函数与方程及函数的应用问题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第3讲 函数与方程及函数的应用问题,1.函数的零点与方程的根,（1）函数的零点,对于函数,f,(,x,)，我们把使,f,(,x,)=0的实数,x,叫做函数,f,(,x,)的零点.,（2）函数的零点与方程根的关系,函数,F,(,x,)=,f,(,x,)-,g,(,x,)的零点就是方程,f,(,x,)=,g,(,x,)的,根，即函数,y,=,f,(,x,)的图象与函数,y,=,g,(,x,)的图象交点,的横坐标.,（3）零点存在性定理,如果函数,y,=,f,(,x,)在区间,a,b,上的图象是连续不,断的一条曲线，且有,f,(,a,),f,(,b,)1，,B,（2）（2009福建文，11）若函数,f,（,x,）的零点,与,g,(,x,)=4,x,+2,x,-2的零点之差的绝对值不超过0.25，,则,f,(,x,)可以是 (),A.,f,(,x,)=4,x,-1B.,f,(,x,)=(,x,-1),2,C.,f,(,x,)=e,x,-1D.,解析,g,(,x,)=4,x,+2,x,-2在,R,上连续且,设,g,(,x,)=4,x,+2,x,-2的零点为,x,0,则,又f,(,x,)=4,x,-1的零点为,f,(,x,)=(,x,-1),2,的零点为,x,=1;,f,(,x,)=e,x,-1的零点为,x,=0;,的零点为,故选A.,答案,A,二、函数与方程的综合应用,例2,已知函数,f,（,x,）=-,x,2,+8,x,，,g,（,x,）=6ln,x,+,m,，,是否存在实数,m,，使得,y,=,f,（,x,）的图象与,y,=,g,（,x,）,的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出,m,的取值范围；若不存在，说明理由.,思维启迪,f,(,x,)与,g,(,x,)图象的交点的问题可以转化,为研究(,x,)=,g,(,x,)-,f,(,x,)的零点问题，即研究(,x,)的,图象的变化趋势.,解,函数,y,=,f,(,x,)的图象与,y,=,g,(,x,)的图象有且只有三,个不同的交点,即函数(,x,)=,g,(,x,)-,f,(,x,)的图象与,x,轴,的正半轴有且只有三个不同的交点.,(,x,)=,x,2,-8,x,+6ln,x,+,m,当,x,(0,1)时,(,x,)0,(,x,)是增函数;,当,x,(1,3)时,(,x,)0,(,x,)是增函数;,当,x,=1,或,x,=3时,(,x,)=0.,(,x,),极大值,=(1)=,m,-7,(,x,),极小值,=(3)=,m,+6ln 3-15.,当,x,充分接近0时,(,x,)0,要使 (,x,)的图象与,x,轴正,半轴有三个不同的交点,必须且只须,即7,m,15-6ln3.,所以存在实数,m,使得函数,y,=,f,(,x,)与,y,=,g,(,x,)的图象有,且只有三个不同的交点,m,的取值范围为,(7,15-6ln3).,探究提高,f,(,x,)的图象与,g,(,x,)的图象交点个数问题辅助函数 (,x,)=,g,(,x,)-,f,(,x,)的零点个数.另外，二次,方程根的分布问题可通过其相应抛物线而转化，,就是数形结合中的以形助数思想.,变式训练2,设函数,f,(,x,)=(1+,x,),2,-,m,ln(1+,x,),h,(,x,)=,x,2,+,x,+,a,.,(1)当,a,=0时，,f,(,x,),h,(,x,)在（0,+）上恒成立，,求实数,m,的取值范围；,（2）当,m,=2时，若函数,k,(,x,)=,f,(,x,)-,h,(,x,)在0,2上,恰有两个不同的零点，求实数,a,的取值范围.,解,（1）,f,(,x,),h,(,x,)1+,x,-,m,ln(1+,x,)0,记 则,f,(,x,),h,(,x,)在（0,+）上恒,成立等价于,m,(,x,)min.,当,x,(0,e-1)时，(,x,)0，故 (,x,)在,x,=e-1处,取得极小值，也是最小值，,即 (,x,)min=(e-1)=e，故,m,e.,(2)函数,k,(,x,)=,f,(,x,)-,h,(,x,)在0，2上恰有两个不,同的零点等价于方程(1+,x,)-2ln(1+,x,)=,a,在0，2,上恰有两个相异实根.,令,g,(,x,)=(1+,x,)-2ln(1+,x,),则,当,x,0,1）时，,g,(,x,)0,故,g,(,x,)在0，1）上是减函数，在（1，2上是,增函数，,故,g,(,x,),min,=,g,(1)=2-2ln2,g,(0)=1,g,(2)=3-2ln3.,因为,g,(0),g,(2)，所以只要,g,(1),a,g,(2)，即可以,使方程(1+,x,)-2ln(1+,x,)=,a,在0，2上恰有两个,相异实根，即,a,(2-2ln2,3-2ln3.,三、函数的实际应用,例3,某地有三家工厂，分别位于,矩形,ABCD,的顶点,A,，,B,及,CD,的中,点,P,处，已知,AB,=20 km,CB,=10km，,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形,ABCD,的区,域上（含边界），且与,A,，,B,等距离的一点,O,处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道,AO,，,BO,，,OP,，设排污管道的总长为,y,km.,（1）按下列要求写出函数关系式：,设,BAO,=(rad),将,y,表示成 的函数关系式；,设,OP,=,x,（km），将,y,表示成,x,的函数关系式.,（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定,污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短.,思维启迪,本题可以根据图形，利用解三角形的,知识求得,y,关于 及,x,的函数关系式，而后根据解析,式特点选择恰当方法求函数的最小值.,解,(1)由条件知,PQ,垂直平分,AB,若,BAO,=(rad),则,故,所以,故所求函数关系式为,若,OP,=,x,(km),则,OQ,=(10-,x,)(km),所以,故所求函数关系式为,(2)选择函数模型,令,y,=0,得 因为 所以,当 时，,y,0，,y,是 的增函数，,所以当 时，,这时点,O,位于线段,AB,的中垂线上，,且距离,AB,边 