：从终边相同的角集合表示中可以悟出什么？,与,终边相同的角（含 本身）集合用描述法又将如何表示？,例,1,：,写出终边落在,y,轴上的角的集合,。,解：终边落在,轴,正,半轴上的角的集合为,S,1,=,|,=90,0,+K360,0,K,Z,=,|,=90,0,+2K180,0,KZ,=,|,=90,0,+180,0,的,偶,数倍,终边落在,轴,负,半轴上的角的集合为,S,2,=,|,=270,0,+K360,0,KZ,=,|,=90,0,+180,0,+2K180,0,KZ,=,|,=90,0,+,（,2K+1,）,180,0,，,KZ,=,|,=90,0,+180,0,的,奇,数倍,S=S,1,S,2,所以终边落在,轴,上的角的集合为,=,|,=90,0,+180,0,的,偶,数倍,|,=90,0,+180,0,的,奇,数倍,=,|,=90,0,+180,0,的整数倍,=,|,=90,0,+K,180,0,，,K,Z,根据角的动态定义：角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧。,思考：,不同的点所形成的圆弧的长度是不同的，但都对应同一个圆心角，探索弧长与其半径之比有什么关系,?,1,的角是,周角的,用,1,角,作,单位,来度量角的制度叫做,角度制,但角的度量单位如同长度，面积，体积等有不同单位一样，也由于数据大，书写不便等有引入不同单位的需要。,设,=,n,AB,弧长为,l,，半径,OA,为,r,，,则可以看出，等式右端不含,半径，表示弧长与半径的,比值跟半径无关，只与,的,大小有关。,3,弧度,3,弧度,弧长等于半径长（,l,=r),的圆弧,所对的圆心角叫做,1,弧度的角,，弧度记作,rad,.,角 的弧度数的绝对值,规定等于,.,的正负由 的终边的旋转方向决定。,这种以弧度为单位来度量角的制度叫做,弧度制。,360,=,，,180,=,rad,，,1,=,1,rad,注：,rad,今后可以省略不写,用弧度来度量角，实际上,角的集合,与,实数集,R,之间建立一一对应的关系,：,弧度的集合（实数集,R,）,角的,集合,正,角,零角,负角,正,实数,零,负,实数,请运用转换公式，填写下表：,度,0,-30,45 ,-135,120,15030,弧度,60,90,-150,270,3,弧度,对比记忆：初中弧长和面积公式：,思考：扇形的弧长和面积共含几个变量，已知几个量,才能求出另外的量呢？,例,2.,已知一半径为,R,的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？,解：周长,=2,R,=2,R,+,l,，所以,l,=2(,1),R,.,所以扇形的中心角是,2(,1) rad.,合,度,扇形面积是,合作探究练习,1,：用角度和弧度分别表示,:,终边在,x,轴上的角的集合,终边在坐标轴上的角的集合,终边在第一象限角的集合,终边在,y=x,直线上的角的集合,.,|,=k,180,0,，,k,Z,|,=,k,，,kZ,.,|,=k,90,0,，,k,Z,|,=k,，,kZ,3.,| k,360,0,k,360,0,+,90,0,，,k,Z,|,2,k,2,k,+,，,kZ,4.,|,=k,180,0,+,45,0,，,k,Z,|,=,k,+,，,kZ,思考,:,终边在过直角坐标系原点的直线上角的集合共同特征是怎样的,?,合作探究练习,2,.,在,0,到,360,度,(02,）范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角？,（,1,）,-120,（,2,） （,3,）,-950,12,（,4,）,所以与,-120,角终边相同的角是,240,角,它是第三象限角。,所以与 角终边相同的角是 ，它是第四象限角。,所以与,-950,12,角终边相同的角是,129,48,角，它是第二象限角。,（,2,）因为,解,（,1,）因这,-120,=-1,360,+240,（,3,）因为,-950,12 = -3,360,+129,48,（,4,）因为,所以与 角终边相同的角是 ， 它是第一象限角。,小结：,1.,在,0,到,360,度（,02),内找与已知角终边相同的角，,方法是：,用所给角除以,360,0,(2,),所给角是,正,的：按通常的除法进行；,所给角是,负,的：度数除以,360,0,(2,）,，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大,1,，以便使余数为正值。,2.,判断一个角是第几象限角，,方法是：,把所给角,改写成,：,0,+k,360,0,( KZ,0,0,0,360,0,),的形式，,0,在第几象限,就是第几象限角。,0,+k,2,( KZ, 0,0,2,),合作探究练习,3,：,(1),在半径为,R,的圆中，,240,的中心角所对的弧长为,，面积为,2,R,2,的扇形的中心角等于,弧度。,(2),一手表现发现走慢十五分钟需调正,分针要转多少弧度,?,解：（,1,）,240,=,，根据,l,=,R,，得,(2),需顺时针转,90,度,即为,根据,S,=,l,R,=,R,2,，且,S,=2,R,2,.,所以,=,4.,课堂小结：,1.,任意角：,角的不同分类：正角、负角和零角,象限角和坐标轴上的角,终边相同的角集合表示,:,2.,角度制和弧度制的转化：,1,=,1,rad,3.,扇形的弧长和面积公式,.(,角度和弧度制,),