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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,三、频 率 与 概 率,1）频率的定义和性质,定义:,在相同的条件下，进行了,n,次试验，在这,n,次试验中，事件,A,发生的次数,n,A,称为,事件,A,发生的,频数,。比值,n,A,/n,称为事件,A,发生的,频率,，并记成,f,n,(A)。,第一章 概率论的基本概念,1 随机事件的概率,第一章 概率论的基本概念,它具有下述性质:,1 随机事件的概率,2）频率的稳定性,实 验 者,德摩根,蒲 丰,K,皮尔逊,K,皮尔逊,n n,H,f,n,(,H,),2048,4040,12000,24000,1061,2048,6019,12012,0.5181,0.5096,0.5016,0.5005,第一章 概率论的基本概念,1 随机事件的概率,频 率 稳 定 值 概率,事件发生,的频繁程度,事件发生,的可能性的大小,频率的性质,概率的公理化定义,第一章 概率论的基本概念,1 随机事件的概率,3）概率的定义,定义,设,E,是随机试验，,S,是它的样本空间，对于,E,的每一个事件,A,赋予一个实数，记为,P,(,A,),称为事件,A,的概率，要求集合函数,P,(.),满足,下列条件,：,第一章 概率论的基本概念,1 随机事件的概率,4）概率的性质与推广,S,A,B,第一章 概率论的基本概念,1 随机事件的概率,S,B,A,第一章 概率论的基本概念,1 随机事件的概率,S,A,S,A,B,第一章 概率论的基本概念,1 随机事件的概率,性质 9,第一章 概率论的基本概念,1 随机事件的概率,要求：熟练掌握概率的性质,第一章 概率论的基本概念,1）加法原理：,完成某件事有两类方法，第一类有,n,种，第二类有,m,种，则完成这件事共有,n,+,m,种方法。,3）排列：,(1)有重复排列:在有放回选取中，从,n,个不同元素,中取,r,个,元素进行排列，称为有重复排列，其总数为 。,四、排列组合公式,2）乘法原理：,完成某件事有两个步骤，第一步有,n,种方法，第二步有,m,种方法，则完成这件事共有,nm,种方法。,1 随机事件的概率,第一章 概率论的基本概念,4）组合：,（1）从,n,个不同元素中取,r,个元素组成一组，不考虑其顺序，称为组合，其总数为,（,2）选排列：在无放回选取中，从,n,个不同元素中取,r,个元素进行排列，称为选排列，其总数为,1 随机事件的概率,说明：,如果把,n,个不同元素分成两组，一组,r,个，另一组,n,-,r,个，组内元素不考虑顺序，那么不同分法有 种。,第一章 概率论的基本概念,（2）多组组合：把,n,个不同元素分成,k,组 ,使第 组有 个元素，若组内元素不考,虑顺序，那么不同分法有 种。,（3）常用组合公式：,1 随机事件的概率,说明：,熟练运用排列组合公式对求概率问题 是很重要的。,2,等可能概型,等可能概型（古典概型）,第一章 概率论的基本概念,生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：,样本空间的元素只有有限个；,每个基本事件发生的可能性相同。,一、等可能概型（古典概型）,我们把这类实验称为,等可能概型,，考虑到它在概,率论早期发展中的重要地位，又把它叫做,古典概型,。,第一章 概率论的基本概念,2,等可能概型,设,S,=,e,1,e,2,e,n,由古典概型的等可能性，得,.,2,1,n,e,=,P,e,P,e,P,L,=,=,又由于基本事件两两互不相容；所以,第一章 概率论的基本概念,2,等可能概型,若事件,A,包含,k,个基本事件，即,A,=,e,1,e,2,e,k,则有：,第一章 概率论的基本概念,2,等可能概型,例 1,把一套4卷本的书随机地摆放在书架上，问：恰,好排成序（从左至右或从右至左）的概率是多少？,解：,将书随机地摆放在书架上，每一种放法就是一,个基本事件，共有放法4！种。,把书恰好排成序有两种放法。,所以，所求概率为,例 2,将,n,只球随机的放入,N,(,N,n,),个盒子中去，,求每个盒子至多有一只球的概率,(,设盒子的容量不限）。,解：,将,n,只球放入,N,个盒子中去,共有,而每个盒子中至多放一只球,共有,第一章 概率论的基本概念,思考：,某指定的,n,个,盒子中各有一球的概率。,2,等可能概型,此例可以作为许多问题的数学模型，比如用此公式可以得出：,“在一个有64人的班级里，至少有两人生日相同”,的概率为,99.7%。