处.,探究提高,解决函数实际应用题的关键有两点：,一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确,问题的实际背景；然后进行科学地抽象概括，,将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理,选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间,的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关,系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使,实际问题获解.,变式训练3,某物流公司购买了一,块长,AM,=30米，宽,AN,=20米的矩形,地块,AMPN,，规划建设占地如图,中矩形,ABCD,的仓库，其余地方为道路和停车场，,要求顶点,C,在地块对角线,MN,上，,B,、,D,分别在边,AM,、,AN,上，假设,AB,长度为,x,米.,（1）要使仓库占地,ABCD,的面积不少于144平方,米，,AB,长度应在什么范围？,（2）若规划建设的仓库是高度与,AB,长度相同的长,方体建筑，问,AB,长度为多少时仓库的库容量最,大？（墙体及楼板所占空间忽略不计）,解,（1）依题意三角形,NDC,与三角形,NAM,相似，,所以,即,矩形,ABCD,的面积为,定义域为0,x,30,要使仓库占地,ABCD,的面积不少于144平方米，即,化简得,x,2,-30,x,+2160，解得12,x,18,所以,AB,长度应在12，18内.,（2）仓库体积为,V,=40,x,-2,x,2,令,V,=0，得,x,=0或,x,=20.,当0,x,0,当20,x,30时,V,0,所以,x,=20时,V,取最大值,即,AB,长度为20米时仓库的库容量最大.,规律方法总结,1.函数与方程,（1）函数,f,(,x,)有零点方程,f,(,x,)=0有根函数,f,(,x,)的,图象与,x,轴有交点.,（2）函数,f,(,x,)的零点存在性定理.,如果函数,f,(,x,)在区间,a,b,上的图象是连续不断的曲线，并且有,f,(,a,),f,(,b,)0，那么，函数,f,(,x,)在区间（,a,b,）内有零点，即存在,c,(,a,b,)，使,f,(,c,)=0.,如果函数,f,(,x,)在区间,a,b,上的图象是连续不断的曲线，并且函数,f,(,x,)在区间,a,b,上是一个单调函数，那么当,f,(,a,),f,(,b,)0，那么，函数,f,(,x,)在区间(,a,b,)内不一定没有零点.,如果函数,f,(,x,)在区间,a,b,上的图象是连续不断的曲线，那么当函数,f,(,x,)在区间（,a,b,）内有零点时不一定有,f,(,a,),f,(,b,)0.例如函数,f,(,x,)=,x,3,-5,x,2,+6,x,在区间1，4上有零点2和3，却有,f,(1),f,(4)0.,2.函数综合题的求解往往应用多种知识和技能.因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件.要认真分析，处理好各种关系;把握问题的,主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决.,3.应用函数模型解决实际问题的一般程序,与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答.,读题,（文字语言）,求解,（数学应用）,一、选择题,1.(2009青岛模拟)方程,mx,2,+2(,m,+1),x,+,m,+3=0仅有,一个负根，则,m,的取值范围是(),A.（-3，0）B.-3，0）,C.-3，0D.-1，0,解析,当,m,=0时，符合题意,当,m,0时，,-3,m,0,验证：当一根为零即,x,1,x,2,=0时，另一根为负,m,=-3也符合,-3,m,0.故选C.,答案,2.（2009湖北文，8）在“家电下乡”活动中，某,厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型,货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输,费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输,费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运,一次，则该厂所花的最少运输费用为 （）,A.2 000元B.2 200元,C.2 400元D.2 800元,C,解析,设需甲型货车,x,辆,乙型货车,y,辆,由题意知,作出其可行域如图，,可知目标函数,z,=400,x,+300,y,在点,A,处取最小值，,z,=4004+3002,=2 200(元).,答案,B,3.已知函数,f,（,x,）=,x,|,x,-4|-5，则当方程,f,（,x,）=,a,有三,个根时，实数,a,的取值范围是(),A.-5,a,-1 B.-5,a,-1,C.,a,-1,解析,在平面直角坐标系中画出函数,f,（,x,）=,x,|,x,-,4|-5=的图象，由图象可得当,-5,a,-1时，直线,y,=,a,与函数,f,（,x,）的图象有3个交,点，即方程,f,（,x,）=,a,有三个根，所以选A.,x,2,-4,x,-5,x,4,-,x,2,+4,x,-5,x,0即可.,由它们的图象可知,x,0时有9个交点，故总共有18,个交点.,方程,f,(,x,)=lg|,x,|有18个解.,B,5.设函数,y,=,x,3,与 的图象的交点为(,x,0,y,0,)，,则,x,0,所在的区间是 （）,A.（0，1）B.（1，2）,C.（2，3）D.（3，4）,解析,在同一坐标系中，分别画出,y,=,x,3,与,的图象，观察易知图象的交点存在且唯一，又,所以两函数交点横坐标,x,0,(1,2).,B,二、填空题,6.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且,每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入,K,是单位产品数,Q,的函数，则总利,润,L,（,Q,）的最大值是,万元.,解析,总利润,L,（,Q,）=,K,（,Q,）-10,