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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函数解析式的求法,在给定条件下求函数的解析式,f,(,x,),是高中数学中经常涉及的内容,形式多样,没有一定的程序可循,综合性强,解起来有相当的难度,但是只要认真仔细去探索,还是有一些常用之法,.,下面谈谈求函数解析式,f,(,x,),的方法,.,一、配凑法,例,1,已知,f,()=+,求,f,(,x,).,x,x,+1,x,2,x,2,+1,x,1,f,(,x,)=,x,2,-,x,+1(,x,1).,解,:,f,()=+,x,x,+1,x,2,x,2,+1,x,1,=1+,x,2,1,x,1,=(,+1),2,-,(+1)+1,x,1,x,1,并且,1,x,x,+1,=(),2,-,()+1,x,x,+1,x,x,+1,评注,:,若在给出的函数关系式中 与 的关系不明显时,要通过恒等变形寻找二者的关系,.,+,x,2,x,2,+1,x,1,x,x,+1,例,2.,已知,，,求,解,：,分析,：这是含有未知函数,f(x,),的等式，比较抽象。由函数,f(x,),的定义可知，在函数的定义域和对应法则,f,不变的条件,下，自变量变换字母，以至变换为其他字母的代数式，对,函数本身并无影响，这类问题正是利用这一性质求解的。,方法一：,配凑法,二、换元法,方法二：令,换元法,注意点,：注意换元的等价性，即要求出,t,的取值范围,.,练习,.,已知,f,（）,=,x,2,+5,x,则,f,(,x,)=,.,解析,三、解方程组法,例,3,已知,f,(,x,)+,f,()=1+,x,(,x,0,1),求,f,(,x,).,x,x,-,1,解,:,记题中式子为式,用 代替中的,x,整理得,:,x,x,-,1,f,()+,f,()=,x,x,-,1,1,-,x,1,x,2,x,-,1,再用 代替中的,x,整理得,:,1,-,x,1,f,()+,f,(,x,)=,1,-,x,1,1,-,x,2,-,x,解由,组成的方程组,得,:,2,x,(,x,-,1),x,3,-,x,2,-,1,f,(,x,)=.,例,4.,设,f(x,),满足关系式求函数的解析式,.,分析：如果将题目所给的 看成两个变量，那么该等式即可看作二元方程，那么必定还需再找一个关于它们的方程，那么交换,x,与,1/x,形成新的方程,【,练习,】,（,1,）设二次函数,f,(,x,),满足,f,(,x,-2)=,f,(-,x,-2),，,且图象在,y,轴上的截距为,1,，被,x,轴截得的线段长为,，求,f,(,x,),的解析式；,（,2,）已知,（,3,）已知,f,(,x,),满足,2,f,(,x,)+=3,x,求,f,(,x,).,问题（,1,）由题设,f,（,x,）为二次函数，,故可先设出,f,（,x,）的表达式，用待定系数法求解；,问题（,2,）已知条件是一复合函数的解析式，因此,可用换元法；问题（,3,）已知条件中含,x,，可用,解方程组法求解,.,思维启迪,解,:,（,1,）,f,（,x,）为二次函数，,设,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),，且,f,(,x,)=0,的两根为,x,1,x,2,.,由,f,(,x,-2)=,f,（,-,x,-2,），得,4,a,-,b,=0.,由已知得,c,=1.,由、式解得,b,=2,a,=,c,=1,f,（,x,）,=,x,2,+2,x,+1.,四、递推求和法,例,4,已知,f,(,n,),-,f,(,n,-,1)=,a,n,n,为不小于,2,的自然数,a,0,且,f,(2)=8,求,f,(,n,),的解析式,.,解,:,由已知,f,(3),-,f,(2)=,a,3,f,(4),-,f,(3)=,a,4,f,(,n,),-,f,(,n,-,1)=,a,n,将这,(n,-,2),个式子相加,得,:,评注,:,这是运用