,n,p,20 23 30 40 50 64 100,0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997,经计算可得下述结果：,第一章 概率论的基本概念,2,等可能概型,例3,同时掷 5 颗骰子，试求下列事件的概率：,A,=5,颗骰子不同点；,B,=5,颗骰子恰有 2 颗同点；,C,=5,颗骰子中有 2 颗同点，另外 3 颗,同是另一个点数,第一章 概率论的基本概念,2,等可能概型,解：,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,2,等可能概型,例4,设有,N,件产品，其中有,M,件次品，今从中任,取,n,件，问其中恰有,k,(,k,M,),件次品,的概率是多少?,又,在,M,件次品中取,k,件，所有可能的取法有,在,N-M,件正品中取,n-k,件,所有可能的取法有,解：,在,N,件产品中抽取,n,件，取法共有,不放回抽样,1）,第一章 概率论的基本概念,2,等可能概型,于是所求的概率为：,此式即为,超几何分布,的概率公式。,由乘法原理知：在,N,件产品 中取,n,件，其中恰有,k,件次品的取法共有,第一章 概率论的基本概念,2,等可能概型,2）有放回抽样,而在,N,件产品 中取,n,件，其中恰有,k,件次品的取法共有,于是所求的概率为：,从,N,件产品中有放回地抽取,n,件产品进行排列，可能的排列数为 个，将每一排列看作基本事件，总数为 。,此式即为,二项分布,的概率公式。,第一章 概率论的基本概念,2,等可能概型,第一章 概率论的基本概念,2,等可能概型,例 5,某接待站在某一周曾接待过 12 次来访，已,知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的。问,是否可以推断接待时间是有规定的？,解：,假设接待站的接待时间没有规定，各来访者在,一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12 次,接待来访者都在周二、周四的概率为:,2,12,/7,12,=0.0000003，,即千万分之三。,人们在长期的实践中总结得到“,概率很小的事件,在一次实验中几乎是不发生的,”（,称之为,实际推,断原理,）。现在概率很小的事件在一次试验中,竟然发生了，从而可以推断接待时间是有规定的,。,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,2,等可能概型,例 6,将,n,个男生和,m,个女生,(,mn,),随机地排成一列,问：任意两个女生都不相邻的概率是多少？,解：,第一章 概率论的基本概念,2,等可能概型,任意两个女生都不相邻时，,首先,n,个男生的排法有,n,!,种，,每两个相邻男生之间有一个位置可以站女生，还有队,列两侧各有一个位置可以站女生，这样,m,个女生共有,n,+1,个位置可以站，,所以，,任意两个女生都不相邻这一事件的概率为,n,+,m,个学生随机地排成一列共有排法(,n,+,m,)!,种,总共排法有 种。,思考题：,如果这,n,+,m,个学生不是排成一列，而是排成一个圆状，首尾相接，这时，,任意两个女生都不相邻的概率是多少？,第一章 概率论的基本概念,2,等可能概型,例 7,袋中有,a,只白球，,b,只黑球从中将球取出,依次排成一列，问第,k,次取出的球是黑球的概率,解：,设,A,=“,第,k,次取出的球是黑球”,第一章 概率论的基本概念,2,等可能概型,例 8,从 19 这 9 个数中有放回地取出,n,个.,试求取出的,n,个数的乘积能被 10 整除的概率,解：,A,=,取出的,n,个数的乘积能被 10 整除；,B,=,取出的,n,个数至少有一个偶数；,C,=,取出的,n,个数至少有一个 5 ,则,A,=,B,C.,第一章 概率论的基本概念,2,等可能概型,第一章 概率论的基本概念,街头摸奖问题：,一位赌主在街头设摊“摸彩”，他拿着一个布袋，内装,6个红球,和,6个绿球,，除颜色不同外，球的形状、大小、质量都相同。每次让人从袋中摸出6个球，输赢规则为：,6个全红,得100元,5红,1绿,得50元,4红,2绿,得20元,3红,3绿,得-100元,2红,4绿,得20元,1红,5绿,得50元,6个全绿,得100元,0.1%,3.9%,24.4%,43.2%,24.4%,3.9%,0.1%,一连有10几个人各摸5次，都输了，金额在60130元。有人连续摸14次，竟输了570元。,如果连续摸1000次，将大约有,432次输100元，,2次赢100元，78次赢50元，488次赢20元，,总计输29340元，近3万元。,
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