数列中递推公式的思想,.,f,(,n,),-,f,(2)=,a,3,+,a,4,+,+,a,n,=,n,-,2,(,a,=1,时,),;,a,3,(1,-,a,n,-,2,)(1,-,a,),-,1,(,a,1,时,),.,f,(,n,)=,n,+6,(,a,=1,时,),;,8+(,a,3,-,a,n,+1,)(1,-,a,),-,1,(,a,1,时,),.,f,(2)=8,练习,1.,根据下列条件求二次函数解析式,(1),抛物线过点,(0,0)(1,2)(2,3),三点,解法,:,抛物线过一般三点,通常设一般式将三点坐标代入,求出,a,b,c,的值,解,:,设二次函数解析式为,:y=ax,2,+bx+c,则,解得：,所求的抛物线解析式为,:,(2),抛物线顶点是,(2,-1),且过点,(-1,2),解法,(,一,),可设一般式列方程组求,a,b,c,解法,(,二,),可设顶点式,解,:,抛物线的顶点为,(2,-1),设解析式为,:y=a(x-2),2,-1,把点,(-1,2),代入，得,a(-1-2),2,-1=2,，,(3),图象与,X,轴交于,(2,0)(-1,0),且过点,(0,-2),解法,(,一,),可设一般式,解法,(,二,),可设交点式,解,:,抛物线与,X,轴交于点,(2,0)(-1,0),设解析式为,:y=a(x-2)(x+1),把点,(0,-2),代入,a(0-2)(0+1)=-2,解得,a=1,y=(x-2)(x+1),即,:y=x,2,-x-2,练习,2:,（求下列二次函数解析式）,若抛物线,y=(m,2,-2)x,2,-4mx+n,对称轴是,直线,x=2,且最高点在直线 上,.,解法,:,可先求出顶点坐标,(2,2),再由题意得,解得,:,m=-1,n=-2.,即：,y=-x,2,+4x-2,五、待定系数法,例,5,设,f,(2,x,)+,f,(3,x,+1)=13,x,2,+6,x,-,1,求,f,(,x,).,解,:,由原式可知,f,g,(,x,),中的,g,(,x,),一个是,2,x,另一个是,3,x,+1,都是一次式,.,而右端是二次式，故,f,(,x,),是一个二次式,则可设,:,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,从而有,:,f,(2,x,)+,f,(3,x,+1)=13,ax,2,+(6,a,+5,b,),x,+(,a,+,b,+2,c,).,比较系数得,:,a,=1,b,=0,c,=,-,1.,从而有,:,f,(,x,)=,x,2,-,1.,评注,:,先分析出,f,(,x,),的基本形式,再用待定系数法,求出各系数,.,又由已知,f,(2,x,)+,f,(3,x,+1)=13,x,2,+6,x,-,1,13,ax,2,+(6,a,+5,b,),x,+(,a,+,b,+2,c,),与,13,x,2,+6,x,-,1,表示同一个式子,即,13,ax,2,+(6,a,+5,b,),x,+(,a,+,b,+2,c,),13,x,2,+6,x,-,1,.,例,6,已知,f,f,f,(,x,)=27,x,+13,且,f,(,x,),是一次式,求,f,(,x,).,解,:,由已知可设,f,(,x,)=,ax,+,b,则,:,六、迭代法,f,f,(,x,)=,a,2,x,+,ab,+,b,.,f,f,f,(,x,)=,a,3,x,+,a,2,b,+,ab,+,b,.,由题意知,:,a,3,x,+,a,2,b,+,ab,+,b,27,x,+13.,比较系数得,:,a,=3,b,=1.,故,f,(,x,)=3,x,+1.,评注,:,本题的解法除了用迭代法,还用了待定系数法,.,19,20,21,22,七、数学归纳法,例,7,已知,f,(,n,+1)=2+,f,(,n,)(,n,N,+,),且,f,(1)=,a,求,f,(,n,).,1,2,解,:,f,(1)=,a,f,(2)=2+,a,1,2,=4,-,2,1,+2,-,1,a,故猜想,:,f,(,n,)=4,-,2,3,-,n,+2,1,-,n,a,用数学归纳法证明如下,:,f,(5)=2+,f,(4),1,2,f,(3)=2+,f,(2)=3+,a,1,2,1,4,=4,-,2,0,+2,-,2,a,f,(4)=2+f(3)=+,a,1,2,7,2,1,8,=4,-,2,-,1,+2,-,3,a,=4,-,2,-,2,+2,-,4,a,=4,-,2,2,+2,0,a,证明从略,.,故,f,(,n,)=4,-,2,3,-,n,+2,1,-,n,a,.,评注,:,先用不完全归纳法摸索出规律,再用数学归纳法证明,适用于自然数集上的函数,.,例,8.,已知集合,A=,a,b,c,B,=-1,0,1,映射,f:AB,满足,f(a)+f(b,)=,f(c,),求这样的映射共有多少个,?,f(a,)=-1,f(b)=1,f(c)=0;,f(a,)=1,f(b)=-1,f(c)=0;,f(a,)=,f(b,)=,f(c,)=0;,解,:,f(a,)=-1,f(b)=0,f(c)=-1;,f(a,)=0,f(b)=-1,f(c)=-1;,f(a,)=1,f(b)=0,f(c)=1;,f(a,)=0,f(b)=1,f(c)=1.,八、映射方法,例,9,：,九、用构造函数方法证明不等式,证明,:,例,10,：,29,十、用构造函数方法解方程,解：构造函数,f,(,x,),x,2011,x,，则,f,(,x,),是奇函数且为,R,上的增函数，得,f,(3,x,y,),f,(,x,),0,，即,f,(3,x,y,)=-,f,(,x,)=,f,(-,x,),.,注意到,f(x,),是奇函数且为,R,上的增函数，所以,3,x,y,x,4,x,y,0.,30,十、用构造函数方法解方程,解：原方程化为,(,x,8),2011,(,x,8),x,2011,x,0,即,(,x,8),2011,(,x,8),(,x,),2011,(,x,),构造函数,f(x,),x,2011,x,知,f(x,),是,R,上的单调递增函数,原方程等价于,f,(,x,8),f,(,x,),而由函数的单调性可知,f(x,),是,R,上的单调递增函数,于是有,x,8,x,x,4,为原方程的解,.,31,知能迁移,1,设函数,f,(,x,)=,若,f,(-4)=,f,(0),f,(-2)=-2,则关于,x,的方程,f,(,x,)=,x,解的个数为（）,A.1 B.2,C.3,D.4,求方程,f,(,x,)=,x,的解的个数，先用待定系,数法求,f,（,x,）的解析式，再用数形结合或解方程,.,思维启迪,解析,由,f,(-4)=,f,(0),得,b,=4,再由,f,(-2)=-2,得,c,=2,x,0,时，显然,x,=2,是方程,f,(,x,)=,x,的解,;,x,0,时，方程,f,（,x,）,=,x,即为,x,2,+4,x,+2=,x,，解得,x,=-1,或,x,=-2.,综上，方,程,f,（,x,）,=,x,解的个数为,3.,答案,C,分段函数是一类重要的函数模型,.,解决分,段函数问题，关键要抓住在不同的段内研究问题,.,如,本例，需分,x,0,时，,f,（,x,）,=,x,的解的个数和,x,0,时，,f,（,x,）,=,x,的解的个数,.,探究提高,知能迁移,2,设,则,f,g,(3)=_,=_.,解析,g,(3)=2,f,g,(3)=,f,(2)=3,2+1=7,，,7,35,36,37,38,课堂练习,1.,已知,f,(,x,),是一次函数,且,f,f,(,x,)=4,x,-,1,求,f,(,x,),的解析式,.,5.,若,3,f,(,x,-,1)+2,f,(1,-,x,)=2,x,求,f,(,x,).,2.,已知,f,(4,x,+1)=,求,f,(,x,),的解析式,.,4,x,+6,16,x,2,+1,4.,已知,2,f,(,x,)+,f,(,-,x,)=10,x,求,f,(,x,).,6.,已知,f,(0)=1,f,(,a,-,b,)=,f,(,a,),-
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